Физика лекции (понятные) (Физика лекции 4 сем (PDF)), страница 8

10-10 м - радиус 1-ой стационарнойорбиты в атоме водородаn e24 0 n1  2,2  10 6 м / сКинетическая энергия электронаКте п2те е 4232 2 02  2 п 2Потенциальная энергия электрона U  e24 0 rnme e 416 2 02  2 n 2Полная энергия электрона на п-ой орбитеE  K U  me e 4113,6  2 эВ232   nn2202Для частоты излучения при переходе из к в п состояние получаем пк1  1 R  2  2  ,k nгдеR me e 432  2203 2,07  1016 c 1 - постоянная РидбергаСуществуют также постоянные Ридберга для ν и λ :R2RR  2cR длядля1  1 2 ;2k n11  1 R  2  2 nkk n nk  R Для водородоподобных атомов ( ион гелия Не+ с Z = 2, двухкратноионизованный литий Li++ c Z = 3, трёхкратноионизованный бериллийВе+++ с Z = 4 и т.д.

) радиусы орбит электрона оказываются в Z разменьше, чем в атоме водорода, а энергетический спектр водородоподобногоиона получается умножением на Z213,6E n   2 Z 2 эВ.nКвантовая теория атомаХотя теория Бора даёт хорошие результаты для водородоподобныхатомов, она не может рассматриваться как законченная теория атомныхявлений.С позиций современной физики атом является физической системой,которая заведомо не может быть описана классической теорией, неучитывающей волновых свойств движущегося в атоме электрона, так какдлина волны де Бройля такого электрона сравнима с размерами атома.Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром водородоподобного атомаU r   Z  e2,4 0 rгдеr – расстояние между электроном и ядром, которое в первом приближениибудем считать точечным.Движение электрона в таком полеможно рассматривать как движение внекоторой сферической потенциальнойяме.Спектр энергий электрона долженбыть дискретным, т.е.

состоятьизотдельных энергетических уровней созначениямиполной энергии электронаЕ1; Е2; Е3 и т.д.Уравнение Шрёдингера Н̂  Е    имеет вид2т   2е2Z  e2  Е     04r0 Решение этого уравнения проводят в сферической системе координатr, θ, φ , центр которой совпадает с центром ядра атома. В такой системеΨ = Ψ(r, θ, φ) , а оператор Лапласа 2   2r 1 2 , ,r2где 2r 1   121   2 2sin,r ,sin     sin 2   2r 2 r  r Используя оператор квадрата момента импульса в сферической системекоординатLˆ2   2  2 ,уравнение Шрёдингера преобразуют к виду21 ˆ2Ze 22 r  L   E2те4 0 r2me r 2Решение этого уравнения ищут в виде произведения двух функций сразделяющимися переменнымиΨ = X( r ) .

Y( θ, φ ).C учётом естественных требований, налагаемых на Ψ-функцию онадолжна быть однозначной, конечной, непрерывной и гладкой.В процессе решения обнаруживается, что этим требованиям можноудовлетворить при любых положительных значениях энергииЕ , но вобласти отрицательных значений Е – только при дискретных значениях, аименно, еслиme e 4Z2En  32 2 02  2 n 2 , гдеп = 1; 2; 3; … ,что соответствует связанным состояниям электрона в атоме.Таким образом решение уравнения Шрёдингера приводит в случаеЕ< 0 к тому же результату, что и теория Нильса Бора но без использованиякаких либо дополнительных постулатов.Основное различие заключается в интерпретации состоянийэлектрона: в теории Бора – это движение по стационарным круговыморбитам, а в решении уравнения Шрёдингера орбиты теряютфизический смысл – их место занимают Ψ-функции.Лекция 10Волновые функции и квантовые числаСобственные функции уравнения Шрёдингера для атома, т.е.Ψфункции содержат, как выяснилось, три целочисленных параметра – n, l, m :Ψ = Ψnlm( r, θ, φ )n - главное квантовое число ( то же, что и в выражениях для Еп )п = 1; 2; 3; …l – орбитальное (азимутальное)квантовое число, определяющеемодуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона.В квантовых состояниях с заданным значением главного квантовогочисла п орбитальное квантовое число может иметь следующие значения:l = 0; 1; 2; 3; … ; (п – 1).Стационарные волновые функцииΨnlm( r ,θ, φ), описывающиеразличные квантовые состояния атома, являются собственными функциямине только оператора полной энергии Н̂ , но и оператора квадрата моментаимпульса L̂2 , т.е.Lˆ2 nlm  l l  1 2  nlm .Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладаетопределённым значением квадрата момента импульса.Орбитальное квантовое число l однозначно определяет модульорбитального момента импульса движущегося в атоме электрона:L   l l  1Данное условие квантования момента импульса не совпадает сквантованием момента импульса в теории Н.Бора ( L  n ).Принципиальное отличие этих соотношений состоит в том, что вквантовой теории возможны состояния сL = 0 , а при классическомописании движения электрона в атоме по определённой орбите в любомсостоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса.Эксперименты подтверждают существование квантовых состоянийатома с нулевыми орбитальными моментами.

Следовательно, опытподтверждает, что только отказ от классического траекторного способаописания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать ипредсказать свойства атома.Вероятностный способ описания движения частиц являетсяединственно правильным способом описания свойств атомных систем –таков вывод современной физики.Если атом переходит из одного квантового состояния в другое сиспусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такиепереходы, для которых орбитальное квантовое числоl изменяется наединицу. Это правило, согласно которому для оптических переходовl  1 , называется правилом отбора.

Наличие этого правилаобусловлено тем, что фотон уносит или вносит не только квант энергии, но ивполне определённый момент импульса, изменяющий орбитальное квантовоечисло электрона всегда на единицу.т - магнитное квантовое числоВ квантовом состоянии с заданным значениеморбитального квантового числаlмагнитноеквантовое число может принимать ( 2l + 1 )различных значений из ряда:т = 0;  1;2;3;...  lФизический смысл магнитного квантового числа т вытекает из того,что волновая функция Ψnlm( r, θ, φ), описывающая квантовое состояниеэлектрона в атоме водорода, является также и собственной функциейоператора проекции импульсаL̂ZLˆ Z nlm  m    nlm .Из определения собственной функции (см.

Лекцию 7 ) получаемLZ  m  Эту формулу называют формулой пространственного квантования.Символы состоянийРазличные состояния электрона в атоме принято обозначать малымибуквами латинского алфавита в зависимости от значения орбитальногоквантового числа lКвантовое число lСимвол состояния0s1p2d3f4g5hЗначение главного квантового числа п указывают перед символомсостояния с данным числом l . Например, электрон, имеющий п = 3 и l =2обозначают символом 3d. Последовательность имеет следующий вид:1s (для п =1) 2s, 2p (для п = 2) 3s, 3p, 3d (для п = 3) и т.д.Примеры некоторых нормированных волновых функцийряда квантовых состояний водородоподобных атомовЗдесь   ZΨnlm дляr. Z – заряд ядра , r – расстояние от центра атома ,a4 0  2а 0,529  10 10 м - универсальная константа, равная 1-ому2те еборовскому радиусу электрона в атомеводорода.Образ атома в квантовой теории может быть представлен в виде облакаплотности вероятности2w = nlmПространственноераспределениеплотностивероятностиобнаруженияэлектрона в различных квантовыхсостоянияхатомаводородаможно представить следующимобразомОрбитальный магнитный моментТак как движущийся в классической теории Бора вокруг ядра электронявляется заряженной частицей, то такое его движение обусловливаетпротекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можноохарактеризовать орбитальным магнитным моментом рм .Для расчёта орбитального магнитного момента в квантовой теорииследует определять пространственную плотность электрического токаjeчерез плотность потока вероятности jje  e  j,ij  grad      grad .2meгдеСвязь механическогогиромагнитным отношениемимагнитногомоментовопределяетсярМГ0 .LТочный квантово-механический расчёт даётвыражение получается и из теории Бора )Г0 е.2 те(причём это жеТогдаБ р М  Г О  L   Б l l  1.гдее 0,927.10-23 Дж/Тл - магнетон Бора – универсальная2 тепостоянная, служащая единицей измерения магнитных моментов атомов.Возмржные значения проекции магнитного момента атома навыделенное направление ZpZ  m   Б .Энергетический спектр электрона в атоме водорода1–переходввозбуждённое состояние2 – ионизацияWi= –E1 = 13,6 эВатомаШирина спектральных линийЛинии в спектре излучения атомов не являются бесконечно узкими –это соответствовало бы значению неопределённости ∆Е = 0, т.е.

точноопределённой энергии кванта излучения.Спектральные линии, наблюдаемые в эксперименте, имеют конечную,так называемую естественную ширинулинии Г , которая представляет собойразброс энергий фотонов относительнонекоторого среднего значения, характеризующего центр линии.Эта ширина связана с временемжизни атома в возбуждённом состояниисоотношениемГ   Экспериментальное определение ширинывремя  10 7  10 8Гпозволило оценитьс.Лекция 11Спин электронаПространственное квантование атомаутверждает дискретностьпроекции магнитного момента атома на направление внешнего магнитногополяp ZM  m Б.Продемонстрироватьданноеявлениеэкспериментально Штерну и Герлаху в 1922 г.а – схема установки;впервыеудалосьб – форма межполюсного канала магнитаУзкий атомный пучок пропускают через неоднородноемагнитное полес существенным градиентом магнитной индукции В , которая в данномопыте достаточно велика и направлена вдоль оси Z .На пролетающие в зазоре магнита атомы вдоль направлениямагнитного поля действует силаFZ  p ZM B,zобусловленная градиентом индукции неоднородного магнитного поля изависящая от значения проекции магнитного момента атома на направлениеполя.