LinAlg (1) (Теория к экзамену), страница 9

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.5. Составить матрицу линейного оператора Α , действующего влинейной оболочке L данных функций, в базисе, состоящем из этихфункций.1) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – оператордифференцирования.2) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – операторвторой производной.3) L – линейная оболочка функций a x , sin bx, cos bx , Α – операторпараллельного переноса вдоль оси X на c .4) L – линейная оболочка функций eαx cos βx, eαx sin β x , Α – оператордифференцирования.5) L – линейная оболочка функций a x , xa x , x 2 a x , Α – операторпараллельного переноса вдоль оси X на c .6.

Доказать, что ненулевое число λ является собственным значениемневырожденной квадратной матрицы A тогда и только тогда, когда λ−1является собственным значением матрицы A−1 . Как при этом связанысобственные векторы матриц A и A−1 ?7. Пусть x – собственный вектор оператора A , λ – соответствующеесобственное значение. Доказать, что x будет также собственным векторомдля оператора Ak .

Каково будет соответствующее собственное значение?8. Пусть p(λ ) – характеристический многочлен матрицы A2× 2 .Доказать, что p( A) = O , где O – нулевая матрица.⎛a b ⎞⎟⎟ . Тогда p(λ ) = λ2 − (a + d )λ + ad − bc . ДалееУказание. Пусть A = ⎜⎜⎝c d⎠нужно непосредственно найти p( A) .{{{}}}{}{}9. В линейном пространстве C ∞ (R ) бесконечно дифференцируемых наR функций найти все собственные векторы оператора второй производной.10.

Сумма элементов каждой строки невырожденной матрицы A равнаλ . Доказать, что сумма элементов каждой строки матрицы A−1 равна λ−1 .Указание. Заметим, что вектор x = (1,...,1) является собственным векторомматрицы A , отвечающим собственному значению λ .

Далее нужно доказать,что вектор x также является собственным вектором матрицы A−1 ,отвечающим собственному значению λ−1 .11. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.⎛ 2 1 − 3⎞⎟⎜Указать матрицу перехода. A = ⎜ 3 − 2 − 3 ⎟ .⎜1 1 − 2⎟⎠⎝43Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Глава IV. Линейные операторы в евклидовых пространствах4.1. Сопряженные и самосопряженные операторы и ихматрицы в ортонормированном базисе. Свойства собственныхзначений и собственных векторов самосопряженного оператораПусть E – конечномерное евклидово пространство.Определение.

Оператор A* : E → E называется сопряженным клинейному оператору A : E → E , если для любых векторов x , y ∈ E()выполняется равенство (Ax , y ) = x, A* y .Утверждение. Оператор A* , сопряженный к линейному оператору A ,является линейным.Теорема. Любому линейному оператору A : E → E соответствуетединственный сопряженныйA* : E → E , причем матрицейоператорсопряженного оператора A* в любом ортонормированном базисе eявляется транспонированная матрица исходного оператора A в том жеортонормированном базисе e : A* = AT .Задача 1. Для данного оператора Α в евклидовом пространстве V3найти сопряженный оператор Α∗ .

Ax = [a, x ] , где a – фиксированный вектор.Решение. ( Ax, y ) = ([a, x ], y ) = a, x, y = x, y, a = ( x, [ y, a ]) = x, A∗ y ∀ x, y∈V3 .((Черезa, x, yобозначеносмешанное)произведениевекторов).Следовательно, A∗ x = [ x , a ] = −[a , x ] = − Ax , т.е. A* = − A .Задача 2. Для данного оператора Α в евклидовом пространстве Lнайти сопряженный оператор Α∗ . L = f ( x ) ∈ C 1 [a, b] : f (a ) = f (b ) = 0 , где{}C 1 [a, b] – пространство непрерывно дифференцируемых функций на отрезке[a, b], Α – оператор дифференцирования.bРешение. Рассмотрим ∀f ( x), g ( x) ∈ C [a, b].

( Af , g ) = ∫ f ′( x )g ( x )dx . Учитывая,1aчтоf (a) = f (b) = g (a) = g (b) = 0 , применим формулу интегрирования почастям.bbaabb∫ f ′(x )g (x )dx = ∫ g (x )df (x ) = f (x )g (x ) − ∫ f (x )dg (x ) = −∫ f (x )g ′(x )dx .ba()aaТаким образом, поскольку ( Af , g ) = f , A g = ( f ,− Ag ) , то A = − A .Определение.ЛинейныйоператорA :E → Eназывается∗*самосопряженным, если A* = A , т.е. ∀x , y ∈ E выполняется равенство( Ax, y ) = ( x, Ay ) .Пример. Самосопряженными являются нулевой оператор Oиединичный оператор E . Действительно, ∀x , y ∈ E выполняется44Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.(Ox, y ) = (θ , y ) = ( x, θ ) = ( x, Oy ) ; (Ex, y ) = ( x, y ) = ( x, Ey ) .Теорема. Матрица самосопряженного оператора в любомортонормированном базисе является симметрической, т.е. A = AT .Теорема. Если матрица A линейного оператора A : E → E в некоторомортонормированном базисе является симметрической ( A = AT ), то операторA является самосопряженным.Перечислим свойства собственных значений и собственныхвекторов самосопряженного оператора.Теорема 1.Всекорнихарактеристическогоуравнениясамосопряженного оператора действительны (т.е.

все собственные значениясамосопряженного оператора действительные).Следствие. Самосопряженный оператор, действующий в n -мерномевклидовом пространстве, имеет равно n собственный значений, если каждоеиз них считать столько раз, какова его кратность.Теорема 2. Собственные векторы самосопряженного оператора,отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.Теорема 3.Есливсесобственныезначенияλ1 , λ2 , ..., λnсамосопряженного оператора A , действующего в n -мерном евклидовомпространстве E , попарно различны, то в E существует ортонормированныйбазис, состоящий из собственных векторов оператора A , в котором матрица⎛ λ1 0 ... 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 λ2 ...

0 ⎟A линейного оператора A имеет диагональный вид: A = ⎜.... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...λn⎠⎝Замечание. Если среди корней характеристического уравнениясамосопряженного оператора встречаются кратные корни, то справедливатеорема 4.Теорема 4. Для любого самосопряженного оператораAсуществует ортонормированный базис, состоящий из собственныхвекторов оператора A . Матрица A линейного оператора A в этомбазисе имеет диагональный вид, на диагонали расположены собственныеA , повторяющиеся столько раз, какова ихзначения операторакратность.4.2. Ортогональные операторы и ортогональные матрицыПусть E – конечномерное евклидово пространство.Определение. Линейный операторA :E → Eназываетсяортогональным оператором, если он сохраняет скалярное произведение вE , т.е.

∀x , y ∈ E выполняется равенство ( Ax , Ay ) = ( x , y ) .45Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Замечание 1. Ортогональный оператор сохраняет норму элементовевклидова пространства.Действительно, Ax = ( Ax , Ax ) = ( x , x ) = x∀x ∈ E .Замечание 2. Ортогональный оператор сохраняетуголэлементами евклидова пространства.( Ax, Ay ) = ( x, y ) = cos ∠( x, y ) .cos ∠( Ax , Ay ) =Действительно,Ax ⋅ Ayx ⋅ y∠( Ax, Ay ) – угол между элементами Ax и Ay , ∠( x, y ) – уголэлементами x и y .Теорема.

Если линейный оператор A : E → E сохраняет норму вAx = x ∀x ∈ E , то этот оператор ортогональный.22междуЗдесьмеждуE , т.е.Пример. В пространствах V2 ,V3 линейный оператор поворота векторана фиксированный угол является ортогональным, т.к. при повороте длинывекторов не изменяются.Теорема 1. Оператор A : E → E является ортогональным тогда и толькотогда, когда он переводит произвольный ортонормированный базис в E вортонормированный базис в E .Определение.

Квадратная матрица U называется ортогональной,если она удовлетворяет условию U −1 = U T .Примеры.1. Единичная матрица E является ортогональной.⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞⎟⎟ ортогональная. Напомним, что2. Матрица U = ⎜⎜⎝ sin ϕ cos ϕ ⎠матрица U является матрицей линейного оператора поворота вектора,лежащего на плоскости, на фиксированный угол ϕ против часовой стрелкив базисе i , j .Замечание 1.Пусть U – ортогональная матрица, тогдаTTU U = UU = E .Замечание 2. Определитель ортогональной матрицы может иметьодно из двух возможных значений: det U = 1 или det U = −1.Теорема 2.Матрицаортогональногооператоравлюбомортонормированном базисе ортогональна; и наоборот, если матрицалинейного оператора в некотором ортонормированном базисе ортогональна,то этот оператор является ортогональным.Теорема 3.

Матрица U является матрицей перехода от одногоортонормированного базиса конечномерного евклидова пространства кдругому ортонормированному базису того же пространства тогда и толькотогда, когда матрица U является ортогональной.46Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.4.3. Приведение симметрической матрицыпреобразованием к диагональному видуортогональнымПусть E – произвольное конечномерное евклидово пространство.Матрицы Ae и A f линейного оператора A : E → E в различныхбазисах e и f связаны соотношениемA f = Te−→1 f ⋅ Ae ⋅T e→ f ,(1)где Te→ f матрица перехода от базиса e к базису f (гл. III, п. 3.3).