LinAlg (1) (Теория к экзамену), страница 15

Найдем матрицу перехода отстарого базиса к новому. Для этого выразим переменные x1 , x 2 , x3 через⎛ 1 2 − 35 ⎞⎧ x1 = y1 + 2 y 2 − 35 y3⎜⎟⎪y1 , y 2 , y3 : ⎨ x2 = y 2 − 16 y3. Итак, X = UY , где U = ⎜ 0 1 − 16 ⎟ –⎜0 0⎪x = y1 ⎟⎠3⎝⎩ 3матрица перехода от старого базиса e к новому базису f . Учитывая, чтоматрица перехода состоит из координат векторов нового базиса в старом,записанных по столбцам, получим координаты векторов нового базисаf 1 = (1,0,0) , f 2 = (2,1,0 ) , f 3 = (− 35, − 16,1) .Окончательнополучим:f ( x ) = y12 + y 22 − 260 y32 .Указанныйканонический вид квадратичная форма имеет в каноническом базисе f 1 = e1 ,f 2 = 2 e1 + e 2 , f 3 = −35 e1 − 16 e 2 + e 3 .Задача 6. Привести квадратичную форму к каноническому видуортогональным преобразованием.f ( x ) = f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 − 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 4 x2 x3 .⎛ 1 − 2 − 2⎞⎜⎟Решение. а) A = ⎜ − 2 1 − 2 ⎟ – матрица квадратичной формы в исходном⎜− 2 − 2 1 ⎟⎝⎠ортонормированном базисе e .

Найдем собственные значения матрицы A .Для этого решим характеристическое уравнение73Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.−21− λ − 2A − λE = − 2 1 − λ − 2 = 0 .−2− 2 1− λλ1 = λ2 = 3 ,λ3 = −3–корни⎛3 0 0 ⎞⎜⎟характеристического уравнения. Λ = ⎜ 0 3 0 ⎟ – матрица квадратичной⎜ 0 0 − 3⎟⎝⎠формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе из собственныхвекторов матрицы A ).

В базисе f квадратичная форма имеет каноническийвид f ( x ) = f ( y1, y 2 , y3 ) = 3 y12 + 3 y 22 − 3 y32 .б) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ решить СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O . Координатысобственных векторов, отвечающих собственному значению λ3 = −3 , найдем⎛ 4 − 2 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟из СЛАУ ⎜ − 2 4 − 2 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Общее решение системы имеет вид:⎜ − 2 − 2 4 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜0⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠⎛α ⎞⎛ 1⎞⎜ ⎟⎜ ⎟X = ⎜ α ⎟ = α ⎜1⎟ ∀α . Вектор a 3 = (1,1,1) является собственным вектором⎜α ⎟⎜ 1⎟⎝ ⎠⎝ ⎠матрицы A , отвечающим собственному значению λ3 = −3 .

Нормируясобственный вектор a 3 , получим f 3 = 13 , 13 , 13 . Координаты собственных()векторов, отвечающих собственному значению λ1 = λ2 = 3 , найдем из СЛАУ⎛ − 2 − 2 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−−−ОбщеерешениеСЛАУимеетвид222⎜⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ .⎜ − 2 − 2 − 2⎟ ⎜ x ⎟ ⎜0⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠⎛−α − β ⎞⎛ − 1⎞⎛ − 1⎞⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟X = ⎜ α ⎟ = α ⎜ 0 ⎟ + β ⎜ 1 ⎟ ∀α , β .

a 1 = (−1,0,1) , a 2 = (−1,1,0) - линейно⎜ β ⎟⎜1⎟⎜ 0⎟⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠независимые собственные векторы, отвечающие собственному значениюλ1 = λ2 = 3 .в) Найденные собственные векторы a 1 = (−1,0,1) и a 2 = (−1,1,0) линейнонезависимы,ноортогональныминеявляются.Построимортонормированную пару собственных векторов, соответствующуюсобственному значению λ1 = λ2 = 3 , при помощи метода ортогонализацииГрама–Шмидта:1) g1 = a 1 = (−1,0,1) ,f 1 = g1 / g1 = − 12 , 0, 12 ;()74Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.2) (a 2 , f 1 ) =12(f 2 = g2 / g2 = −Найденные(), g 2 = a 2 − (a 2 , f 1 ) ⋅ f 1 = − 12 , 1, − 12 ,1 , 2 ,− 1666векторы).(f1 = −1 , 0, 122(),f2 = −ортонормированными.г) Таким образом, найденные векторы f 1 = −f3 =((1 , 1 , 13331 , 2 ,− 16661 , 0, 122),()f2 = −являются1 , 2 ,− 1666),) образуют искомый ортонормированный базис, состоящий из1 ⎞⎛− 1 − 1⎜ 263⎟21⎜⎟ являетсясобственных векторов оператора A .

Матрица U = 063⎜ 1⎟11 ⎟⎜−63⎠⎝ 2ортогональной матрицей перехода от старого ортонормированного базиса eк новому ортонормированному базису f , состоящему из собственныхвекторов матрицы A , причем Λ = U T AU .Задача 7. Построить кривую − 7 x 2 + 48 xy + 7 y 2 = 625 , приведя ееуравнение к каноническому виду ортогональным преобразованиемкоординат.⎛ − 7 24 ⎞⎟⎟ .Решение. Рассмотрим матрицу квадратичной формы A = ⎜⎜247⎝⎠Уравнение кривой второго порядка можно записать в матричном виде:⎛ x⎞X T A X = 625 , где X = ⎜⎜ ⎟⎟ – матрица-столбец переменных. Методом⎝ y⎠ортогонального преобразования приведем квадратичную форму X T A X кканоническому виду.

Для этого найдем собственные значения исоответствующие им собственные векторы матрицы A .а) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим−7−λ24характеристическое уравнениеA − λE == 0.λ1 = 25 ,247−λ0 ⎞⎛ 25⎟⎟ – матрицаλ2 = −25 – корни характеристического уравнения. Λ = ⎜⎜⎝ 0 − 25 ⎠квадратичной формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе изсобственных векторов матрицы A ).б) Найдем собственные векторы матрицы A . Координаты собственноговектора, отвечающего собственному значению λ1 = 25 , найдем из СЛАУ− 32 24 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , которая равносильна( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 25 : ⎛⎜⎜⎝ 24 − 18 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠Векторуравнению − 4 x1 + 3x2 = 0 .a 1 = (3 , 4) является собственным75Е.Б. Павельева, В.Я.

Томашпольский. Линейная алгебра.вектором матрицы A ,отвечающим собственному значению λ1 = 25 .Координаты собственного вектора, отвечающего собственному значению⎛ 18 24 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , которая равносильнаλ2 = −25 , найдем из СЛАУ ⎜⎜⎝ 24 32 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠a 2 = (−4, 3) является собственнымуравнению 3x1 + 4 x2 = 0 . Векторвектором матрицы A , отвечающим собственному значению λ2 = −25 .Нормируя собственные векторы, получимортонормированный базис,состоящий из собственных векторов матрицы A : f 1 = (53 , 54 ) , f 2 = (− 54 , 53 ) .

Вбазисе f квадратичная форма имеет канонический вид.Матрица⎛ 53 − 54 ⎞U = ⎜⎜ 4 3 ⎟⎟ является ортогональной матрицей перехода от старого⎝5 5 ⎠ортонормированного базиса e к новому ортонормированному базису f ,состоящему из собственных векторов матрицы A , det U = 1 .в) Изменение базиса привело к линейной замене переменных X = U ⋅ X ′ :⎧ x = 53 x′ − 54 y ′. В результате получим уравнение ( X ′)T Λ X ′ = 625 , где⎨34⎩ y = 5 x′ + 5 y ′0 ⎞⎛ 25⎛ x′ ⎞⎟⎟ , X ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ . Последнее уравнение можно записать вΛ = U T AU = ⎜⎜⎝ 0 − 25 ⎠⎝ y′ ⎠следующем виде: 25( x′)2 − 25( y ′)2 = 625 .

Это уравнение легко преобразуетсяк каноническому уравнению гиперболыЧтобыпостроить2− 7 x + 48 xy + 7 y = 625 , надоизобразить исходную системукоординат XOY ; в этой системекоординат отложить от точкиO собственные векторы a 1 иa 2 и вдоль них направитькоординатныеосиновойсистемы координат X ′OY ′ . Вэтой системе координат строимгиперболу с полуосями a = 5 ,b = 5 (см. рис. 4).Замечание.Матрица⎛ 3 − 4 ⎞ ⎛ cosϕ − sin ϕ ⎞⎟⎟ ,U = ⎜⎜ 54 35 ⎟⎟ = ⎜⎜sinϕcosϕ⎠⎝5 5 ⎠ ⎝(x')2 − ( y ')252гиперболу,52= 1.заданную2где3ϕ = arccos ,5являетсяуравнениемYX′Y′a2a1XРис. 476Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.матрицей линейного оператора поворота вектора, лежащего на плоскости, наугол ϕ против часовой стрелки.

Таким образом, ортонормированный базисf , состоящий из собственных векторов матрицы A , получается путемповорота базиса i , j на угол ϕ вокруг точки O – начала координат.Список литературы1. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Линейная алгебра. Вып. IV. М.:Изд-во МГТУ им.

Н. Э. Баумана, 2006. 335 с.2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Наука. Физматлит,1999. 296 с.3. Сборник задач по линейной алгебре / Под ред. Соболева С. К. М.: Издво МГТУ, 1991. 154 с.4. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра иосновы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред.Ефимова А. В., Демидовича Б. П. М.: Наука, 1993.

478 с.5. Ким Г. Д., Крицков Л. В. Алгебра и Аналитическая геометрия.Теоремы и задачи. Том 1. М.: Планета знаний, 2007. 469 с.6. Ким Г. Д., Крицков Л. В. Алгебра и Аналитическая геометрия.Теоремы и задачи. Том 2. М.: Планета знаний, 2009. 456 с.77.