LinAlg (1) (Теория к экзамену), страница 10

Еслибазисы e и f являются ортонормированными, то матрица перехода отбазиса e к базису fявляется ортогональной, т.е. Te−→1 f = TeT→ f , поэтомусоотношение (1) можно записать следующим образом(2)A f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅T e→ f .Теорема. Любая симметрическая матрица ортогональнымпреобразованием приводится к диагональному виду, т.е.

для любойсимметрической матрицы A ( A = AT ) существует ортогональная матрицаU ( U −1 = U T ) такая, чтоU T AU = Λ , где Λ – диагональная матрица,диагональными элементами которой являются собственные значенияматрицы A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.Замечание. Из доказательства теоремы следует, что U являетсяматрицей перехода из старого ортонормированного базиса к новомуортонормированному базису, состоящему из собственных векторов матрицыA.⎛ 11 2 − 8 ⎞⎟⎜Задача 1. Привести матрицу A = ⎜ 2 2 10 ⎟ к диагональному виду⎜ − 8 10 5 ⎟⎠⎝ортогональным преобразованием. Указать матрицу перехода.Решение.

а) Матрица A является симметрической: A = AT . Любуюсимметрическую матрицу можно рассматривать как матрицу некоторогосамосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе e .б) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решимхарактеристическое уравнение11 − λ2−8A − λE =22−λ10 = −(λ − 18)(λ − 9)(λ + 9) = 0 . λ1 = 18 ,λ2 = 9 ,−8105−λλ3 = −9 – корни характеристического уравнения.в) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ найти фундаментальную систему решений СЛАУ( A − λE ) ⋅ X = O .47Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.⎧ − 7 x1 + 2 x2 − 8 x3 = 0⎪Для λ1 = 18 СЛАУ имеет вид ⎨ 2 x1 − 16 x2 + 10 x3 = 0 . Ранг матрицы системы⎪− 8 x + 10 x − 13 x = 0123⎩равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1 решения. Решив⎛ − 1⎞⎛ − 1⎞⎛−α ⎞⎜ 1 ⎟⎜ ⎟⎜ α ⎟СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ 2 ⎟ = α ⎜ 2 ⎟ ∀α , где ⎜ 12 ⎟ –⎜1⎟⎜1⎟⎜ α ⎟⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим f 1 = (− 32 , 13 , 23 ) .⎧ 2 x1 + 2 x2 − 8 x3 = 0⎪Для λ2 = 9 СЛАУ имеет вид ⎨ 2 x1 − 7 x2 + 10 x3 = 0 .

Ранг матрицы системы⎪− 8 x + 10 x − 4 x = 0123⎩равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1 решения. Решив⎛ 2⎞⎛ 2⎞⎛ 2α ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ 2α ⎟ = α ⎜ 2 ⎟ ∀α , где ⎜ 2 ⎟ –⎜1⎟⎜1⎟⎜α ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠221ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим f 2 = ( 3 , 3 , 3 ) .⎧ 20 x1 + 2 x2 − 8 x3 = 0⎪Для λ3 = −9 СЛАУ имеет вид⎨ 2 x1 + 11x2 + 10 x3 = 0 .

Ранг матрицы⎪− 8 x + 10 x + 14 x = 0123⎩системы равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1 решения.⎛ α2 ⎞⎛ 12 ⎞⎜⎟⎜ ⎟Решив СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ − α ⎟ = α ⎜ − 1⎟ ∀α , где⎜ α ⎟⎜1⎟⎝ ⎠⎝⎠⎛ 12 ⎞⎜ ⎟⎜ − 1⎟ – ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим f 3 = ( 13 , − 32 , 23 ) .⎜1⎟⎝ ⎠Поскольку собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающиеразличным собственным значениям, ортогональны (теорема 2 п. 4.1.),найденные векторы f 1 = (− 32 , 13 , 23 ) , f 2 = ( 23 , 23 , 13 ) , f 3 = ( 13 , − 32 , 23 ) образуютортонормированный базис из собственных векторов.

Матрица линейного⎛18 0 0 ⎞⎟⎜оператора в этом базисе имеет вид A f = ⎜ 0 9 0 ⎟ .⎜ 0 0 − 9⎟⎠⎝48Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.г) Заметим, что мы получили координаты векторов нового базиса f висходном базисе e . Таким образом, матрица перехода от базиса e к базису⎛ − 23 23 13 ⎞⎜⎟f имеет вид U = ⎜ 13 23 − 23 ⎟ .

Поскольку U является матрицей перехода⎜ 2 1 2 ⎟⎝ 3 3 3 ⎠от ортонормированного базиса к ортонормированному базису, матрица Uявляетсяортогональной,поэтомусправедливоравенствоA f = U −1 AU = U T AU .2 − 2⎞⎛ 2⎟⎜Задача 2. Привести матрицу A = ⎜ 25 − 4 ⎟ к диагональному виду⎜− 2 − 4 5 ⎟⎠⎝ортогональным преобразованием.

Указать матрицу перехода.Решение. а) Матрица A является симметрической: A = AT . Любуюсимметрическую матрицу можно рассматривать как матрицу некоторогосамосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе e .б) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решимхарактеристическое уравнение2−λ2−2A − λE =25−λ− 4 = −(λ − 1) 2 (λ − 10) = 0 .λ1 = λ2 = 1 ,λ3 = 10–−2−4 5−λкорни характеристического уравнения.в) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ найти фундаментальную систему решений СЛАУ( A − λE ) ⋅ X = O .⎧− 8 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 0⎪Для λ3 = 10 СЛАУ имеет вид ⎨ 2 x1 − 5 x2 − 4 x3 = 0 .

Ранг матрицы системы⎪− 2 x − 4 x − 5 x = 0123⎩равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1 решения. Решив⎛ − α2 ⎞⎛ − 12 ⎞⎛ − 12 ⎞⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ − α ⎟ = α ⎜ − 1 ⎟ ∀α , где ⎜ − 1 ⎟ –⎜ α ⎟⎜ 1 ⎟⎜ 1 ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝⎠ФСР системы. Нормируя этот вектор, получим f 3 = (− 13 ,− 32 , 32 ) .⎧ x1 + 2 x2 − 2 x3 = 0⎪Для λ1 = λ2 = 1 СЛАУ имеет вид ⎨ 2 x1 + 4 x2 − 4 x3 = 0 .

Ранг матрицы⎪− 2 x − 4 x + 4 x = 0123⎩системы равен 1, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 1 = 2 решений.49Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Вычеркнув из системы второе и третье уравнения, придем к уравнениюx1 = −2 x2 + 2 x3 .ОбщеерешениеСЛАУимеетвид⎛ − 2⎞ ⎛ 2⎞⎛ 2⎞⎛ − 2⎞⎛ − 2α + 2 β ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜X =⎜α⎟ = α ⎜ 1 ⎟ + β ⎜ 0 ⎟ ∀α , β , где ⎜ 1 ⎟ и ⎜ 0 ⎟ – ФСР системы.⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟⎜1⎟⎟⎜ 0 ⎟⎜β⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎠⎝ ⎠⎝иa 2 = (2,0,1) ,Найденные собственные векторы a 1 = (−2,1,0)соответствующие собственному значению λ1 = λ2 = 1 , линейно независимы,но ортогональными не являются.г)Построимортонормированнуюпарусобственныхвекторов,соответствующую собственному значениюλ1 = λ2 = 1 , методомортогонализации Грама–Шмидта:1) g1 = a 1 = (−2,1,0) , f 1 = g1 / g1 = (− 25 , 15 , 0) ;2) (a 2 , f 1 ) = −45()(), g 2 = a 2 − (a 2 , f 1 ) ⋅ f 1 = 52 , 54 , 1 , f 2 = g 2 / g 2 = 2 , 4 , 35 .3 5 3 5Найденные векторыf 1 = (−2 , 1 ,550) ,f2 =(2 , 4 , 53 5 3 5 3),f 3 = (− 13 , − 23 , 32 )образуют ортонормированный базис из собственных векторов.

Матрица⎛1 0 0 ⎞⎟⎜линейного оператора в этом базисе имеет вид A f = ⎜ 0 1 0 ⎟ .⎜ 0 0 10 ⎟⎠⎝д) Заметим, что мы получили координаты векторов нового базиса f встаром базисе e . Таким образом, матрица перехода от базиса e к базису f21⎞⎛− 2⎜ 5 3 5 − 3⎟имеет вид U = ⎜ 15 3 4 5 − 32 ⎟ . Поскольку U является матрицей перехода⎟⎜52 ⎟⎜ 033 ⎠⎝от ортонормированного базиса к ортонормированному базису, то матрицаU является ортогональной, и справедливо равенство A f = U −1 AU = U T AU .Задачи для самостоятельного решения.1. Для данного оператора Α в евклидовом пространстве L найтисопряженный оператор Α∗ .1) L = V2 , Α – оператор поворота на угол ϕ .2) L = C [a, b], Α( f ( x )) = f ( x ) p( x ) , где p( x ) – фиксированная функция изL.3) L = f ( x ) ∈ C 2 [a; b] : f (a ) = f (b ) = 0 , где C 2 [a, b] – пространство дваждынепрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a, b], Α – операторвторой производной.{}50Е.Б. Павельева, В.Я.

Томашпольский. Линейная алгебра.2. Пусть Α – кососимметрический оператор в евклидовомпространстве, т.е. Α∗ = − A . Доказать, что для любого вектора x имеет месторавенство ( Ax, x ) = 0 .3. Найти все симметрические ортогональные матрицы размера 2 × 2 .⎛a b⎞⎟⎟ .Указание. Общий вид симметрической матрицы размера 2 × 2 : A = ⎜⎜⎝b c⎠Из ортогональности получаем A2 = E . Далее нужно составить и исследоватьсистему уравнений с переменными a , b и c .4. Доказать, что если λ является собственным значениемортогонального оператора, то λ = 1 .5.

Привести матрицу линейного самосопряженного оператора кдиагональному виду ортогональным преобразованием. Указать матрицу2 − 3⎞⎛ 0⎟⎜перехода. A = ⎜ 23 − 6⎟ .⎜− 3 − 6 8 ⎟⎝⎠Глава V. Квадратичные формы5.1. Определение квадратичной формы, матрица квадратичнойформы, преобразование матрицы квадратичной формы припереходе к новому базисуОпределение. Квадратичной формой называется однородныймногочлен второй степени от n переменных с действительнымикоэффициентами f ( x1 , x 2 ,..., xn ) =n∑ aij xi x j , гдеi , j =1aij = a ji∀i, j = 1,2,..., n .( x1 , x2 ) = 8 x12Пример.

f− 3 x1 x2 + 6 x22 – квадратичная форма ( n = 2 ).Замечание. Учитывая, что aij = a ji ∀i, j = 1,2,..., n , квадратичнуюnформу можно записать в виде f ( x1 , x 2 ,..., xn ) = ∑ aii xi2 + 2i =1Определение.Симметрическаясоставленнаяиз коэффициентовматрицей квадратичной формы.матрицаквадратичной∑aij x i x j1≤i < j ≤ n.⎛ a11 ... a1n ⎞⎜⎟A = ⎜ ...

... ... ⎟ ,⎜a⎟⎝ n1 ... ann ⎠формы, называется51Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Утверждение. Квадратичную форму можно записать в матричном⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜x ⎟виде: f ( x1 , x 2 ,..., xn ) = X T A X , где X = ⎜ 2 ⎟ – столбец переменных, A –...⎜⎜ ⎟⎟⎝ xn ⎠матрица квадратичной формы.Задача 1. Записать квадратичную форму в матричном виде:f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 − 2 x22 + 4 x32 + 6 x1 x2 − 8 x2 x3 .Решение. Учитывая, что aii – это коэффициенты при xi2 ,aij + a ji = 2aij = 2a ji – коэффициенты при xi x j , 1 ≤ i < j ≤ 3 ,матрицуквадратичнойf ( x1 , x 2 , x3 ) = X A X = ( x1Tx2формыi = 1,2,3 ,получим0 ⎞⎛1 3⎜⎟A = ⎜ 3 − 2 − 4⎟ .⎜0 − 4 4 ⎟⎝⎠0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎛1 3⎜⎟ ⎜ ⎟x3 ) ⋅ ⎜ 3 − 2 − 4 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ .⎜0 − 4 4 ⎟ ⎜ x ⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠Задача 2.

Зная матрицу квадратичной формы2⎞⎛3 1⎜⎟A = ⎜ 1 4 − 1⎟ ,⎜2 −1 5 ⎟⎝⎠записать квадратичную форму в виде многочлена.Решение. f ( x1 , x 2 , x3 ) = 3 x12 + 4 x22 + 5 x32 + 2 x1 x2 + 4 x1 x3 − 2 x2 x3 .Замечание. Пусть L – n -мерное линейное пространство.Квадратичную форму можно трактовать как отображение f : L → R ,сопоставляющее каждому элементу x ∈ L с координатами ( x1, x2 ,..., xn ) внекотором базисе eдействительное числоn∑ aij xi x j :i , j =1f ( x) =n∑ aij xi x j .i , j =1Тогда матрица коэффициентов квадратичной формы называется матрицейквадратичной формы в базисе e и обозначается Ae .Утверждение. При переходе от базиса e к базису f матрицаквадратичной формы меняется по законуA f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f ,где Te→ f – матрица перехода от базиса e к базису f .Действительно, пусть X − столбец координат вектора x ∈ L в базисе e , Y −столбец координат вектора x ∈ L в базисе f .