LinAlg (1) (Теория к экзамену), страница 11

Координаты вектора x вбазисах e и f связаны между собой соотношением X = Te→ f ⋅ Y . Запишемквадратичную форму в матричном виде:52Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.()f ( x ) = X T Ae X = (Te→ f ⋅ Y )T ⋅ Ae ⋅ (Te→ f ⋅ Y ) = Y T ⋅ TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f ⋅ Y = Y T A f Y .ВрезультатеполучимквадратичнуюформусматрицейTA f = Te→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f .Замечание. Изменение базиса в линейном пространстве L приводит клинейной замене переменных X = Te→ f ⋅ Y в квадратичной форме.Задача 1.Найтиквадратичнуюформу,полученнуюизf ( x ) = f ( x1 , x2 ) = x12 − 4 x1 x2 + 5 x22невырожденнымпреобразованием⎧ x = 2 y1 − 3 y 2.переменных: ⎨ 1⎩ x2 = y1 + y 2I способ.

Сделав замену переменных в квадратичной форме, получим:f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = (2 y1 − 3 y 2 )2 − 4(2 y1 − 3 y 2 )( y1 + y 2 ) + 5( y1 + y 2 )2 == y12 + 2 y1 y 2 + 26 y 22 .⎛ 1 − 2⎞⎟⎟ – матрица квадратичной формы в некоторомII способ. Ae = ⎜⎜⎝− 2 5 ⎠базисе e . Запишем невырожденное преобразование переменных в матричной⎛ x ⎞ ⎛ 2 − 3 ⎞ ⎛ y1 ⎞⎛ 2 − 3⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . Матрицу U = ⎜⎜⎟⎟ можем трактовать, какформе: ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜xy1111⎝⎠⎠ ⎝ 2⎠⎝ 2⎠ ⎝⎛1 1 ⎞⎟⎟ .матрицу перехода от старого базиса к новому.

Тогда A f = U T Ae U = ⎜⎜⎝1 26 ⎠Зная матрицу квадратичной формы, запишем квадратичную форму в видемногочлена f ( x ) = f ( y1 , y 2 ) = y12 + 2 y1 y 2 + 26 y 22 .Задача 2.Написатьквадратичнуюформу22f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = x1 + 4 x1 x2 + 2 x2 в новом базисе f 1 = (1, 3) , f 2 = (−1, 2) .⎛ 1 2⎞⎟⎟ – матрица квадратичной формы в исходном базисе e .Решение. Ae = ⎜⎜22⎝⎠⎛ 1 − 1⎞⎟⎟ – матрица перехода от базиса e к базису f . При переходеTe→ f = ⎜⎜32⎝⎠от базиса e к базису f матрица квадратичной формы меняется по закону⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 31 9 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎟⎟ .⎟⎟ ⋅ ⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜A f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f = ⎜⎜Квадратичная−12223291⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠форма в новом базисе имеет вид f ( x ) = f ( y1 , y 2 ) = 31y12 + 18 y1 y 2 + y 22 .53Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.5.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.Закон инерции квадратичных формОпределение.Квадратичнаяформаnf ( x1 , x 2 ,..., xn ) = ∑ aii xi2 ,i =1содержащая только квадраты переменных, называется квадратичнойформой канонического вида.

Коэффициенты aii , i = 1,2,..., n , квадратичнойформы канонического вида называются каноническими коэффициентами.Замечание. Матрица квадратичной формы канонического видаявляется диагональной.Теорема. Для любой квадратичной формы существует базис, в которомона имеет канонический вид.Определение. Базис, в котором квадратичная форма имеетканонический вид, называется каноническим базисом.Рассмотрим методы приведения квадратичной формы к каноническомувиду: метод Лагранжа и метод ортогональных преобразований.I. Метод Лагранжа.Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническомувиду состоит в последовательном выделении полных квадратов переменных.Коротко опишем этот метод.

Если a11 ≠ 0 , то вынесем a11 за скобку, в скобкесоберем все слагаемые, содержащие x1 , и дополним полученное выражениедо полного квадрата. В результате получим2n⎛⎞f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 ⋅ ⎜⎜ x1 + ∑ b j x j ⎟⎟ + f1 ( x2 ,..., xn ) ,гдеf1 ( x2 ,..., x n ) –j =2⎝⎠квадратичная форма, не содержащая переменную x1 . Выполнив линейнуюзамену y1 = x1 +n∑b j x j ,j =2получим f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 ⋅ y12 + f1 ( x2 ,..., xn ) . Сквадратичной формой f1 ( x2 ,..., x n ) поступим аналогично. Проиллюстрируемэтот метод на конкретном примере.Задача.Привестиквадратичнуюформу22f ( x ) = f ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + x3 − 3 x1 x2 + 4 x1 x3 + 2 x2 x3 к каноническому видуметодом Лагранжа.Решение.

Поскольку a11 = 1 ≠ 0, соберем слагаемые, содержащие x1 , идополним полученное выражение до полного квадрата:x12 − 3 x1 x2 + 4 x1 x3 = x12 + 2 x1 (− 32 x2 + 2 x3 ) + (− 32 x2 + 2 x3 ) 2 − (− 32 x2 + 2 x3 ) 2 == ( x1 − 32 x2 + 2 x3 ) 2 − ( 94 x22 − 6 x2 x3 + 4 x32 ) = y12 − 94 x22 + 6 x2 x3 − 4 x32 ,где y1 = x1 − 32 x2 + 2 x3 .54Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Итак, f ( x ) = y12 − 94 x22 + 6 x2 x3 − 4 x32 + x32 + 2 x2 x3 = y12 − 94 x22 − 3 x32 + 8 x2 x3 .Поскольку коэффициент при x22 не равен нулю, вынесем этот коэффициентза скобку, в скобке соберем все слагаемые, содержащие x 2 , и дополнимполученное выражение до полного квадрата:− 94 x22 + 8 x2 x3 = − 94 ( x22 − 32x x ) = − 94 ( x22 − 2 x2 ⋅ 169 x3 + (169 x3 ) 2 − (169 x3 ) 2 ) =9 2 3= − 94 ( x2 − 169 x3 ) 2 +64 x 2 = − 9 y 2 + 64 x 2 ,9 34 29 32229 y + 64 x − 3 x = y 2314 29 3где y 2 = x2 − 169 x3 .Итак, f ( x ) = y12 −− 94 y 22 + 37x 2 = y12 − 94 y 22 + 37y2,9 39 3гдеy1 = x1 − 32 x2 + 2 x3 , y 2 = x2 − 169 x3 , y3 = x3 .

Найдем матрицу перехода отстарого базиса к новому. Для этого выразим переменные x1 , x 2 , x3 через⎧ x1 = y1 + 32 y 2 + 32 y3⎛ 1 32 23 ⎞⎜⎟⎪y1 , y 2 , y3 : ⎨ x2 = y 2 + 169 y3. Итак, X = UY , где U = ⎜ 0 1 169 ⎟ – матрица⎜0 0 1 ⎟⎪x = y3⎩ 3⎝⎠перехода от старого базиса e к новому базису f . Учитывая, что матрицаперехода состоит из координат векторов нового базиса в старом, записанныхпо столбцам, получим координаты векторов нового базиса f 1 = (1,0,0) ,f 2 = (32 ,1,0 ) , f 3 = (23 , 169 ,1).f ( x ) = y12 − 94 y 22 + 37y2 .УказанныйОкончательнополучим:9 3канонический вид квадратичная форма имеет в каноническом базисе f 1 = e1 ,f 2 = 32 e1 + e 2 , f 3 = 32 e1 + 169 e 2 + e 3 .Замечание 1. Если коэффициент a11 = 0 , т.е.

нет слагаемого x12 , ноотличен от нуля коэффициент при квадрате какой-либо другой переменной,то надо начинать выделение полного квадрата с этой переменной.Замечание 2. Если все коэффициенты при квадратах переменныхравны нулю, то сначала надо выполнить промежуточную заменупеременных.

Пусть, например, a12 ≠ 0 , т.е. присутствует слагаемое 2a12 x1 x2 .Сделаем линейную замену переменных: x1 = x1′ + x2′ , x2 = x1′ − x2′ , xi = xi′ ,()i = 3,4,..., n , тогда 2a12 x1 x2 = 2a12 ⋅ ( x1′ + x2′ )( x1′ − x′2 ) = 2a12 ( x1′ )2 − ( x′2 )2 . Послезамены переменных получим квадратичную форму, у которой коэффициентпри ( x1′ )2 отличен от нуля.II. Метод ортогонального преобразования.Пусть E – n -мерное евклидово пространство. При переходе от базисаe к базисуf матрица квадратичной формы меняется по законуA f = TeT→ f ⋅ Ae ⋅ Te→ f , где Te→ f – матрица перехода от базиса e к базису f(гл. V, п.

5.1).Поскольку матрица квадратичной формы являетсясимметрической,онаможетбытьприведенаортогональным55Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.преобразованием к диагональному виду, т.е. для матрицы Ae существуеттакая ортогональная матрица U ( U −1 = U T ), что U T Ae U = Λ . Здесь Λ –диагональная матрица, диагональными элементами которой являютсясобственные значения матрицы Ae , повторяющиеся столько раз, какова ихкратность. При этом матрица U является матрицей перехода из старогоортонормированного базиса к новому ортонормированному базису,состоящему из собственных векторов матрицы Ae (гл.

IV, п. 4.3).⎛ λ1 0 ... 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 λ2 ... 0 ⎟имеетКвадратичная форма с матрицей A f = Λ = ⎜... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...λn⎠⎝канонический вид: f ( x ) = λ1 y12 + ... + λn y n2 . Ортонормированный базис f ,состоящий из собственных векторов матрицы Ae , является каноническимбазисом квадратичной формы.Задача 1. Найти ортогональное преобразование, приводящееквадратичную форму f ( x ) = f ( x1 , x2 ) = x12 + 4 x1 x2 + x22 к каноническомувиду.

Написать канонический вид.⎛1 2⎞⎟⎟ – матрица квадратичной формы в исходномРешение. а) A = ⎜⎜⎝2 1⎠ортонормированном базисе e . Найдем собственные значения матрицы A .Для этого решим характеристическое уравнение1− λ2A − λE == (1 − λ ) 2 − 4 = 0 .–корниλ1 = −1 ,λ2 = 321− λ⎛ − 1 0⎞⎟⎟ – матрица квадратичнойΛ = ⎜⎜характеристического уравнения.03⎝⎠формы в новом базисе f (ортонормированном базисе из собственныхвекторов матрицы A ).

В базисе f квадратичная форма имеет каноническийвид f ( x ) = f ( y1, y 2 ) = − y12 + 3 y 22 .б) Чтобы построить базис из собственных векторов, надо для каждогособственного значения λ решить СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O . Координатысобственного вектора, отвечающего собственному значению λ1 = −1 , найдем⎛ 2 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . Общее решение системы имеет вид:из СЛАУ ⎜⎜22⎝⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎛ α ⎞⎛1⎞⎟⎟ = α ⎜⎜ ⎟⎟ ∀α . Вектор a1 = (1,−1) является собственным векторомX = ⎜⎜⎝−α ⎠⎝ − 1⎠матрицы A , отвечающим собственному значению λ1 = −1 .

Координатысобственного вектора, отвечающего собственному значению λ2 = 3 , найдем56Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.⎛ − 2 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . Общее решение системы имеет вид:⎝ 2 − 2 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎛α ⎞⎛ 1⎞X = ⎜⎜ ⎟⎟ = α ⎜⎜ ⎟⎟ ∀α .

Вектор a 2 = (1, 1) является собственным вектором⎝α ⎠⎝ 1⎠матрицы A ,отвечающим собственному значению λ2 = 3 . Нормируясобственные векторы, получим ортонормированный базис, состоящий изсобственных векторов матрицы A : f 1 = 12 , − 12 , f 2 = 12 , 12 , в которомиз СЛАУ()()квадратичная форма имеет указанный канонический вид.Матрица1 ⎞⎛ 122⎟⎜U=является ортогональной матрицей перехода от базиса e к11⎟⎜−2⎠⎝ 2базису f , причем Λ = U T A U . Изменение базиса привело к линейной⎧⎪ x1 = 1 y1 + 1 y 222замене переменных X = U ⋅ Y в квадратичной форме: ⎨.1 y + 1 y=−x⎪⎩ 21222Задача 2.

Найти ортогональное преобразование, приводящееквадратичную форму к каноническому виду. Написать канонический вид.f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 11 x12 + 5 x 22 + 2 x 32 + 16 x1 x 2 + 4 x1 x 3 − 20 x 2 x 3 .2 ⎞⎛11 8⎜⎟5− 10 ⎟ – матрица квадратичной формы в исходномРешение. а) A = ⎜ 8⎜ 2 − 102 ⎟⎠⎝ортонормированном базисе e . Найдем собственные значения матрицы A .Дляэтогорешимхарактеристическоеуравнение11 − λ82A − λE = 85 − λ − 10 = 0 .λ1 = 18 , λ2 = 9 , λ3 = −9 – корни2− 10 2 − λ⎛18 0 0 ⎞⎜⎟характеристического уравнения.