LinAlg (1) (Теория к экзамену), страница 13

При n = 2 уравнение (1) является уравнением кривойвторого порядка на плоскости, при n = 3 уравнение (1) является уравнениемповерхности второго порядка в трехмерном пространстве.nЗамечание 2. Слагаемое∑ aij xi x jбудем называть группой старшихi , j =1членов уравнения (1), группу слагаемыхn∑ bi xi + cбудем называтьi =1линейной частью уравнения (1).62Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Замечание 3.квадратичнойГруппастаршихчленовf ( x ) = f ( x1 , x 2 ,..., xn ) =формойуравненияn∑ aij xi x j(1)сявляетсяматрицейi , j =1⎛ a11 ...

a1n ⎞⎜⎟A = ⎜ ... ... ... ⎟ , члены первого порядка образуют линейную форму⎜a⎟⎝ n1 ... ann ⎠n∑ bi xii =1()с матрицей-строкой B = b1 b2 ... bn . Уравнение (1) можно записать вматричном виде:XT AX + B X + c =0,(2)⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜x ⎟где X = ⎜ 2 ⎟ – матрица-столбец переменных....⎜⎜ ⎟⎟⎝ xn ⎠Упростим уравнение (1). Для этого приведем квадратичную форму кканоническому виду. Существует ортонормированный базис, состоящий изсобственных векторов матрицы A , в котором квадратичная форма имеетканонический вид f ( x ) = λ1 y12 + ... + λn y n2 , где λi , i = 1,2,..., n , – собственныезначения матрицы A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.Матрица перехода от старого ортонормированного базиса к новомуортонормированному базису U является ортогональной.Сделаем замену переменных X = UY .

Тогда уравнение (2) примет вид:((UY )T ⋅ A ⋅ (UY ) + B ⋅ (UY ) + c = 0)⇔ Y T ⋅ U T AU ⋅ Y + (BU ) ⋅ Y + c = 0 ⇔⎛ λ1 0 ... 0 ⎞⎜⎟λ0...0⎜⎟2Λ=⎜Y T ΛY + DY + c = 0 , где, D = B ⋅ U . Последнее... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ 0 0 ... λn ⎠уравнение можно записать в следующем виде:nni =1i =1∑ λi yi2 + ∑ d i yi + c = 0 .(3)Уравнение (3) проще уравнения (1), т. к. оно не содержит слагаемых видаy i y j , при i ≠ j . Дальнейший анализ уравнения (3) при n = 2 и n = 3проводится по стандартной схеме, рассмотренной в курсе аналитическойгеометрии.Замечание.

В двумерном случае ( n = 2 ) при дополнительном условииdet U = 1 преобразование X = UY является поворотом системы координатвокруг неподвижного начала системы координат. В трехмерном случае( n = 3 ) при дополнительном условии det U = 1 преобразованиеX = UY63Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.является поворотом системы координат вокруг некоторой оси, проходящейчерез начало координат.Задача 1.Исследоватьуравнениеипостроитькривую229 x + 4 xy + 6 y − 16 x − 8 y − 2 = 0 .Решение. Рассмотрим матрицы квадратичной и линейной формы:⎛9 2⎞⎟⎟ , B = (−16 − 8) . Уравнение кривой второго порядка можноA = ⎜⎜26⎝⎠⎛ x⎞записать в матричном виде: X T A X + B X − 2 = 0 , где X = ⎜⎜ ⎟⎟ – матрица⎝ y⎠столбец переменных.

Методом ортогонального преобразования приведемквадратичную форму X T A X к каноническому виду. Для этого найдемсобственные значения и соответствующие им собственные векторыматрицы A .а) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим9−λ2характеристическое уравнение A − λE == 0 . λ1 = 10 , λ2 = 5 –26−λ⎛10 0 ⎞⎟⎟ – матрица квадратичнойкорни характеристического уравнения.

Λ = ⎜⎜⎝ 0 5⎠формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе из собственныхвекторов матрицы A ).б) Найдем собственные векторы матрицы A . Координаты собственноговектора, отвечающего собственному значению λ1 = 10 , найдем из СЛАУ− 1 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . СЛАУ равносильна( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 10 : ⎛⎜⎜⎝ 2 − 4 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠уравнению − x1 + 2 x2 = 0 . Вектор a 1 = (2 , 1) является собственным векторомматрицы A , отвечающим собственному значению λ1 = 10 . Координатысобственного вектора, отвечающего собственному значению λ2 = 5 , найдем⎛ 4 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , которая равносильна уравнению 2 x1 + x2 = 0 .из СЛАУ ⎜⎜⎝ 2 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠a 2 = (−1, 2) является собственным вектором матрицы A ,Векторотвечающим собственному значению λ2 = 5 .

Нормируя собственныевекторы, получим ортонормированный базис, состоящий из собственныхвекторов матрицы A :f 1 = 25 , 15 ,f 2 = − 15 , 25 . В базисе f()()⎛ 2 − 1 ⎞5⎟квадратичная форма имеет канонический вид. Матрица U = ⎜ 152 ⎟⎜5 ⎠⎝ 5является ортогональной матрицей перехода от старого ортонормированного64Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский.

Линейная алгебра.базиса e к новому ортонормированному базису f , состоящему изсобственных векторов матрицы A , det U = 1 .в) Изменение базиса привело к линейной замене переменных X = U ⋅ X ′ :⎧⎪ x = 2 x′ − 1 y ′55. В результате получим уравнение ( X ′)T Λ X ′ + D X ′ − 2 = 0 ,⎨12′′⎪⎩ y = 5 x + 5 y⎛ x′ ⎞⎛10 0 ⎞⎟⎟ , BU = D = (−8 5 0) , X ′ = ⎜⎜ ⎟⎟ .Последнеегде Λ = U T AU = ⎜⎜′y05⎝ ⎠⎝⎠уравнениеможнозаписатьвследующемвиде:2210( x′) + 5( y ′) − 8 5 x′ − 2 = 0 . Выделяя в уравнении полный квадрат(10( x′)2 − 8 5 x′ = 10 x′ −(10 x′ −)2 25)2 25− 8,придемкуравнению+ 5( y ′)2 − 10 = 0 . ВыполнивY⎧ x′′ = x′ − 2′′Y5,замену переменных⎨′Y′′′⎩y = yполучимуравнениеX ′ ( X ′′)10( x′′)2 + 5( y ′′)2 = 10 , которое легкоa2a1преобразуетсякканоническому(x′′)2 ( y ′′)2Q+=1.уравнению эллипса212X2Чтобыпостроитьэллипс,заданныйуравнением229 x + 4 xy + 6 y − 16 x − 8 y − 2 = 0 , надо Рис.

2изобразитьисходнуюсистемуOкоординат XOY ; в этой системе координат отложить от точкисобственные векторы a 1 и a 2 и вдоль них направить координатные осиновой системы координат X ′OY ′ . В системе координат X ′OY ′ надо отметитьточку Q ( 25 ,0) , являющуюся началом еще одной системы координат X ′′ Q Y ′′ с( )осями, параллельными осям OX ′ и OY ′ . В системе координат X ′′QY ′′ строимэллипс с полуосями a = 1 , b = 2 (см. рис. 2).⎛ 2 − 1 ⎞ ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞5⎟⎟⎟ ,=⎜Замечание 1.МатрицаU = ⎜ 15где2 ⎟ ⎜⎜sinϕcosϕ⎝⎠5 ⎠⎝ 5ϕ = arccos( 25 ) , является матрицей линейного оператора поворота вектора,лежащего на плоскости, на угол ϕ против часовой стрелки. Таким образом,ортонормированный базис f , состоящий из собственных векторов матрицыA , получается путем поворота базиса i , j на угол ϕ вокруг точки O – началакоординат.65Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.⎧ x′′ = x′ − 25 определяют параллельныйЗамечание 2. Соотношения ⎨⎩ y ′′ = y ′перенос системы координат на вектор OQ = ( 25 , 0) . Зная координаты точкиQ в системе координат X ′OY ′ : x′ =25, y ′ = 0 , можно найти координатыточки Q в исходной системе координат: x = 54 , y = 52 .⎧⎪ x = 2 x′ − 1 y ′55в ⎨, получим12⎪⎩ y = 5 x′ + 5 y ′⎧⎪ x = 2 x′′ − 1 y ′′ + 5455связь между новыми и старыми координатами ⎨.1 x ′′ + 2 y ′′ + 2y=⎪⎩555Задача 2.

Привести к каноническому виду уравнение поверхностиx 2 + y 2 + z 2 + 4 xy + 4 yz + 4 xz + 2 x − 2 z − 3 = 0 .Решение. Рассмотрим матрицы квадратичной и линейной формы:⎛ 1 2 2⎞⎜⎟A = ⎜ 2 1 2 ⎟ , B = ( 2 0 − 2 ) . Уравнение поверхности второго⎜2 2 1⎟⎝⎠порядка можно записать в матричном виде: X T A X + B X − 3 = 0 ,где⎛ x⎞⎜ ⎟X = ⎜ y⎟ –матрица-столбец переменных. Методом ортогонального⎜z⎟⎝ ⎠преобразования приведем квадратичную форму X T A X к каноническомувиду.

Для этого найдем собственные значения и соответствующие имсобственные векторы матрицы A .а) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим1− λ22⎧ x′ = x′′ +Замечание 3. Подставляя ⎨⎩ y ′ = y ′′характеристическое уравнение A − λE =2521− λ2= 0 . λ1 = λ2 = −1 ,1− λ⎛ − 1 0 0⎞⎜⎟λ3 = 5 – корни характеристического уравнения. Λ = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ – матрица⎜ 00 5 ⎟⎠⎝квадратичной формы в новом базисе f (в ортонормированном базисе изсобственных векторов матрицы A ).б) Найдем собственные векторы матрицы A . Координаты собственноговектора, отвечающего собственному значению λ1 = λ2 = −1 , найдем из СЛАУ2266Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.⎛ 2 2 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟( A − λE ) ⋅ X = O при λ = −1: ⎜ 2 2 2 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . Ранг матрицы системы⎜ 2 2 2⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟⎝⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠равен 1, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 1 = 2 решений. СЛАУВекторыa 1 = (−1,0 , 1) иравносильна уравнению x1 + x2 + x3 = 0 .a 2 = (−1,1, 0) являются линейно независимыми собственными векторамиматрицы A , отвечающими собственному значению λ1 = λ2 = −1 .Аналогично найдем координаты собственного вектора матрицы A ,отвечающего собственному значению λ3 = 5 .

Получим a 3 = (1,1,1) .в) Найденные собственные векторы a 1 = (−1,0,1) и a 2 = (−1,1,0) линейнонезависимы,ноортогональныминеявляются.Построимортонормированную пару собственных векторов, соответствующуюсобственному значению λ1 = λ2 = −1 , при помощи метода ортогонализацииГрама-Шмидта:1) g1 = a 1 = (−1,0,1) ,f 1 = g1 / g1 = − 12 , 0, 12 ;(2) (a 2 , f 1 ) =(, g 2 = a 2 − (a 2 , f 1 ) ⋅ f 1 = − 12 , 1, − 1212(f 2 = g2 / g2 = −Найденные)1 , 2 ,− 1666векторы).(f1 = −1 , 0, 122))(f2 = −и1 , 2 ,− 1666)являютсяортонормированными.г) Нормируя вектор a 3 = (1,1,1) , получим ортонормированный базис изсобственных векторов матрицы A : f 1 = − 12 , 0, 12 , f 2 = − 16 , 26 ,− 16 ,f3 =(1 , 1 , 1333).