LinAlg (1) (Теория к экзамену), страница 8

Пусть x – собственный вектор оператора A , отвечающийсобственному значению λ , тогда Ax = [i , x ] = λx . Учитывая, что вектор [i , x ]перпендикулярен вектору x , а вектор λx при λ ≠ 0 коллинеарен вектору x ,получим, что при λ ≠ 0 уравнение [i , x ] = λx не имеет нетривиального[i , x ] = 0 .решения. При λ = 0 последнее уравнение принимает видНетривиальным решением данного уравнения являются все ненулевыевекторы x коллинеарные вектору i , т.е. x = (α ,0,0) ∀α ≠ 0 . Таким образом,x = (α ,0,0) ∀α ≠ 0 является собственным вектором оператора A ,отвечающим собственному значению λ = 0 .Задача 2.

Найти собственные значения и собственные векторылинейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей⎛ 0 1 0⎞⎜⎟A = ⎜ − 4 4 0⎟ .⎜ − 2 1 2⎟⎝⎠Решение.Запишемхарактеристическоеуравнение10−λA − λE = − 4 4 − λ0 = 0 . Разложив определитель по третьему−212−λстолбцу, приведем характеристическое уравнение к виду (λ − 2) 3 = 0 . λ = 2 –корень характеристического уравнения кратности 3. Координатысобственного вектора, отвечающего собственному значению λ = 2 , найдем37Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.⎧ − 2 x1 + x2 + 0 x3 = 0⎪из однородной СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 2 : ⎨− 4 x1 + 2 x2 + 0 x3 = 0 .⎪ − 2x + x + 0x = 0123⎩Вычеркнув из системы второе и третье уравнения, придем к уравнению− 2 x1 + x2 = 0 .

Решение СЛАУ имеет вид: x1 = α , x2 = 2α , x3 = β∀α , β .x = (α ,2α , β ) для любых действительных α и β ,Таким образом,одновременно не равных нулю, является собственным вектором оператораA , отвечающим собственному значению λ = 2 .Замечание. Собственный вектор x = (α ,2α , β ) можно представить ввиде линейной комбинации двух линейно независимых векторовx = α (1,1,0) + β (0,0,1) .

Векторы e 1 = (1,1,0) и e 2 = (0,0,1) порождаютсобственное подпространство линейного оператора A , отвечающеесобственному значению λ = 2 .Задача 3.ВлинейномпространствеC ∞ (R )бесконечнонайти все собственные векторыдифференцируемых на R функцийоператора дифференцирования.Решение. Пусть f ( x ) – собственный вектор оператора дифференцирования,отвечающий собственному значению λ , тогдаAf ( x) = f ′( x ) = λf ( x ) .f ( x) является решением дифференциального уравнения сФункцияразделяющимися переменными f ′( x ) = λf ( x ) .

f ( x) = 0 является частнымрешением этого уравнения. Разделив переменные, решим дифференциальноеdfуравнение:= λdx ; ln f = λx + ln c ∀c ≠ 0 ; f ( x ) = ceλx ∀c ≠ 0 . Добавивfрешение f ( x) = 0 , получим общее решение дифференциального уравнения:f ( x ) = ceλx ∀c ∈ R . Таким образом, f ( x ) = ceλx ∀c ≠ 0 является собственнымвектором оператора дифференцирования, отвечающим собственномузначению λ ∀λ ∈ R .Задача 4.Доказать,чтохарактеристическиймногочленкососимметрической матрицы четного порядка n является четной функцией.Решение.

Матрица является кососимметрической, если AT = − A . Запишемхарактеристический многочлен и преобразуем его, используя свойстваопределителей:p(λ ) = A − λE = ( A − λE )T = AT − λE T = − A − λE = (− 1)n A + λE . Посколькуn четно, (− 1)n = 1 и, следовательно, p(λ ) = A + λE = p(− λ ) для ∀λ ∈ R , т.е.p(λ ) – четная функция.38Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.3.5.

Приведение матрицы линейного оператора к диагональномувидуПусть L – произвольное конечномерное линейное пространство.Теорема. Матрица линейного оператора A : L → L в некоторомбазисе является диагональной тогда и только тогда, когда все векторыэтого базиса являются собственными векторами оператора A .Докажем эту теорему.1. Пусть матрица линейного оператора в базисе e = (e1 , e 2 , ..., e n ) имеет⎛ a11 0 ... 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 a22 ... 0 ⎟вид: A = ⎜. Учитывая, что i -й столбец матрицы линейного... ...

... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...ann ⎠⎝оператора A в базисе e является столбцом координат вектора Ae i ,e,получим:Ae 1 = (a11 ,0,...,0) = a11 ⋅e 1 ,i = 1, 2, ..., n ,вбазисеAe 2 = (0, a22 ,...,0) = a22 ⋅e 2 , …, Ae n = (0,0,..., ann ) = ann ⋅e n . Таким образом,вектор e1 является собственным вектором оператора A , отвечающимсобственному значению a11 , вектор e 2 – собственным вектором,отвечающим собственному значению a22 , …, вектор e n – собственнымвектором, отвечающим собственному значению ann .2.

Пусть векторы базиса e = (e1 , e 2 , ..., e n ) являются собственнымивекторами оператора A , отвечающими собственным значениям λ1 , λ2 ,..., λ nсоответственно. Тогда Ae 1 = λ1 ⋅e 1 = (λ1 ,0,...,0) , Ae 2 = λ2 ⋅e 2 = (0, λ2 ,...,0) , …,Ae n = λn ⋅e n = (0,0,..., λn ) . Матрица линейного оператора в базисе⎛ λ1 0 ... 0 ⎞⎜⎟⎜ 0 λ2 ... 0 ⎟e = (e1 e 2 ... e n ) имеет вид: A = ⎜.... ... ... ... ⎟⎜⎜⎟⎟00...λn⎠⎝Замечание. Если матрица линейного оператора A : L → L в базисеe = (e1 , e 2 , ..., e n ) является диагональной, то на ее диагонали расположенысобственные значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова ихкратность.Следствие 1. Если характеристическое уравнение линейногооператора, действующего в n -мерном линейном пространстве, имеет nпопарно различных действительных корней, то существует базис, в которомматрица линейного оператора является диагональной.Замечание. Если характеристическое уравнение линейного оператораимеет кратные действительные корни, то может не существовать базиса, вкотором матрица линейного оператора будет диагональной.39Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Действительно, пусть матрица линейного оператора в некотором базисе⎛2 1⎞⎟⎟ . РешимA = ⎜⎜характеристическое уравнениеимеет вид⎝ 0 2⎠2−λ1A − λE == (2 − λ ) 2 = 0 . λ = 2 – корень характеристического02−λуравнения кратности 2. Координаты собственного вектора, отвечающегособственному значению λ = 2 , найдем из СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 2 :⎛ 0 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . Решение системы имеет вид: x1 = α , x2 = 0 ∀α .

Таким⎝ 0 0 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 0 ⎠образом, x = (α ,0) = α (1,0 ) для любого действительного α ≠ 0 , являетсясобственным вектором оператора A , отвечающим собственному значениюλ = 2 . Собственное подпространство линейного оператора A , отвечающеесобственному значению λ = 2 одномерно, а оператор A действует вдвумерном пространстве. Поэтому в данном линейном пространстве несуществует базиса, состоящего из собственных векторов оператора A , и,следовательно, не существует базиса, в котором матрица линейногооператора является диагональной.Следствие 2. Существует базис, в котором матрица линейногооператора A : L → L является диагональной тогда и только тогда, когдасумма размерностей всех собственных подпространств линейного оператораA равна размерности линейного пространства L .Задача.

Привести матрицу линейного оператора к диагональному⎛ 1 1 1⎞⎟⎜виду. A = ⎜1 1 1⎟ – матрица линейного оператора в некотором базисе e .⎜ 1 1 1⎟⎠⎝Указать базис f , в котором матрица линейного оператора имеетдиагональный вид.Решение. Найдем собственные значения и собственные векторы линейногооператораA.Запишемхарактеристическоеуравнение1− λ11A − λE =11− λ1111− λ= 0 . Разложив определитель по первой строке,приведем характеристическое уравнение к виду λ2 (λ − 3) = 0 . λ1 = λ2 = 0 ,λ3 = 3 – корни характеристического уравнения. Чтобы построить базис изсобственных векторов, надо для каждого собственного значения λ найтифундаментальную систему решений СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O . Для λ1 = λ2 = 0⎧ x1 + x2 + x3 = 0⎪СЛАУ имеет вид ⎨ x1 + x2 + x3 = 0 .

Ранг матрицы системы равен 1, поэтому⎪x + x + x = 023⎩ 140Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.ФСР системы состоит из n − r = 3 − 1 = 2 решений. Вычеркнув из системывторое и третье уравнение, придем к уравнению x1 = − x2 − x3 . Общее⎛−α − β ⎞⎛ − 1⎞⎛ − 1⎞⎛ − 1⎞⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟решение СЛАУ имеет вид X = ⎜ α ⎟ = α ⎜ 1 ⎟ + β ⎜ 0 ⎟ ∀α , β , где ⎜ 1 ⎟ и⎜ β ⎟⎜0⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎠⎝⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎧− 2 x1 + x2 + x3 = 0⎛ − 1⎞⎜ ⎟⎪⎜ 0 ⎟ – ФСР системы. Для λ3 = 3 СЛАУ имеет вид ⎨ x1 − 2 x2 + x3 = 0 . Ранг⎜1⎟⎪ x + x − 2x = 023⎩ 1⎝ ⎠матрицы системы равен 2, поэтому ФСР системы состоит из n − r = 3 − 2 = 1⎛ 1⎞⎛α ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟решения. Решив СЛАУ, получим общее решение системы X = ⎜ α ⎟ = α ⎜1⎟⎜ 1⎟⎜α ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛1⎞⎜ ⎟∀α , где ⎜1⎟ – ФСР системы.⎜1⎟⎝ ⎠f 1 = (−1,1,0) , f 2 = (−1,0,1) ,Таким образом, найденные векторыf 3 = (1,1,1) образуют искомый базис, состоящий из собственных векторовоператора A .

Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид⎛0 0 0⎞⎟⎜A f = ⎜ 0 0 0 ⎟ . На диагонали матрицы A f расположены собственные⎜ 0 0 3⎟⎠⎝значения оператора A , повторяющиеся столько раз, какова их кратность.Te→ fЗамечание. Матрица перехода от базиса e к базису f имеет вид⎛ − 1 − 1 1⎞⎟⎜0 1⎟ , причем A f = Te−→1 f ⋅ A ⋅T e→ f (см. формулу (1) п. 3.3.).=⎜ 1⎜01 1⎟⎠⎝Задачи для самостоятельного решения.1. Доказать, что всякий линейный оператор переводит линейнозависимую систему векторов снова в линейно зависимую систему.2. Пусть e1 ,..., e k – линейно независимые векторы линейногопространства L , f 1 ,..., f k – произвольные векторы линейного пространстваL1 . Доказать, что существует такой линейный оператор Α : L → L1 , чтовыполняется Αe i = f i .

∀ i = 1,2,..., k .3. Проверить, будут ли данные операторы линейными.41Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.1) Α : R n → R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) Ax = ( x1 ,..., xk ,0,...,0 ) при фиксированномзначении k , 1 ≤ k ≤ n , (оператор проектирования).2) Α : R n → R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) Ax = x12 ,..., xn 2 .()3) Α : R n → R , ∀x = ( x1 ,..., xn ) Ax = a1 x1 + ... + an xn при фиксированныхзначениях a1 ,..., an .4) Α : V3 → R , Ax = (a, x ) для фиксированного вектора a .5) Α : V3 → V3 , Ax = (a, x ) x для фиксированного вектора a .6) Α : L → R , где L – пространство сходящихся последовательностей,A({an }) = lim an .n→∞7) Α : L → R , где L – пространство арифметических прогрессий,A({an }) = d , где d – разность данной прогрессии.8) Α : L → L , где L – пространство всех последовательностей,A({an }) = {bn }, где bn = an + m при фиксированном значении m (операторсмещения).9) Α : L → L , где L – пространство всех последовательностей,A({an }) = {bn }, где bn = an +1 − an (разностный оператор).10) Α : C [a, b] → R , A( f ( x )) = f (a ) .b11) Α : C [a, b] → R , A( f ( x )) = ∫ f ( x )dx .aC 1 (R )– пространство непрерывно12) Α : C (R ) → C (R ) , гдедифференцируемых функций на R , A( f ( x )) = f ′( x ) (оператордифференцирования).13) Α : C (R ) → C (R ) , A( f ( x )) = f ( x − a ) при фиксированном значении a(оператор параллельного переноса вдоль оси X на a ).14) Α : M n× n → R , A(B ) = det B .115) Α : M n× n → R n , A(B ) = (b11 ,..., bnn ) .16) Α : M n× n → M n× n , A(B ) = BC для фиксированной матрицы C размераn× n.4.

Составить матрицу линейного оператора Α , действующего впространстве L в естественном базисе.1) L = V3 , Α – оператор поворота вокруг оси Y на угол ϕ .2) L = V3 , Ax = [a, x ] , где a = (α , β , γ ) – фиксированный вектор.3) L = R n , ∀x = ( x1 ,..., xn ) Ax = ( x2 , x3 ,..., xn , x1 ) (оператор циклическойперестановки).4) L = P3 , Α – оператор дифференцирования.5) L = P2 , Α – оператор параллельного переноса вдоль оси X на a .⎛a b ⎞⎟⎟ – фиксированная матрица.6) L = M 2× 2 , A(B ) = BC , где C = ⎜⎜⎝c d⎠42Е.Б.