LinAlg (1) (Теория к экзамену), страница 4

Для того чтобы⎜0 1 1⎟⎝⎠найти матрицу перехода от f к g , надо найти координаты векторов базисаg в базисе f . Найдем координаты g 1 в базисе f . Вектор g 1 имееткоординаты (1,1,1) в базисе e и координаты ( x1 , x2 , x3 ) в базисе f , т.е.⎛1⎞⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟G1 e = ⎜1⎟ , G1 f = ⎜ x2 ⎟ . Воспользовавшись формулой (3) G1e = Te→ f ⋅ G1 f ,⎜1⎟⎜x ⎟⎝ ⎠⎝ 3⎠⎛1⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟получим СЛАУ ⎜1⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ . x1 = 12 , x2 = 12 , x3 = 12 – решение⎜1⎟ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ x ⎟⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝ 3⎠системы. Таким образом, вектор g 1 в базисе f имеет координатыg 1 = (12 , 12 , 12 ) . Аналогично найдем координаты g 2 в базисе f , решив систему⎛1⎞ ⎛1⎜ ⎟ ⎜⎜ 2⎟ = ⎜1⎜ 0⎟ ⎜0⎝ ⎠ ⎝⎛ − 1⎞ ⎛ 1⎜ ⎟ ⎜⎜ 0 ⎟ = ⎜1⎜ 0 ⎟ ⎜0⎝ ⎠ ⎝1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜ ⎟0 1 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ и координаты1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ x3 ⎟⎠1 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜ ⎟0 1 ⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ .

Вектор g 21 1 ⎟⎠ ⎜⎝ x3 ⎟⎠g 3 в базисев базисеff , решив системуимееткоординатыg 2 = (32 ,− 12 , 12 ), вектор g 3 в базисе f имеет координаты g 3 = (− 12 ,− 12 , 12 ) .⎛ 12 32 − 12 ⎞⎜⎟Матрица перехода от f к g имеет вид: T f → g = ⎜ 12 − 12 − 12 ⎟ . Чтобы найти⎜1 11 ⎟⎝2 22 ⎠координаты вектора x в базисе f , опять воспользуемся формулой (3):⎛ 12 32 − 12 ⎞ ⎛ 32 ⎞ ⎛ − 154 ⎞⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟X f = T f → g ⋅ X g = ⎜ 12 − 12 − 12 ⎟ ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = ⎜ 14 ⎟ .

Таким образом, вектор x в⎜1 11 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 5 ⎟⎝2 2⎠ ⎝ 4 ⎠2 ⎠ ⎝15базисе f имеет координаты x = (− 4 , 14 , 54 ) .15Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.IIспособ.Te→ f⎛1 1 0⎞⎜⎟= ⎜1 0 1⎟⎜0 1 1⎟⎝⎠–матрицапереходаотeкf,⎛1 1 − 1⎞⎜⎟Te→ g = ⎜1 2 0 ⎟ – матрица перехода от e к g . Чтобы найти матрицу⎜1 0 0 ⎟⎝⎠перехода от f к g , воспользуемся формулой Te→ g = Te→ f ⋅ T f → g . Из этойформулы получим: T f → g = Te−→1 f ⋅Te→ g . Найдем матрицы Te−→1 f и T f → g .Te−→1 f⎛ 12⎜= ⎜ 12⎜− 1⎝ 212− 1212− 12 ⎞⎟1.2 ⎟⎟12 ⎠⎛ 12⎜= ⎜ 12⎜− 1⎝ 2− 12 ⎞ ⎛1⎟ ⎜− 12 12 ⎟ ⋅ ⎜1T f → g = Te−→1 f ⋅Te→ g11 ⎟ ⎜122 ⎠ ⎝Чтобы найти координаты вектора x в121 − 1⎞ ⎛ 12 32 − 12 ⎞⎟⎟ ⎜2 0 ⎟ = ⎜ 12 − 12 − 12 ⎟ .1 ⎟0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 122 ⎠базисе f , воспользуемся формулой⎛ 12 32 − 12 ⎞ ⎛ 32 ⎞ ⎛ − 154 ⎞⎟⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜X f = T f → g ⋅ X g = ⎜ 12 − 12 − 12 ⎟ ⋅ ⎜ − 2 ⎟ = ⎜ 14 ⎟ .

Таким образом, вектор(3).⎜1 11 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 5 ⎟2 ⎠ ⎝⎠ ⎝ 4 ⎠⎝2 2x в базисе f имеет координаты x = (− 154 , 14 , 54 ) .1.5. Линейное подпространствоОпределение. Непустое подмножество L1 линейного пространства Lназывается линейным подпространством пространства L , есливыполнены следующие два требования.1. Сумма x + y любых двух элементов x и y подмножества L1принадлежит подмножеству L1 , т.е. ∀x , y∈ L1 ⇒ x + y ∈ L1 .2. Произведение λx любого элемента x подмножества L1 на любоедействительное число λ принадлежит подмножеству L1 , т.е. ∀x ∈ L1 и∀λ ∈ R ⇒ λx ∈ L1 .Утверждение. Подмножество L1 , удовлетворяющее перечисленнымдвум требованиям, само является линейным пространством относительноопераций сложения элементов и умножения на действительное число,действующих в L .16Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Примеры.1. В любом линейном пространстве L всегда имеются два линейныхподпространства:самолинейноепространствоLинулевоеподпространство, состоящее из одного нулевого элемента θ . Этиподпространства называются несобственными. Все остальные линейныеподпространства называются собственными.2. Множество всех свободных векторов, параллельных даннойплоскости, образуют линейное подпространство пространства V 3 всехсвободных векторов трехмерного пространства.3.

Множество Pn всех алгебраических многочленов переменной x истепени, не превышающей n , образуют линейное подпространствопространства C [a, b] всех функций, непрерывных на отрезке [a, b] .Определение. Пусть e 1 , e 2 ,..., e k – совокупность элементов линейногопространства L . Линейной оболочкой элементов e 1 , e 2 ,..., e k называетсясовокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множество{x1e1 + x2 e 2 + ... + x k ek xi ∈ R, i = 1,2,..., k }.

При этом говорят, чтовидалинейная оболочка натянута на векторыe 1 , e 2 ,..., e k . Договоримсяобозначать линейную оболочку элементовe 1 , e 2 ,..., e kсимволомL(e 1 , e 2 ,..., e k ) .Справедливы следующие утверждения.Утверждение 1. Если e 1 , e 2 ,..., e k – элементы линейного пространстваL,толинейнаяоболочкаL(e 1 , e 2 ,..., e k )являетсялинейнымподпространством пространства L .Утверждение 2. Линейная оболочка элементов e 1 , e 2 ,..., e k являетсянаименьшим подпространством, содержащим эти элементы.Утверждение 3. Любое линейное пространство является линейнойоболочкой любого из своих базисов.Теорема.

Размерность линейной оболочкиL(e 1 , e 2 ,..., e k ) равнамаксимальному числу линейно независимых элементов в системе элементовe 1 , e 2 ,..., e k . Если элементы e 1 , e 2 ,..., e k линейно независимы, то размерностьлинейной оболочки L(e 1 , e 2 ,..., e k ) равна k , а сами элементы e 1 , e 2 ,..., e kобразуют базис линейной оболочки.Задача 1.Проверить,являетсялиподмножествоL1 = {an }∈ R ∞ : an ≥ 0 ∀n ∈ Nлинейногопространства{}последовательностей L = R ∞ подпространством.Решение. Данное подмножество не является подпространством, так как приумноженииегоэлементанаотрицательноечислополучитсяпоследовательность {bn }: bn ≤ 0 ∀n ∈ N , т.

е. последовательность, котораяне принадлежит L1 .17Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Проверить,являетсялиподмножество⎧⎫L1 = ⎨ f ( x ) ∈ C [a, b] : ∫ f ( x )dx = 0⎬линейногопространстваL = C [a, b]a⎩⎭подпространством.Решение. Данное подмножество является подпространством. Действительно,рассмотрим произвольные два элемента f ( x ) и g ( x ) подмножества L1 .Суммаf (x ) + g (x )принадлежитподмножествуL1 ,таккакЗадача 2.bbbb∫ ( f (x ) + g (x ))dx = ∫ f (x )dx + ∫ g (x )dx = 0 .aaпринадлежит L1 , так какПроизведениеλf ( x )∀λ ∈ Rabbaa∫ (λf (x ))dx = λ ∫ f (x )dx = 0 .Задачи для самостоятельного решения.1. В линейном пространстве L исследовать систему векторов налинейную зависимость.1) L = R 3 , a 1 = (1,5,2 ) , a 2 = (3,4,4 ) , a 3 = (1,2,1) .2) L = R 4 , a 1 = (− 1,5,2,4 ) , a 2 = (3,3,3,5) , a 3 = (8,−4,2,2 ) .3) L = R 5 , a1 = (2,−3,1,5,0) , a 2 = (3,1,−4,−9,4 ) , a 3 = (7,−5,−2,1,6 ) .4) L = P2 , f1 ( x ) = 5 x 2 − 14 x + 1 ,5) L = P3 ,f 2 (x ) = 3x 2 − 4 x + 5 , f3 (x ) = 2 x 2 + x + 7 .f1 ( x ) = x 3 + 3x 2 + 2 x + 5 ,f 2 (x ) = 2 x3 + 5 x 2 + x + 3 ,f 3 (x ) = 3x 3 + 8 x 2 + 4 x + 1.6) L = C (R ) – линейное пространство функций, непрерывных наf1 ( x ) = e x , f 2 ( x ) = sh x , f 3 ( x ) = ch x .R,7) L = C (R ) , f1 ( x ) = cos x , f 2 ( x ) = cos3 x , f 3 ( x ) = cos 3 x .8) L = C (0,+∞ ) , f1 ( x ) = ln x , f 2 ( x ) = ln ( x + 1) , f 3 ( x ) = ln (1x + 1) .9) L = C (R ) , f1 ( x ) = e x , f 2 ( x ) = e 2 x , f 3 ( x ) = e3 x .10) L = C (R ) , f1 ( x ) = cos x , f 2 ( x ) = cos 2 x , f 3 ( x ) = cos 3 x2.

В линейном пространстве L найти координаты вектора a в данномбазисе e = (e1 , e 2 , e 3 ) .1) L = R 3 , a = (3,−2,7 ) , e1 = (2,1,1) , e 2 = (1,2,5) , e 3 = (3,4,1) .2) L = P2 , a = a( x ) = 4 x 2 − 7 x + 3 , e1 = e1 ( x ) = ( x + 2 )2 , e 2 = e2 ( x ) = ( x + 2 ) ,e 3 = e3 ( x) = 1 .3. Доказать, что любой ненулевой вектор x конечномерного линейногопространства может быть включен в какой-нибудь базис.Указание. Рассмотрим произвольный базис линейного пространства L :e = (e1 , e 2 , ..., e n ) . Пусть x = x1e1 + ... + xn e n , причем xi ≠ 0 .

Тогда в базис18Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.можно включить вектор x вместо e i . Осталось доказать, что полученнаясистема векторов линейно независима.4. Проверить, является ли подмножество L1 линейного пространства Lподпространством.L = V3 , L1 = {a ∈ V3 : a llπ }, где π - заданная плоскость.1)2)L = V3 , L1 = {a ∈ V3 : a = 1}.3)L = R n , L1 = { a = (a1 ,..., an ) ∈ Rn : a1 + ... + an = 0 }4)L = R ∞ – линейное пространство последовательностей,L1 = {an }∈ R ∞ : {an } сходится .{∞{{a }∈ R}∞}5)L = R , L1 =6)L = R ∞ , L1 = {an }∈ R ∞ : {an } монотонно не7)L = R∞8)9)10)11)12)13)14)15)16)17)18)L=R: {an } геометричская прогрессия .1nL = M n× n , L1 = {A ∈ M n×n : A верхнетреугольная матрица}.L = M n× n , L1 = {A ∈ M n×n : A симметрическая матрица}.L = M n× n , L1 = {A ∈ M n×n : A кососимметрическая матрица}.L = M n× n , L1 = {A ∈ M n×n : detA = 0}.L = M n× n , L1 = {A ∈ M n× n : a11 + ...

+ ann = 0}.L = Pn , L1 = Pm , где m < n .L = C [a, b], L1 = { f ( x ) ∈ C [a, b] : f (a ) = 0}.L = C [a, b], L1 = { f ( x ) ∈ C [a, b] : f (a ) = f (b )}.L = C [a, b], L1 = { f ( x ) ∈ C [a, b] : f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]} .L = C [a, b], L1 = { f ( x ) ∈ C [a, b] : f ( x ) монотонно не убывает}.∞n{, L = { {a }∈ R, L = { {a }∈ R1n: lim an = 0 .n→∞∞}убывает .}: {an } арифметическая прогрессия .∞}Глава II. Евклидово пространство2.1.

Определение и примеры евклидовых пространствОпределение. Вещественное линейное пространство E называетсяевклидовым пространством, если выполнены следующие два требования.1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементамx , y ∈ E ставится в соответствие вещественное число, называемоескалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом ( x , y ) .2. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:1) ( x , y ) = ( y, x ) ∀ x , y ∈ E (аксиома коммутативности);2) ( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) ∀ x , y, z ∈ E (аксиома дистрибутивности);3) (λx, y ) = λ ( x , y ) ∀ x, y ∈ E , ∀λ ∈ R ;19Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.4) ( x , x ) ≥ 0 ∀ x ∈ E ; ( x , x ) = 0 ⇔ x = θ .Из аксиом 1) – 4) можно получить простейшие свойства скалярногопроизведения:1) ( x , y + z ) = ( x , y ) + ( x , z ) ∀ x , y, z ∈ E ;2) ( x , λ y ) = λ ( x , y ) ∀ x, y ∈ E , ∀λ ∈ R ;3) ( x , θ ) = 0 ∀ x ∈ E .Приведем примеры евклидовых пространств.1. В линейных пространствах V2 и V3 всех свободных векторов наплоскости и в пространстве в курсе аналитической геометрии вводитсяскалярное произведение по следующему правилу: ( x , y ) = x ⋅ y ⋅ cos ϕ , где ϕ– угол между векторами x и y , а x и y – их длины.2.

В арифметическом линейном пространствеR n скалярноепроизведение можно задать по формуле: ( x , y ) = x1 y1 + ... + xn y n .3. В линейном пространстве C [a, b] всех функций, непрерывных наотрезке [a, b] , скалярное произведение можно задать по формуле:b(x(t ), y (t ) ) = ∫ x(t ) y (t ) dt .aЗамечание. В одном и том же линейном пространстве скалярноепроизведение можно задать различными способами.Задача 1. Доказать, что в R 2 скалярное произведение можноопределить следующим образом: ( x , y ) = 2 x1 y1 + 5 x2 y 2 .Решение. Проверим выполнение аксиом 1) – 4) для любых x = ( x1 , x2 ) иy = ( y1 , y 2 ) из R 2 .1) ( x , y ) = 2 x1 y1 + 5 x2 y 2 = 2 y1 x1 + 5 y 2 x2 = ( y, x ) .2) ( x + y, z ) = 2( x1 + y1 ) z1 + 5( x2 + y 2 ) z 2 = (2 x1 z1 + 5 x2 z 2 ) + (2 y1 z1 + 5 y 2 z 2 ) == ( x , z ) + ( y, z ) .3) (λx, y ) = 2λx1 y1 + 5λx2 y 2 = λ ( 2 x1 y1 + 5 x2 y 2 ) = λ ( x , y ) .4) ( x, x ) = 2 x1 x1 + 5 x2 x2 = 2 x12 + 5 x22 ≥ 0 ;( x , x ) = 2 x12 + 5 x22 = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = 0 ⇔ x = θ .Задача 2.