LinAlg (1) (Теория к экзамену), страница 2

Система элементов e1 , e 2 ,..., e n ∈ L называется линейнонезависимой, если только тривиальная линейная комбинация этих элементовравнанулевомуэлементу,т.е.λ1e1 + λ2 e 2 + ... + λn e n = θ⇔⇔ λ1 = λ2 = ... = λn = 0 .Замечание 1. Если система элементов e1 , e 2 ,..., e n ∈ L линейнонезависима, то все элементы являются “уникальными”, т.к. никакой элементнельзя получить из остальных.Замечание 2. Опуская слово “система”, часто говорят: элементы(векторы) e1 , e 2 ,..., e n ∈ L линейно зависимы или линейно независимы.Примеры.1. В линейных пространствах V2 и V3 всех свободных векторов наплоскости и в пространстве два вектора линейно зависимы тогда и толькотогда, когда они коллинеарны; три вектора линейно зависимы тогда и толькотогда, когда они компланарны; любые четыре вектора линейно зависимы.Эти утверждения были доказаны в курсе аналитической геометрии.2.В арифметическом линейном пространстве R n векторыe1 = (1,0,...,0,0) , e 2 = (0,1,...,0,0) ,…, e n = (0,0,...,0,1) линейно независимы.Действительно, линейная комбинация векторов e1 , e 2 ,..., e n ∈ R n являетсявектором λ1e1 + λ2 e 2 + ...

+ λn e n = (λ 1, λ2 ,..., λn ) , который равен нулевомувектору θ = (0,0,...,0) тогда и только тогда, когда λ1 = λ2 = ... = λn = 0 .3. В линейном пространстве M m× n всех матриц размера m × nлинейно независимы.матричные единицы Eij , i = 1,..., m , j = 1,..., n ,Матричной единицейEij размера m × n называется матрица, у которой5Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце, равен 1, а все остальныеэлементы равны нулю. Матричные единицы Eij , i = 1,..., m , j = 1,..., n ,линейно независимы, т.к. линейная комбинация этих матрицm n∑ ∑ λij Eiji =1 j =1⎛ λ11 ... λ1n ⎞⎜⎟представляет собой матрицу A = ⎜ ... ... ... ⎟ , которая равна нулевой⎜λ⎟⎝ m1 ... λmn ⎠матрице тогда и только тогда, когда λij = 0 для всех i = 1,..., m и j = 1,..., n .4. В линейном пространстве Pn всех алгебраических многочленовстепени, не превышающей n ,многочлены p0 ( x) = 1 , p1 ( x) = x ,p 2 ( x) = x 2 ,…, p n ( x) = x n линейно независимы. Чтобы это доказать,рассмотримлинейнуюкомбинациюэтихмногочленовnλ1 ⋅ 1 + λ2 ⋅ x + ...

+ λn +1 ⋅ x . Если не все коэффициенты λi , i = 1, 2, ..., n + 1 ,равны нулю, то линейная комбинация является многочленом степени, непревышающей n . Этот многочлен может иметь не более, чем n корней и,следовательно, не может тождественно равняться нулю ∀x ∈ (− ∞,+∞ ) . Такимобразом, λ1 ⋅ 1 + λ2 ⋅ x + ... + λn +1 ⋅ x n ≡ 0 ∀x ∈ (− ∞,+∞ ) ⇔λ1 = λ2 = ... = λn+1 = 0 , т.е. p 0 ( x) , p1 ( x) ,…, p n (x) линейно независимы.Задача 1.

В линейном пространстве C (R ) всех функций, непрерывныхна R , исследовать систему функций f1 ( x ) = cos 2 x , f 2 ( x ) = cos 2 x , f 3 ( x ) = 1на линейную зависимость.Решение. Из тригонометрического тождества cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 следует, чтофункция f 2 ( x ) является линейной комбинацией двух других функций f1 ( x) иf 3 ( x) : f 2 ( x ) = 2 f1 ( x ) − f 3 ( x ) . Следовательно, система функций линейнозависима.Задача 2.

В линейном пространстве C (R ) исследовать системуфункцийf1 ( x ) = sin x , f 2 ( x ) = sin 2 x , f 3 ( x ) = sin 3 xна линейнуюзависимость.Решение. Рассмотрим тождество: α sin x + β sin 2 x + γ sin 3 x ≡ 0 ∀x ∈ R .Равенство имеет место при всех значениях x , следовательно, оно верно и приx = π 4 , x = π 3 , x = π 2 . Подставив в равенство x = π 4 , x = π 3 , x = π 2 ,⎧ 2α + β + 2γ = 02⎪ 233получим СЛАУ.

Эта система имеет единственное⎨ 2 α + 2 β =0⎪α − γ = 0⎩только тривиальная линейнаярешение α = β = γ = 0 , следовательно,комбинация функций f1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) тождественно равна нулю и,следовательно, система функций линейно независима.6Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Задача 3.Доказать,чтосистемафункцийf1 ( x ) = sin x ,f 2 ( x) = sin 2 x ,…, f n ( x ) = sin nx линейно независима для любого натуральногочисла n .Решение. Применим метод математической индукции.

При n = 1 система,состоящая из одной функции f1 ( x ) = sin x , линейно независима, так как этафункция ненулевая. Далее предположим, что система функций линейноn=k,т.е.системафункцийf1 ( x ) = sin x ,независимаприf 2 ( x) = sin 2 x ,…, f k ( x ) = sin kx линейно независима. Докажем линейнуюнезависимость системы функций при n = k + 1 , т.е. линейную независимостьсистемы функций f1 ( x ) = sin x,..., f k +1 ( x) = sin(k + 1) x . Рассмотрим тождество:(1)α1 sin x + α 2 sin 2 x + ...

+ α k sin kx + α k +1 sin (k + 1)x ≡ 0 ∀x ∈ R .Дважды продифференцируем тождество (1):− α1 sin x − 4α 2 sin 2 x − ... − k 2α k sin kx − (k + 1)2 α k +1 sin (k + 1)x ≡ 0 ∀x ∈ R . (2)Для того чтобы получить тождество, не содержащее функции sin( k + 1) x ,умножим тождество (1) на (k + 1)2 и сложим его с тождеством (2):((k + 1) − 1)α sin x + ... + ((k + 1)22)− k 2 α k sin kx ≡ 0∀x ∈ R . Поскольку понашему предположению система функций f1 ( x ) = sin x ,…, f k ( x ) = sin kxлинейно независима, из последнего тождества получим α1 = ... = α k = 0 .Подставляя α1 = ... = α k = 0 в (1), получим α k +1 = 0 .

Следовательно, толькотривиальная линейная комбинация функций f1 ( x),..., f k +1 ( x) тождественноравна нулю, т.е. система функций f1 ( x),..., f k +1 ( x) линейно независима.Задача 4. Доказать, что если какой-либо вектор y линейногопространства L единственным образом представим в виде линейнойкомбинации векторов x 1 ,..., x k , то эта система векторов линейно независима.Решение. Рассмотрим линейную комбинацию векторовx 1 , ..., x k :α1 x 1 + ...

+ α k x k = θ . Представим вектор y в виде линейной комбинациивекторов x 1 ,..., x k : y = β1 x1 + ... + β k xk . Сложив два равенства, получим:y = (α1 + β1 ) x1 + ... + (α k + β k ) x k . Поскольку вектор y может быть разложенпо векторам x1 ,..., x k единственным образом, β1 = α1 + β1 ,…, β k = α k + β k и,следовательно, α1 = ... = α k = 0 , т. е. только тривиальная линейнаякомбинация векторов x 1 ,..., x k равна нулевому вектору. Следовательно,система векторов x 1 ,..., x k линейно независима.11.3. Базис и размерность линейного пространстваОпределение. Упорядоченная линейно независимая системаэлементов e1 , e 2 ,..., e n ∈ L называется базисом линейного пространства L ,если любой элемент пространства L может быть представлен в виде7Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.линейной комбинации элементов этой системы, т.е. для любого элементаx ∈ L существуюттакие действительные числа x1 , x 2 ,..., x n , чтоx = x1e1 + x2 e 2 + ... + xn e n . Последнее равенство называется разложениемэлемента x по базису e1 , e 2 ,..., e n , а числа x1 , x 2 ,..., x n называютсякоординатами элемента x в базисе e1 , e 2 ,..., e n . Элемент x в данномбазисе можно записать с помощью координат следующим образом:x = ( x1 , x2 ,..., xn ) .Справедливы следующие теоремы.Теорема 1. Система элементов e1 , e 2 ,..., e n линейного пространстваявляется его базисом тогда и только тогда, когда она образует максимальнуюлинейно независимую систему элементов этого пространства.Теорема 2. Каждый элемент линейного пространства может бытьразложен по базису единственным способом.Теорема 3.

При сложении любых двух элементов линейногопространства их координаты в одном базисе складываются; при умноженииэлемента линейного пространства на произвольное действительное число λвсе координаты этого элемента умножаются на λ , т.е. если в некоторомx = ( x1 ,..., xn ) ,y = ( y1,..., y n ) ,товэтомбазисебазисеx + y = ( x1 + y1 ,..., xn + yn ) , λ ⋅ x = (λx1 ,..., λxn ) .Чтобы доказать, что система элементов e1 , e 2 ,..., e n образует базис влинейном пространстве, надо доказать, что а) эти элементы линейнонезависимые, б) любой элемент этого пространства может быть разложен поэлементам e1 , e 2 ,..., e n .Примеры.1.

В курсе аналитической геометрии было доказано, что в линейномпространстве V2 любая пара неколлинеарных векторов образует базис, впространстве V3 любая тройка некомпланарных векторов образует базис.2. В арифметическом линейном пространстве R n векторыe1 = (1,0,...,0,0) , e 2 = (0,1,...,0,0) ,…, e n = (0,0,...,0,1) образуют базис, т.к. онилинейно независимы и любой вектор x = ( x1 ,..., xn ) пространства R n можнопредставить в виде x = ( x1 ,..., xn ) = x1e1 + x2 e 2 + ...

+ xn e n , т.е. любой векторразложим по векторамe1 , e 2 ,..., e n . Замечание. Базис e1 = (1,0,...,0,0) ,e 2 = (0,1,...,0,0) ,…, e n = (0,0,...,0,1) называется естественным базисомпространства R n .3. В линейном пространстве M m× n всех матриц размера m × nматричные единицы E11 , E12 ,..., E1n , E21 , ..., E2 n ,..., Emn образуют базис, т.к.⎛ a11 ... a1n ⎞⎜⎟они линейно независимы, а любую матрицу A = ⎜ ... ... ... ⎟ пространства⎜a⎟⎝ m1 ...

amn ⎠8Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.mnM m× n можно представить в виде A = ∑∑ aij Eij , т. е. A разложима поi =1 j =1матричным единицам E11 , E12 ,..., Emn . Замечание. Базис E11 , E12 ,..., Emnназывается естественным базисом пространства M m× n .4. В линейном пространстве Pn всех алгебраических многочленовстепени, не превышающей n , многочлены p0 ( x) = 1 , p1 ( x) = x , p 2 ( x) = x 2 ,…, p n ( x) = x n образуют базис, т.к. они линейно независимы и любоймногочлен пространства Pn имеет вид f ( x) = λ1 ⋅ 1 + λ2 ⋅ x + ... + λn+1 ⋅ x n == λ1 ⋅ p0 ( x) + .... + λn+1 ⋅ p n ( x) , т.е.

разложим по многочленам p0 ( x),..., pn ( x) .Замечание. Базисp0 ( x),..., pn ( x) называется естественным базисомпространства Pn .Замечание 1. Базис играет большую роль в изучении линейногопространства. С его помощью абстрактные векторы можно задавать в видесовокупности чисел (координат вектора в данном базисе), а операции надвекторами можно сводить к операциям над числами (их координатами).Замечание 2. Линейная зависимость (независимость) элементовлинейногопространстваэквивалентналинейнойзависимости(независимости) столбцов координат этих элементов (в любомфиксированном базисе линейного пространства), так как выполнение какихлибо операций над векторами идентично выполнению тех же операций надих столбцами координат.Определение.

Линейное пространство L называется n-мерным, если вn +1нем существует n линейно независимых элементов, а любыеэлементов являются линейно зависимыми. При этом число n называетсяразмерностью пространства L и обозначается dim L .Теорема 1. Если L – линейное пространство размерности n , то любыеn линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.Теорема 2. Если линейное пространство L имеет базис, состоящий изn элементов, то размерность L равна n .Опираясь на теорему 2,можно утверждать, что dim R n = n ,dim Pn = n + 1 , dim M m×n = m ⋅ n .Задача 1.