LinAlg (1) (Теория к экзамену)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Высшая математика»Е. Б. Павельева, В. Я. ТомашпольскийЛинейная алгебраМетодические указанияк выполнению типового расчетаДля студентов всех специальностейУДК: 512.64Москва2010Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский.

Линейная алгебра.ОглавлениеВведение………………………………………………………………………..Глава I. Линейное пространство………………………………........................1.1. Определение и примеры линейных пространств………………............1.2. Линейная зависимость…………………………………………………...1.3. Базис и размерность линейного пространства…………………............1.4. Матрица перехода от старого базиса к новому базису.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису…1.5. Линейное подпространство……………………………………………..Глава II. Евклидово пространство…………………………………………….2.1.

Определение и примеры евклидовых пространств……………………2.2. Определение и примеры нормированных пространств……………….2.3. Ортогональные и ортонормированные базисы конечномерногоевклидова пространства. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта..Глава III. Линейные операторы……………………………………………….3.1. Определение и примеры линейных операторов. Матрица линейногооператора…………………………………………………………………3.2. Действия над линейными операторами………………………………...3.3. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе кновому базису…………………………………………………………….3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора3.5. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду….Глава IV.

Линейные операторы в евклидовых пространствах……………...4.1. Сопряженные и самосопряженные операторы и их матрицы вортонормированном базисе. Свойства собственных значений исобственных векторов самосопряженного оператора…………………4.2. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы………………..4.3. Приведение симметрической матрицы ортогональнымпреобразованием к диагональному виду……………………………….Глава V. Квадратичные формы……………………………………………….5.1. Определение квадратичной формы, матрица квадратичной формы,преобразование матрицы квадратичной формы при переходе кновому базису…………………………………………………………….5.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Законинерции квадратичных форм……………………………………………5.3. Знакоопределенные квадратичные формы…………………………….Глава VI. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядкак каноническому виду…………………………………………………………Глава VII. Разбор типового расчета по линейной алгебре…………………..Список литературы ……………………………………………………………2224711161919212428283234353944444547515154596270771Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский.

Линейная алгебра.ВведениеВ работе приведены все основные определения и формулировки теоремпо следующим разделам линейной алгебры: линейное пространство,евклидово пространство, линейные операторы, линейные операторы вевклидовых пространствах, квадратичные формы, приведение уравненийкривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.В работе разобрано большое количество задач как стандартных, так иповышенной сложности. Разобран типовой расчет по линейной алгебре. Вконце каждой главы приведены задачи для самостоятельного решения.Пособие полезно всем студентам, изучающим линейную алгебру.Глава I.

Линейное пространство1.1. Определение и примеры линейных пространствОпределение. Множество L элементов любой природы называетсявещественным линейным пространством, если выполнены следующиетри условия.1. Задано сложение элементов из L, т.е. задан закон, по которомулюбым двум элементам x, y ∈ L ставится в соответствие элемент z ∈ L ,называемый суммой элементов x и y и обозначаемый символом z = x + y .2. Задано умножение элемента из L на действительное число, т.е.

заданзакон, по которому любому элементу x ∈ L и любому действительномучислу λ ставится в соответствие элемент z ∈ L , называемый произведениемэлемента x на действительное число λ и обозначаемый символом z = λ ⋅ x .3. Указанные два закона подчинены следующим восьми аксиомам:1) x + y = y + x ∀ x, y∈ L (аксиома коммутативности);2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ∀x , y, z ∈ L (аксиома ассоциативности);3) существует нулевой элемент θ ∈ L , такой что ∀ x ∈ L выполняетсяx +θ = x;4) для каждого элемента x ∈ L существует противоположный элементx ′ ∈ L , такой что x + x ′ = θ ;5) 1 ⋅ x = x ∀ x ∈ L ;∀λ , μ ∈ R , ∀ x ∈ L ;6) λ ⋅ (μ ⋅ x ) = (λμ ) ⋅ x∀λ , μ ∈ R ,∀x∈L(аксиома7) (λ + μ ) ⋅ x = λ ⋅ x + μ ⋅ xдистрибутивности умножения на число относительно сложения чисел);8) λ ⋅ ( x + y ) = λ ⋅ x + λ ⋅ y∀λ ∈ R ,∀ x, y∈ L(аксиомадистрибутивности умножения на число относительно сложения элементов).Из аксиом 1) – 8) можно получить ряд простейших свойств линейныхпространств.2Е.Б.

Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.1) В произвольном линейном пространстве существует единственныйнулевой элемент θ .2) Длякаждогоэлементаx∈ Lсуществуетединственныйпротивоположный элемент x ′ ∈ L .3) 0 ⋅ x = θ∀x∈L.4) − 1 ⋅ x = x ′ ∀ x ∈ L .5) λ ⋅ θ = θ∀λ ∈ R .Элементы линейного пространства будем называть векторами.Приведем примеры конкретных линейных пространств.1. Множество R всех действительных чисел. Операции сложения иумножения на число являются обычными операциями сложения иумножения действительных чисел.2. Множества V1 ,V2 ,V3 всех свободных векторов на прямой, наплоскости, в пространстве соответственно. Операции сложения векторов иумножения вектора на число определены в курсе аналитической геометрии.3.

Множество R n упорядоченных наборов n действительных чисел,называемых арифметическими векторами (или множество матриц-строкдлины n , элементами которых являются действительные числа):R n = {x = ( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ R, i = 1, 2 , ..., n}. Для любых элементов x = ( x1 , ..., xn )и y = ( y1,..., y n ) из R n определим операцию сложения и умножения на числоследующим образом: x + y = ( x1 + y1 ,..., xn + y n ) , λ ⋅ x = (λx1 ,..., λxn ) . Нулевойи обратный элементы имеют вид: θ = (0 ,..., 0) , x ′ = (− x1 ,...,− xn ) .

Замечание.Иногда из соображения удобства будем записывать арифметические векторыв виде столбцов.4. Множество M m× n всех вещественных матриц размера m × n .Операции сложения матриц и умножения матрицы на число определены вкурсе аналитической геометрии.5. Множество C [a, b] всех функций, непрерывных на отрезке [a, b] .Операции сложения и умножения на число являются обычными операциямисложения функций и умножения функции на число.6. Множество Pn всех алгебраических многочленов переменной x истепени, не превышающей n :Pn = f ( x) = a0 + a1 x + ... + an x n ai ∈ R , i = 0,1, ..., n .

Операции сложения иумножения на число являются обычными операциями сложения многочленови умножения многочлена на число. Число 0 ∈ R по определению считаетсямногочленом с нулевыми коэффициентами и называется нулевыммногочленом.Отметим, что множество всех алгебраических многочленов степени nне является линейным пространством. Сумма таких многочленов можетоказаться степени ниже n . В качестве примера рассмотрим множество всехалгебраическихмногочленоввторойстепени.Присложении{}3Е.Б. Павельева, В.Я.

Томашпольский. Линейная алгебра.f ( x) = x 2 + 3 x + 1сg ( x) = − x 2 + 2 x ,получим f ( x) + g ( x) = 5 x + 1многочлен первой степени, не лежащий в рассматриваемом множестве.7. Рассмотрим множество R+ всех действительных положительныхчисел. Если суммой двух чисел x, y ∈ R+ считать обычную сумму двухдействительных чисел x + y , а произведением числа λ на x – обычноепроизведение двух действительных чисел λx , то множество R+ не являетсялинейным пространством, т.к. операция умножения элемента x ∈ R+ наотрицательное число выводит из этого множества.

Введем операциисложения элементов и умножения на действительное число на множествеR+ по-другому. Суммой двух чисел назовем их произведение: x ⊕ y = xy ,умножением числа x на действительное число λ назовем возведение x встепень λ : λ o x = x λ . Обе операции не выводят из множества R+ . Легкопроверить выполнение восьми аксиом:1) x ⊕ y = xy = yx = y ⊕ x ;2) ( x ⊕ y ) ⊕ z = ( xy ) z = x( yz ) = x ⊕ ( y ⊕ z ) ;3) нулевым элементом является число 1, действительно,x ⊕ θ = x ⊕ 1 = x ⋅1 = x ;4) противоположным произвольному числу x ∈ R+ является число11x ′ = , действительно, x ⊕ x′ = x ⋅ = 1 = θ ;xx15) 1 o x = x = x ;( )λ = x μ λ = x λ μ = (λ μ ) o x ;6) λ o (μ o x ) = x μ7) (λ + μ ) o x = x λ + μ = x λ x μ = (λ o x ) ⊕ (μ o x ) ;8) λ o ( x ⊕ y ) = ( xy )λ = x λ y λ = (λ o x ) ⊕ (λ o y ) .Таким образом, множество R+ с введенными операциями сложенияэлементов и умножения на действительное число является линейнымпространством.1.2.

Линейная зависимостьПусть L – вещественное линейное пространство.Определение. Линейной комбинацией элементов e1 , e 2 ,..., e n ∈ Lназывается выражение вида λ1e1 + λ2 e 2 + ... + λn e n , где λ1 , λ2 ,..., λn ∈ R –действительныекоэффициентылинейнойкомбинации.Линейнаякомбинация элементов называется тривиальной, если все ее коэффициентыравны нулю и нетривиальной, если среди коэффициентов линейнойкомбинации хотя бы один отличен от нуля.Определение. Система элементов e1 , e 2 ,..., e n ∈ L называется линейнозависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этихэлементов, равная нулевому элементу, т.е. если существуют числа4Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский.

Линейная алгебра.λ1 , λ2 ,..., λn ∈ R , одновременноλ1e1 + λ2 e 2 + ... + λn e n = θ .неравныенулюитакие,чтоЗамечание 1. Пусть система из двух элементов e1 , e 2 ∈ L линейнозависима и пусть λ 1≠ 0 . Тогда e1 = −λ2⋅ e , т.е. элемент e1 можно получитьλ1 2из элемента e 2 умножением на константу.Замечание 2.Пусть система элементов e1 , e 2 ,..., e n ∈ L линейнозависимаи пусть λ 1≠ 0 . Тогдаe1 = −λλλ2⋅ e 2 − 3 ⋅ e 3 − ...

− n ⋅ e n , т.е.λ1λ1λ1элемент e1 является линейной комбинацией остальных элементов. Такимобразом, элемент e1 может быть получен из остальных элементов, т.е. он неявляется “уникальным”.Справедлива следующая теорема.Теорема. Для того, чтобы система элементов e1 , e 2 ,..., e n ∈ L былалинейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из элементовэтой системы являлся линейной комбинацией остальных элементов.Определение.