LinAlg (1) (971705), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Операторы A : L1 → L2 иB : L1 → L2 называютсяравными, если Ax = Bx ∀x ∈ L1 .Определение. Суммой операторов A : L1 → L2 и B : L1 → L2 называетсяоператор ( A + B ) : L1 → L2 , действующий по правилу ( A + B ) x = Ax + Bx∀x ∈ L1 .Определение. Произведением оператора A : L1 → L2 на действительноечисло λ называется оператор (λA) : L1 → L2 , действующий по правилу(λA) x = λ ⋅ Ax ∀x ∈ L1 .Определение. Произведением операторов A : L2 → L3 и B : L1 → L2( AB ) : L1 → L3 ,действующийпоправилуназываетсяоператор( AB ) x = A( Bx ) ∀x ∈ L1 .Определение. Пусть A : L → L .
Определим степень оператора Aследующим образом: A 0 = E , A1 = A , A 2 = A A , A3 = A A 2 ,…, A n = A A n−1 ,где E : L → L единичный оператор, действующий по правилу Ex = x∀x ∈ L .Легко доказать следующие утверждения.32Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Утверждение 1. Если A и B – линейные операторы, тоλA, A + B, AB также линейные операторы (при условии, что A + B, ABсуществуют).Утверждение 2.
В конечномерных линейных пространствахпроизведению линейного оператора на число, сумме линейных операторов ипроизведению линейных операторов соответствуют такие же действия с ихматрицами.Задача 1. В линейном пространстве R 2 заданы два линейныхоператора A : R 2 → R 2 и B : R 2 → R 2 . Найти матрицу и явный вид линейногооператора C = AB .
Ax = (− x1 + x2 , x1 + 2 x2 ) , Bx = (3 x1 + x2 , 2 x1 − x2 ) .I способ. Оператор B переводит любой вектор x ∈ R 2 в векторy = Bx = (3 x1 + x2 , 2 x1 − x2 ) . Оператор C = AB действует по правилу:∀x ∈ R 2Cx = ( AB ) x = A( Bx ) = Ay == (− y1 + y 2 , y1 + 2 y 2 ) = (− (3 x1 + x2 ) + (2 x1 − x2 ), (3 x1 + x2 ) + 2(2 x1 − x2 )) == (− x1 − 2 x 2 ,7 x1 − x2 ) , т.е.
Cx = (− x1 − 2 x 2 ,7 x1 − x2 ) ∀x ∈ R 2 . Для построенияматрицы линейного оператора C найдем образы базисных векторов e1 = (1,0)и e 2 = (0,1) пространства R 2 : Ce1 = (−1,7) , Ce 2 = (−2,−1) . Из полученныхвекторов составим матрицу линейного оператора C в базисе e :⎛ − 1 − 2⎞⎟⎟ .C = ⎜⎜71−⎝⎠II способ. Для построения матрицы линейного оператора A найдем образыбазисных векторов e1 = (1,0) , e 2 = (0,1) пространства R 2 :Ae 1 = (−1,1) ,Ae 2 = (1,2) . Из полученных векторов составим матрицу линейного оператора⎛−1 1⎞⎟⎟ . Для построения матрицы линейного оператораA в базисе e : A = ⎜⎜⎝ 1 2⎠B найдем образы базисных векторов: Be1 = (3,2) , Be 2 = (1,−1) .
Изполученных векторов составим матрицу линейного оператора B в базисе e :⎛3 1 ⎞⎛ −1 − 2⎞⎟⎟ . Тогда C = A ⋅ B = ⎜⎜⎟⎟ является матрицей линейногоB = ⎜⎜⎝ 2 − 1⎠⎝ 7 −1⎠оператора C в базисе e . По определению матрицы линейного оператора вбазисе e столбцы матрицы C являются координатами образов базисныхвекторов,т.е.Ce 1 = (−1,7) ,Ce 2 = (−2,−1) .Такимобразом,Cx = C ( x1e1 + x2 e 2 ) = x1Ce 1 + x2Ce 2 = (− x1 − 2 x 2 ,7 x1 − x2 ) ∀x ∈ R 2 .Замечание.
Явный вид оператора C можно найти, опираясь на теорему 1Cxв исходном базисеимееткоординаты(п. 3.1.). Вектор⎛ − 1 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ − x1 − 2 x2 ⎞⎟⎟ , т.е. Cx = (− x1 − 2 x2 , 7 x1 − x2 ) ∀x ∈ R 2 .⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜C ⋅ X = ⎜⎜⎝ 7 − 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 7 x1 − x2 ⎠33Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский.
Линейная алгебра.Задача 2. В пространстве R 3 заданы два линейных оператораA : R 3 → R 3 и B : R 3 → R 3 . Найти матрицу и явный вид линейного оператораC = AB − BA .Ax = (7 x1 + 4 x3 , 4 x2 − 9 x3 , 3 x1 + x2 ) ,Bx = ( x2 − 6 x3 , 3 x1 + 7 x3 , x1 + x2 − x3 ) .Решение. Для построения матрицы линейного оператора A найдем образыбазисных векторов пространства R 3 : e1 = (1,0,0) , e 2 = (0,1,0) , e3 = (0,0,1) .Ae 1 = (7,0,3) , Ae 2 = (0,4,1) , Ae 3 = (4,−9,0) . Из полученных векторов составим⎛7 0 4 ⎞⎜⎟A = ⎜ 0 4 − 9 ⎟ .
Дляматрицу линейного оператора A в базисе e :⎜3 1 0 ⎟⎝⎠построения матрицы линейного оператора B найдем образы базисныхвекторов: Be1 = (0,3,1) , Be 2 = (1,0,1) , Be 3 = (−6,7,−1) . Из полученныхвекторов составим матрицу линейного оператора B в базисе e :⎛ 0 1 − 6⎞⎛ 4 11 − 46 ⎞⎛ − 18 − 2 − 9 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟7 12 ⎟ ,B = ⎜3 0 7 ⎟.A ⋅ B = ⎜ 3 − 9 37 ⎟ ,B ⋅ A = ⎜ 42⎜1 1 −1⎟⎜ 3 3 − 11 ⎟⎜ 43 − 5 ⎟⎠⎝⎠⎝⎠⎝13 − 37 ⎞⎛ 22⎜⎟C = A ⋅ B − B ⋅ A = ⎜ − 39 − 16 25 ⎟ . Матрица C являетсяматрицей⎜ −1− 6 ⎟⎠0⎝линейного оператора C в базисе e . По определению матрицы линейногооператора в базисе e столбцы матрицы C являются координатами образовбазисныхвекторов,т.е.Ce 1 = (22,−39,−1) ,Ce 2 = (13,−16,0) ,Такимобразом,Ce 3 = (−37,25,−6) .Cx = C ( x1e1 + x2 e 2 + x3e 3 ) == x1Ce 1 + x2Ce 2 + x3Ce 3 = (22 x1 +13 x2 − 37 x3 , − 39 x1 −16 x2 + 25 x3 ,− x1 −6 x3 ) .3.3.
Преобразование матрицы линейного оператора при переходек новому базисуПусть A : L → L – линейный оператор, действующий из L в L . Пустьe = (e1 e 2 ... e n ) и f = ( f1 f 2 ... f n ) – два базиса n -мерного пространства L ;Ae и A f – матрицы линейного оператора A в базисе e и f соответственно.Теорема. Матрицы Aeи A f линейного оператора A : L → L вразличных базисах e и f связаны соотношениемA f = Te−→1 f ⋅ Ae ⋅T e→ f ,(1)где Te→ f матрица перехода от базиса e к базису f .Следствие. Справедливо соотношение Ae = Te→ f ⋅ A f ⋅ Te−→1 f .34Е.Б. Павельева, В.Я.
Томашпольский. Линейная алгебра.A в базисе f = ( f1 , f 2 ) :⎛ 3 5⎞⎟⎟ . Оператор B в базисеf 1 =e 1 +2e 2 , f 2 = 2e1 + 3e 2 имеет матрицу A f = ⎜⎜43⎝⎠⎛ 4 6⎞⎟⎟ . Найтиg = ( g 1 , g 2 ) : g 1 = 3e 1 + e 2 , g 2 = 4e1 + 2e 2 имеет матрицу Bg = ⎜⎜⎝6 9⎠матрицу оператора A + B в базисе g .Решение. Поскольку матрица перехода состоит из координат векторов новогобазиса в старом, записанных по столбцам, матрицы перехода от e к f и от⎛ 1 2⎞⎛3 4⎞⎟⎟ , Te→ g = ⎜⎜⎟⎟ . Для нахождения матрицыe к g имеют вид: Te→ f = ⎜⎜2312⎝⎠⎝⎠A воператорабазисеgвоспользуемсяформулой(1):Задача.
В пространстве L2 операторAg = T−1f → gвоспользуемся⋅ Af⋅Tf → gформулой. Для нахождения матрицы перехода от f к gTe→ g = Te→ f ⋅ T f → g .Такимобразом,T f → g = Te−→1 f ⋅ Te→ g . Итак,⎛ − 3 − 4⎞⎛− 3 2 ⎞⎛ − 3 2 ⎞ ⎛ 3 4⎞ ⎛ − 7 − 8⎞1⎜⎜ 5⎟,⎟⎟ , T f → g = ⎜⎜⎟⎟ , T f−→⎟⎟ = ⎜⎜⎟⎟ ⋅ ⎜⎜Te−→1 f = ⎜⎜=g7 ⎟6 ⎠⎝ 2 − 1⎠⎝ 2 − 1⎠ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 5⎝ 22 ⎠38 ⎞44 ⎞⎛ 40⎛ 441⎟⎜Ag = T f−→,ABAg + Bg–+=g ⋅ A f ⋅T f → g = ⎜gg⎜ − 71 − 34 ⎟⎜ − 59 − 25 ⎟⎟ .⎝ 2⎠⎝ 2⎠искомая матрица оператора A + B в базисе g .3.4. Собственные векторы и собственные значения линейногооператораПусть A – линейный оператор, действующий излинейногопространства L в линейное пространство L .Определение. Ненулевой вектор x ∈ L называется собственнымвектором линейного оператора A : L → L , если существует такоедействительное число λ , что выполняется равенство Ax = λ ⋅ x .
Число λназывается собственным значением оператора A , соответствующимсобственному вектору x .Замечание. РавенствоAx = λ ⋅ x можно записать в виде( A − λE ) x = θ , где E : L → L единичный оператор, действующий по правилуEx = x ∀x ∈ L .Утверждение 1. Если x собственный вектор оператора A ,отвечающий собственному значению λ , то для любого числа k ≠ 0 векторkx также является собственным вектором оператора A , отвечающимсобственному значению λ .Действительно, A(kx ) = k ⋅ Ax = k ⋅ (λx ) = λ ⋅ (kx ) .35Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Утверждение 2. Если x и y собственные векторы оператора A ,отвечающие собственному значению λ , то вектор x + y также являетсясобственным вектором, отвечающий собственному значению λ .Действительно, A( x + y ) = Ax + Ay = λ ⋅ x + λ ⋅ y = λ ⋅ ( x + y ) .Замечание.
Множество всех собственных векторов, отвечающихданному собственному значению линейного оператора A , не являетсялинейным подпространством пространства L , т.к. это множество несодержит нулевого элемента. Добавив к этому множеству нулевой элемент,получим линейное подпространство пространства L , которое называетсясобственным подпространством линейного оператора.Утверждение 3. Собственный вектор линейного оператора A можетотвечать только одному собственному значению λ .Теорема.
Собственные векторы, отвечающие различным собственнымзначениям, линейно независимы.Следствие. Линейный оператор, действующий в n -мерномпространстве, не может иметь более чемn различных собственныхзначений.Определение. Пусть A – матрица линейного оператора A : L → L внекотором базисе. Характеристическим многочленом оператора AλназываетсямногочленвидаотносительночислаP(λ ) = det ( A − λE ) = A − λE .Утверждение. Характеристический многочлен оператора A не зависитот выбора базиса.Действительно, Матрицы Aeи A f линейного оператора A : L → L вразличных базисах e и f связаны соотношением A f = Te−→1 f ⋅ Ae ⋅T e→ f .ПоэтомуA f − λE = Te−→1 f ⋅ Ae ⋅T e→ f −Te−→1 f ⋅ λ ⋅ E ⋅T e→ f = Te−→1 f ⋅ ( Ae − λE ) ⋅T e→ f == Te−→1 f ⋅ Ae − λE ⋅ T e→ f = Ae − λE .Определение.УравнениеA − λE = 0называетсяхарактеристическим уравнением оператора A .Теорема.
Для того чтобы число λ являлось собственным значениемоператора A , необходимо и достаточно, чтобы оно было действительнымкорнем характеристического уравнения оператора A .Замечание. Чтобы найти собственный вектор x , отвечающийсобственному значению λ , надо решить СЛАУ ( A − λE ) ⋅ X = O , где X –матрица-столбец координат вектора x , O – нулевая матрица-столбец.Задача 1. Найти собственные значения и собственные векторыоператора A :V3 → V3 .
Ax = [i , x ].I способ (формальный). Найдем матрицу линейного оператора в базисеe = (i , j , k ) .Ai = [i , i ] = 0 = (0,0,0) ,Aj = [i , j ] = k = (0,0,1) ,36Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Ak = [i , k ] = − j = (0,−1,0) .−λуравнение A − λE = 00⎛0 0 0 ⎞⎜⎟A = ⎜ 0 0 − 1⎟ . Запишем характеристическое⎜0 1 0 ⎟⎝⎠00−λ1− 1 = 0 .
Разложив определитель по первой−λстроке, получим уравнение − λ (λ2 + 1) = 0 . λ = 0 – действительный кореньхарактеристического уравнения. Координаты собственного вектора,отвечающего собственному значению λ = 0 , найдем из однородной СЛАУ⎧0 x1 + 0 x2 + 0 x3 = 0( A − λE ) ⋅ X = O при λ = 0 : ⎪⎨ 0 x1 + 0 x2 − x3 = 0 . Решение системы имеет вид:⎪ 0x + x + 0x = 023⎩ 1x2 = x3 = 0, x1 = α , где α – любое действительное число. Таким образом,x = (α ,0,0)∀α ≠ 0 является собственным вектором, отвечающимсобственному значению λ = 0 .II способ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
