LinAlg (1) (971705), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Доказать, что система векторов a 1 = (1,1,0) , a 2 = (1,−1,0) ,a 3 = (−1,2,−1) является базисом в R 3 .I способ (формальный). a) Докажем, что система векторов a 1 , a 2 , a 3 линейнонезависима. Рассмотрим равенство λ1 ⋅a 1 +λ2 ⋅ a 2 + λ3 ⋅ a 3 = θ . Запишем его в⎧λ1 + λ2 − λ3 = 0⎪координатной форме ⎨λ1 − λ2 + 2λ3 = 0 . Полученная однородная СЛАУ⎪−λ =0⎩ 39Е.Б. Павельева, В.Я.
Томашпольский. Линейная алгебра.имеет единственное тривиальное решение λ1 = λ2 = λ3 = 0 и, следовательно,система векторов a 1 , a 2 , a 3 линейно независима.б) Докажем, что любой вектор x = ( x1 , x 2 , x3 ) ∈ R 3 может быть разложен повекторам a 1 , a 2 , a 3 , т.е. существуют такие вещественные числа λ1 , λ2 , λ3 ,что x = λ1a 1 + λ2 a 2 + λ3a 3 . Запишем последнее равенство в координатной⎧λ1 + λ2 − λ3 = x1⎪форме ⎨λ1 − λ2 + 2λ3 = x2 . Полученная неоднородная СЛАУ с матрицей⎪− λ = x3⎩ 3⎛ 1 1 − 1⎞⎜⎟коэффициентов A = ⎜ 1 − 1 2 ⎟ ( det A ≠ 0 ) имеет единственное решение⎜ 0 0 − 1⎟⎝⎠⎛ λ1 ⎞⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎟−1 ⎜⎜ λ2 ⎟ = A ⋅ ⎜ x2 ⎟ .⎜λ ⎟⎜x ⎟⎝ 3⎠⎝ 3⎠II способ. а) Докажем, что система векторов a 1 , a 2 , a 3 линейно независима.Из столбцов координат векторовсоставим матрицуa1 , a 2 , a 3⎛ 1 1 − 1⎞⎜⎟A = ⎜ 1 − 1 2 ⎟ .
Поскольку det A ≠ 0 , столбцы матрицы A линейно⎜ 0 0 − 1⎟⎝⎠независимы, поэтому и система векторов a 1 , a 2 , a 3 линейно независима.б) Поскольку количество линейно независимых векторовсовпадает с3размерностью пространства R , эти векторы образуют базис в пространствеR3 .Задача 2.Доказать,чтосистемамногочленовf1 (t ) = t 3 + t 2 + t + 1 , f 2 (t ) = t 2 + t + 1 , f 3 (t ) = t + 1 , f 4 (t ) = 1 в пространстве P3линейно независима.I способ (формальный). Рассмотрим линейную комбинацию многочленов∀t ∈ (−∞,+∞) .Подставивλ1 ⋅ f1 (t ) + λ2 ⋅ f 2 (t ) + λ3 ⋅ f 3 (t ) + λ4 ⋅ f 4 (t ) ≡ 0многочлены в тождество и приведя подобные члены, получимλ1 ⋅ (t 3 + t 2 + t + 1) + λ2 ⋅ (t 2 + t + 1) + λ3 ⋅ (t + 1) + λ4 ⋅ 1 ≡ 0∀t ∈ (−∞,+∞)⇔t 3 ⋅ λ1 + t 2 ⋅ (λ1 + λ2 ) + t ⋅ (λ1 + λ2 + λ3 ) + (λ1 + λ2 + λ3 + λ4 ) ≡ 0∀t ∈ (−∞,+∞) .Поскольку система многочленов 1, t , t 2 , t 3 линейно независима, толькотривиальная линейная комбинация этих многочленов может бытьтождественно равна нулю.
Приравнивая коэффициенты при t 3 , t 2 , t , 1 кнулю, получим систему10Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.⎧λ1 = 0⎪λ + λ = 0⎪ 12. Полученная СЛАУ имеет только тривиальное решение⎨0λλλ++=23⎪ 1⎪⎩λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 0λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 , т.е. система многочленов f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ), f 4 (t ) линейнонезависима.II способ. Найдем координаты многочленов в базисе 1, t , t 2 , t 3 пространстваP3 : f1 (t ) = t 3 + t 2 + t + 1 = (1,1,1,1) , f 2 (t ) = t 2 + t + 1 = (1,1,1,0) ,f 3 (t ) = t + 1 = (1,1,0,0) , f 4 (t ) = 1 = (1,0,0,0) .
Из столбцов координат многочленов⎛1 1 1 1 ⎞⎜⎟1110⎜⎟составим матрицу A = ⎜. Поскольку det A ≠ 0 , столбцы матрицы1 1 0 0⎟⎜⎜⎟⎟⎝1 0 0 0 ⎠A линейно независимы, поэтому и система многочленов линейнонезависима.Задача 3. Доказать, что для любой матрицы A размера n × nсуществует ненулевой многочлен p( x ) такой, что p( A) = O , где O – нулеваяматрица размера n × n .Решение. Поскольку размерность пространства квадратных матриц M n× nравна n 2 , любая система из n 2 + 1 матриц линейно зависима. В частности,{2}линейно зависима система матриц E , A , A2 ,..., An .
Следовательно,существует нетривиальная линейная комбинация этих матриц, равнаянулевойматрице:2λ0 E + λ1 A + λ2 A2 + ... + λn2 A n = O .Такимобразом,искомый многочлен имеет вид: p( x ) = λ0 + λ1 x + λ2 x 2 + ... + λn2 x n .21.4. Матрица перехода от старого базиса к новому базису.Преобразование координат вектора при переходе к новомубазисуДалее будем пользоваться матричными обозначениями. Базисe1 , e 2 ,..., e nудобно обозначать матрицей-строкой e = (e1 , e 2 , ..., e n ) ;координаты вектора x в базисе e1 , e 2 ,..., e n удобно обозначать матрицей –⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜x ⎟столбцом X = ⎜ 2 ⎟ . В данных обозначениях разложение x по базису e :M⎜⎜ ⎟⎟⎝ xn ⎠x = x1e1 + x2 e 2 + ...
+ xn e n может быть записано в матричной форме x = e ⋅ X .11Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Пусть e = (e1 , e 2 , ..., e n ) и f = ( f 1 , f 2 , ..., f n ) – два базиса n -мерноголинейного пространства L . Разложим векторы второго базиса f побазису e :f1 = α11 e1 + α 21 e 2 + ...
+ α n1 e n ,f 2 = α12 e1 + α 22 e 2 + ... + α n 2 e n ,(1)Lf n = α1n e1 + α 2 n e 2 + ... + α nn e n .Коэффициентыα ijэтихразложенийобразуютматрицу⎛ α11 α12 L α1n ⎞⎟⎜⎜ α 21 α 22 L α 2 n ⎟Te→ f = ⎜, которая называется матрицей перехода отL L L L⎟⎟⎟⎜⎜ααLαn2nn ⎠⎝ n1базиса e к базису f .
Отметим, что i -й столбец матрицы перехода,i = 1, 2, ..., n , является столбцом координат вектора f i ( i -го вектора новогобазиса) относительно старого базиса e , т.е. матрица перехода состоит изкоординат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам.Свойства матрицы перехода.1. Соотношения (1) можно записать компактно в матричном виде(2)f = e ⋅ Te→ f .2. Матрица перехода квадратная и невырожденная и, следовательно,всегда имеет обратную.Действительно, det Te→ f ≠ 0 , т.к. векторы f 1 , f 2 , ..., f n линейно независимы.3.
Если T – матрица перехода от базиса e к базису f , то обратнаяматрица T −1 является матрицей перехода от базисаДействительно,учитываясоотношение(2),−1e = f ⋅ T f →e = f ⋅ Te→ f .fк базису e .получим4. Te→ g = Te→ f ⋅ T f → g .Действительно, т.к. g = e ⋅ Te→ g , f = e ⋅ Te→ f , g = f ⋅ T f → g , следовательно,g = e ⋅ Te→ g = f ⋅ T f → g = e ⋅ Te→ f ⋅ T f → g . Таким образом, Te→ g = Te→ f ⋅ T f → g .Теорема. Пусть X e матрица-столбец координат вектора x в базисе e ,X f матрица-столбец координат вектора x в базисе f , Te→ f – матрицаперехода от базиса e к базису f .
Координаты вектора x в базисах e и fсвязаны между собой соотношением(3)X e = Te→ f ⋅ X f .Задача 1. Найти матрицу перехода от базиса e = (i , j , k ) к базисуf = ( f1 , f 2 , f 3 ) в пространстве V3 . f 1 = j , f 2 = k , f 3 = i .12Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.Решение. Найдем координаты векторов f 1 , f 2 , f 3 в базисе e : f 1 = (0,1,0) ,f 2 = (0,0,1) , f 3 = (1,0,0) .
Из столбцов координат векторов составим матрицу⎛0 0 1⎞⎟⎜A = ⎜ 1 0 0 ⎟ . Данная матрица A и есть матрица перехода от базиса e к⎜ 0 1 0⎟⎠⎝базису f .Задача 2. В пространстве V3 заданы векторы f 1 = i + j , f 2 = i − j ,f 3 = −i + 2 j − k . Доказать, что система векторов f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) образуетбазис в V3 и написать матрицу перехода от базиса e = (i , j , k ) к базису f .Найти координаты вектора x = i − 2 j + 2k в базисе f .Решение. а) Найдем координаты векторов f 1 , f 2 , f 3 в базисе e : f 1 = (1,1,0) ,f 2 = (1,−1,0) , f 3 = (−1,2,−1) .
Из столбцов координат векторов составим⎛ 1 1 − 1⎞⎟⎜матрицу A = ⎜ 1 − 1 2 ⎟ . Поскольку det A ≠ 0 , система векторов f 1 , f 2 , f 3⎜ 0 0 − 1⎟⎠⎝линейно независима. Эта система образует базис в пространстве V3 , т.к.количество векторов в системе совпадает с размерностью пространства V3 .б) Матрица A и есть матрица перехода от базиса e в базис f .
(1,−2,2) –координаты вектора x в базисе e = (i , j , k ) , ( x1 , x2 , x3 ) – координаты x в⎛ 1 ⎞⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟базисе f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) , т.е. X e = ⎜ − 2 ⎟ , X f = ⎜ x2 ⎟ . Подставив матрицы X e ,⎜ 2 ⎟⎜x ⎟⎝ ⎠⎝ 3⎠X f , A в формулу (3), получим СЛАУ, записанную в матричном виде:⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 − 1⎞ ⎛ x1 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜2112=−−⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ . Решив эту систему методом Гаусса, получим⎜ ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 0 − 1⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎝3x1 = 12 , x2 = − 2 , x3 = −2 . Таким образом, вектор x в базисе f имееткоординаты x = (12 , − 32 , − 2 ) .Задача 3.f 2 (t ) = −t 2 + 2t ,Доказать,чтосистемамногочленовf1 (t ) = t 2 + 1 ,f 3 (t ) = t 2 − t образует базис в пространстве P2 . Найтикоординаты многочлена g (t ) = −2t 2 + t − 1 в этом базисе.Решение. а) Найдем координаты заданных многочленов в естественномбазисеe = (1, t , t 2 )пространстваP2 :f1 (t ) = t 2 + 1 = (1,0,1) ,f 2 (t ) = −t 2 + 2t = (0,2,−1) , f 3 (t ) = t 2 − t = (0,−1,1) .Из столбцов координат13Е.Б.
Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.0⎞⎛1 0⎟⎜многочленов составим матрицу A = ⎜ 0 2 − 1⎟ . Линейная независимость⎜1 −1 1 ⎟⎠⎝многочленов эквивалентна линейной независимости столбцов матрицы A .Поскольку det A ≠ 0 , столбцы матрицы A линейно независимы,следовательно, и система многочленов линейно независима. Посколькуколичество линейно независимых многочленов совпадает с размерностьюпространства P2 , эти многочлены образуют базис в пространстве P2 .б) Матрица A является матрицей перехода от базиса e к базису f .Многочлен g (t ) = −2t 2 + t − 1 имеет координаты (−1,1,−2) в естественномбазисе e = (1, t , t 2 ) и координаты ( x1 , x2 , x3 ) в базисе f = ( f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t )) ,⎛ −1⎞⎛ x1 ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟т.е.
Ge = ⎜ 1 ⎟ , G f = ⎜ x2 ⎟ . Пользуясь формулой (3), получим систему⎜ − 2⎟⎜x ⎟⎝ ⎠⎝ 3⎠0 ⎞ ⎛ x1 ⎞⎛ −1⎞ ⎛1 0⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟ = ⎜ 0 2 − 1⎟ ⋅ ⎜ x2 ⎟ . x1 = −1 , x2 = 0 , x3 = −1 – решение системы.⎜ − 2⎟ ⎜1 − 1 1 ⎟ ⎜ x ⎟⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎠ ⎝Таким образом, многочлен g (t ) в базисе f имеет координатыg (t ) = (− 1, 0, − 1) .Замечание. Координаты многочлена g (t ) = −2t 2 + t − 1 в базисе fможно найти вторым способом. Разложим многочлен по базисуg (t ) = λ1 ⋅ f1 (t ) + λ2 ⋅ f 2 (t ) + λ3 ⋅ f 3 (t ) ∀t ∈ (−∞,+∞) .
Подставив в равенствомногочлены f1 (t ), f 2 (t ), f 3 (t ) и приведя подобные члены, получим− 2t 2 + t − 1 = λ1 ⋅ (t 2 + 1) + λ2 ⋅ (−t 2 + 2t ) + λ3 ⋅ (t 2 −t )t 2 ⋅ (−2 − λ1 + λ2 − λ3 ) + t ⋅ (1 − 2λ2 + λ3 ) + (−1 − λ1 ) ≡ 0∀t ∈ (−∞,+∞)⇔∀t ∈ (−∞,+∞) .Поскольку система многочленов 1, t , t 2 линейно независима, толькотривиальная линейная комбинация этих многочленов может бытьтождественно равна нулю. Приравнивая коэффициенты при t 2 , t , 1 к нулю,⎧− 2 − λ1 + λ2 − λ3 = 0⎪получим СЛАУ ⎨ 1 − 2λ2 + λ3 = 0. λ1 = −1 , λ2 = 0 , λ3 = −1 – решение⎪− 1 − λ = 01⎩системы. Следовательно, g (t ) = (− 1, 0, − 1) в базисе f .Задача 4.
Два базиса f = ( f 1 , f 2 , f 3 ) и g = ( g 1 , g 2 , g 3 ) в R 3 заданысвоими координатами в некотором третьем базисе e в R 3 . f 1 = (1,1,0) ,f 2 = (1,0,1) , f 3 = (0,1,1) , g 1 = (1,1,1) , g 2 = (1,2,0) , g 3 = (−1,0,0) . Вектор x задан14Е.Б. Павельева, В.Я. Томашпольский. Линейная алгебра.координатами в базисе g : x = ( 32 ,−2,3) . Найти координаты вектора x вбазисе f .⎛1 1 0⎞⎜⎟I способ. Te→ f = ⎜ 1 0 1 ⎟ – матрица перехода от e к f .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
