Диссертация (О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий), страница 8

Îáîçíà÷èì ÷åðåç (, ) ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä êîëüöîì 0 := /( : - , < 0 ) . Çàìåòèì, ÷òî mod (, ) ÿâëÿåòñÿ -ãðàäóèðóåìûì îòíîñèòåëüíî è , îòêóäà, î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî ìíîãî÷ëåí ([] · ) mod òàêæå ÿâëÿåòñÿ -ãðàäóèðóåìûì. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.8.7 [] · èìååòâèä∑︁ + 0 0+∑︁ .>0-,<0Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè 0 ó ýòîãî ìíîãî÷ëåíà ðàâåí 0 , àïîñêîëüêó êîëüöî {} åñòåñòâåííî ïîëó÷àåòñÿ êàê ôàêòîð êîëüöà 0 , òî48ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî ðÿä []· {} äîëæåí áûòü -ãðàäóèðóåì.Предложение 2.8.13.

Формальный групповой закон над Z() -алгеброй без кручения является -типическим, если и только если логарифм имеет вид:log () =∞∑︁(2.7) ,=0где ∈ ⊗ Q .Доказательство. Ïóñòü log èìååò âèä 2.7. Òîãäà ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 2.8.5ô.ã.ç. ÿâëÿåòñÿ -òèïè÷åñêèì. Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà ñëåäóåò, ÷òî[] · = log−1 ( log ()) , è ïîýòîìó [] · ÿâëÿåòñÿ -ãðàäóèðóåìûì, à,çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ -òèïè÷åñêèì.Äîêàæåì îáðàòíîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü : {} → ìîðôèçìêîëåö, êëàññèôèöèðóþùèé . Òîãäà log () = (log {} ()) , ïîýòîìó äëÿòîãî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî ëîãàðèôì -òèïè÷åñêîãî ô.ã.ç. èìååò âèä 2.7, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ýòî äëÿ óíèâåðñàëüíîãî -òèïè÷åñêîãî ô.ã.ç.Îáîçíà÷èì êîýôôèöèåíòû ëîãàðèôìà {} ÷åðåç ¯ ∈ {} ⊗ Q ,∑︀∞ ¯ ò.å. log {} () ==0 .

Ìîðôèçì : → {} îòîáðàæàåò ⯠, è, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿìè Àðàêè, ìû ìîæåì âûðàçèòü ¯ ÷åðåç ïîðîæäàþùèå êîëüöà êîýôôèöèåíòîâ .Ïóñòü 0 := min{ : ¯ ̸= 0, - } , è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî ÷èñëî êîíå÷íî.Òîãäà ïîëó÷àåì (ñì. Ïðåäëîæåíèå 2.8.7), ÷òî( − 0 )0 = 0 +∑︁0 −1 0 − .=1Îäíàêî, ìîðôèçì îòîáðàæàåò ïðàâóþ ÷àñòü â 0. Äåéñòâèòåëüíî, 0 = 0 ,ïîñêîëüêó 0 - , à ( 0 − ) = 0 , ïîñêîëüêó, åñëè | , òî 0 − - è(0 − ) = 0 , à åñëè | , òî ( ) = 0 , ïîñêîëüêó < 0 . Ñëåäîâàòåëüíî,ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ òåì, ÷òî ¯ ̸= 0 .0492.9 Определение К-теорий Моравы и их свойстваÔîðìàëüíûå ãðóïïîâûå çàêîíû íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè > 0 èìåþò åäèíñòâåííûé äèñêðåòíûé èíâàðèàíò (êëàññèôèöèðóþùèé ô.ã.ç. ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà) âûñîòó. Èñïîëüçóÿ ýòî íàáëþäåíèå,â àëãåáðàè÷åñêîé òîïîëîãèè ðàññìàòðèâàåòñÿ åäèíñòâåííàÿ îðèåíòèðóåìàÿ òåîðèÿ ñ ô.ã.ç.

âûñîòû íàä F¯ , íàçûâàåìàÿ -îé (òîïîëîãè÷åñêîé) Ê-òåîðèåéÌîðàâû.Îäíàêî, ïðåñëåäóÿ àíàëîãèþ ìåæäó Ê-òåîðèÿìè Ìîðàâû è àëãåáðàè÷åñêîé Ê-òåîðèåé, ìû íàçûâàåì -îé Ê-òåîðèåé Ìîðàâû òåîðèþ ðàöèîíàëüíîãîòèïà íàä Z() ñ ôîðìàëüíûì ãðóïïîâûì çàêîíîì ñïåöèàëüíîãî âèäà, ðåäóêöèÿêîòîðûõ ïî ìîäóëþ èìååò âûñîòó .Êëàññèôèêàöèÿ ô.ã.ç. íàä Z() îïðåäåë¼ííîé âûñîòû çíà÷èòåëüíî áîëåå ñëîæíàÿ, ÷åì íàä F¯ , è, â ÷àñòíîñòè, ðàçëè÷íûå âûáîð ô.ã.ç. âûñîòû ìîãóò çàäàâàòü òåîðèè, êîòîðûå íåèçîìîðôíû ìóëüòèïëèêàòèâíî. Îäíàêî, ìûïîêàæåì (â ðàçäåëå ), ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå íàìè -ûå Ê-òåîðèè Ìîðàâû èçîìîðôíû êàê ôóíêòîðû â êàòåãîðèþ àáåëåâûõ ãðóïï. Åñëè áû ýòîò èçîìîðôèçìáûë êàíîíè÷åñêèì, òî ìîæíî áûëî áû ãîâîðèòü î åäèíñòâåííîé -îé Ê-òåîðèèÌîðàâû íàä Z() êàê î ôóíêòîðå àáåëåâûõ ãðóïï, îäíàêî, íàøà êîíñòðóêöèÿíå äà¼ò êàíîíè÷åñêîãî âûáîðà òàêîãî èçîìîðôèçìà.Предложение 2.9.1 ([17, 18.3.1]). Пусть – формальный групповой законнад целостной F -алгеброй .Тогда ряд [] · имеет вид ( ) , где () = + .

. . , ̸= 0 .ℎОпределение 2.9.2. Ïóñòü ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä öåëîñòíîéF -àëãåáðîé . Высотой íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî ℎ , îïðåäåëÿåìîåèç Ïðåäëîæåíèÿ 2.9.1.Åñëè ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íàä Z() -àëãåáðîé , ò.÷. () ïðîñòîé èäåàë â , òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èìåþò âûñîòó, ðàâíóþ âûñîòå mod .Определение 2.9.3. Òåîðèÿ ðàöèîíàëüíîãî òèïà íàä Z() , îïðåäåëÿåìàÿ ëþ-áûì -òèïè÷åñêèì ôîðìàëüíûì ãðóïïîâûì çàêîíîì âûñîòû , íàçûâàåòñÿ50 -ой К-теорией Моравы è îáîçíà÷àåòñÿ ()* .Äàëåå ()* îáîçíà÷àåò ëþáóþ -óþ Ê-òåîðèþ Ìîðàâû, çà èñêëþ÷åíèåì ðàçäåëà , â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå òàêèå òåîðèè è äîêàçûâàåòñÿ,÷òî ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò àääèòèâíûé èçîìîðôèçì.Предложение 2.9.4. Логарифм -ой К-теории Моравы имеет вид:log() = +∞∑︁=1 ,где ∈ Z×() , ≡ (1 ) mod для любых ≥ 1 .Доказательство.

Ñîãëàñíî Ïðåäëîæåíèþ 2.8.13 ëîãàðèôì -òèïè÷åñêîãî ô.ã.ç.∑︀∞, ïîýòîìó îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî := ∈ Z() . Ýòîèìååò âèä:=0 áóäåò ñëåäîâàòü èç äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé, äîêàçûâàþùèõ â òî æå âðåìÿñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè .Ïîñêîëüêó [] ·() = log−1() ( log() ()) = + 1 (1 − −1) + . . . ,òî óñëîâèå, ÷òî ñîîòâåòñâòóþùèé ô.ã.ç. èìååò âûñîòó ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ1 ∈ Z×() .Îáîçíà÷èì ÷åðåç ¯ ∈ Q îáðàçû êîýôôèöèåíòîâ ëîãàðèôìà {}ïðè îòîáðàæåíèè : {} → Z() , êëàññèôèöèðóþùåì ô.ã.ç.

-îé Êòåîðèè Ìîðàâû. Èç Ïðåäëîæåíèÿ 2.8.13 cëåäóåò, ÷òî ¯ = 0 ïðè - , êàêóæå îòìå÷åíî âûøå.Èç ñîîòíîøåíèé Àðàêè ëåãêî ñëåäóåò, ÷òî (1 − −1 )¯ = 1 = (1 −¯ −1 ) . Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî , ÷òî ¯ ∈ Z×mod .() , è ≡ ( )Ñîîòíîøåíèÿ Àðàêè ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû òàê: (1 − −1)¯ =−1∑︁−1 ¯ ((−) ) ,=0è ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè ìû âèäèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííîé.Ïî ìîäóëþ ýòî ðàâåíñòâî èìååò âèä:(−1) ¯ ≡ −1 ¯(−1) ( )≡ (1 )−1 1 = (1 )îòêóäà è ïîëó÷àåì, ÷òî ≡ (1 ) mod .mod ,51Èñïîëüçóÿ ÿâíûé âèä ëîãàðèôìà -îé Ê-òåîðèè Ìîðàâû èç Ïðåäëîæåíèÿ 2.9.4, íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ÷ëåíû ô.ã.ç. () ìàëîé ñòåïåíè èìåþòâèä: +1() (, )mod (, ) −1 (︂ )︂1 ∑︁ −.= + − 1 =1 Замечание 2.9.5.

Ýêñïîíåíòà Àðòèíà-Õàññå ([27, ñ. 387]) çàäà¼ò èçîìîðôèçìíàä Z() ìóëüòèïëèêàòèâíîãî ô.ã.ç. è ô.ã.ç. ñ ëîãàðèôìîì∑︀∞1 =0 , îïðå-äåëÿþùèì Ê-òåîðèþ Ìîðàâû (1) .Òàêèì îáðàçîì, èçìåíèâ îðèåíòàöèþ â òåîðèè ðàöèîíàëüíîãî òèïà 0 ⊗Z() , ìû ïîëó÷àåì Ê-òåîðèþ Ìîðàâû (1)* .Предложение 2.9.6.1. К-теории Моравы ()* являются Z/( − 1) -градуированными.Мы обозначаем градуированные компоненты через ()1 , ()2 , . .

. ,() −1, а также используем обозначения () , ()mod −1, ()+(для компоненты () , где ≡ mod − 1 , 1 ≤ ≤ − 1 .2. Операции Адамса на ()* согласованы с градуировкой.3. Градуировка на ()* согласована с прямыми образами, т.е. для собственного отображения гладких многообразий : → коразмерности прямой образ * увеличивает градуировку на : * : () () →()+ ( ) .()В частности, 1() ∈ ()1 () для любого линейного расслоения на гладком многообразии .Доказательство. Ïóñòü∑︀∞=0 ëîãàðèôì ()* (cì.

2.9.4). Ðàññìîòðèìô.ã.ç. íàä ãðàäóèðîâàííûì êîëüöîì Z() [ , −1 ] (ãäå deg = 1 − ) ñ ëîãà−1∑︀∞ −1ðèôìîì . Cîîòâåòñòâóþùóþ òåîðèþ ðàöèîíàëüíîãî òèïà îáî=0 ^ *.çíà÷èì ÷åðåç ()^ * ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì ñòåïåíè 1 (ãäå Ïîñêîëüêó ëîãàðèôì ()èìååò ñòåïåíü 1), òî ìîðôèçì êîëåö, êëàññèôèöèðóþùèé ô.ã.ç. (), ñîãëà^^ * íàñëåäóåò Z -ãðàäóèðîâêó ñ àëãåáðàèñîâàí ñ ãðàäóèðîâêîé, è òåîðèÿ ()÷åñêèõ êîáîðäèçìîâ. −1)52Ëåãêî âèäåòü (íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ Òåîðåìó 2.5.5), ÷òî îïåðàöèè Àäàìñàíà Ω* ñîãëàñîâàíû ñ ãðàäóèðîâêîé, à, êðîìå òîãî, êîììóòèðóþò ñ ìîðôèçìàìèîðèåíòèðóåìûõ òåîðèé.

Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâà 2, 3 âûïîëíåíû äëÿ òåîðèè^ *.()Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî ô.ã.ç. () ïîëó÷àåòñÿ èç ô.ã.ç. (), åñëè^ïîëîæèòü = 1 . Ñîîòâåòñòâåííî, òåîðèÿ ()* ÿâëÿåòñÿ ëîêàëèçàöèåé^ * îòíîñèòåëüíî = 1 : ()* = ()^ *⊗−1 Z() , è ïîñêîëüêó()Z() [ ,]^ * . Ñâîéñòâàdeg = 1 − , ()* íàñëåäóåò Z/( − 1) -ãðàäóèðîâêó ñ ()^ *.2, 3 äëÿ ()* ñëåäóþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ äëÿ ()2.10 Операции из К-теорий Моравы в группы ЧжоуÎäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ýòîé äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Теорема 2.10.1 ([2, Òåîðåìà 10]).

Пусть ()* – -ая К-теория Моравы.Тогда существуют операции : ()* → * ⊗ Z() , которые мыбудем называть классами Черна, удовлетворяющие следующим свойствам:1. операция имеет носитель () , т.е. () = 0 для ∈ () , ̸= mod − 1 ;2. операция = 1 + 2 + .

. . удовлетворяет формуле Картана: ( + ) = () ( (), ());(2.8)˜ * в группы3. операции свободно порождают кольцо операций из ()Чжоу, т.е.˜ * , * ⊗ Z() ] = Z() [[1 , 2 , . . .]].[()Замечание 2.10.2. Îïåðàöèè 1 , . . . , èç Ê-òåîðèè Ìîðàâû ñ ëîãàðèôìîì∑︀∞=0â ãðóïïû ×æîó ïî ìîäóëþ êðó÷åíèÿ è óäîâëåòâîðÿþùèå ôîðìóëåÊàðòàíà áûëè ïîñòðîåíû â ðàáîòå [26].532.10.1 Одна алгебраическая леммаÍà÷èíàÿ ñ ýòîãî ðàçäåëà è äî êîíöà äîêàçàòåëüñòâà Òåîðåìû 2.10.1 ìû ôèêñèðóåì -óþ Ê-òåîðèþ Ìîðàâû ()* è êîýôôèöèåíòû å¼ ëîãàðèôìà ñîãëàñíîÏðåäëîæåíèþ 2.9.4 îáîçíà÷àåì ñëåäóþùèì îáðàçîì ( ∈ Z×() ):log() = +∞∑︁=1 .Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê äîêàçàòåëüñòâó Òåîðåìû 2.10.1, ìû äîêàæåìîäíó àëãåáðàè÷åñêóþ ëåììó, êîòîðàÿ ïîíàäîáèòñÿ íàì â ïîñòðîåíèè êëàññîâ×åðíà.Åñëè ∈ Q ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òî åãî -âàëþàöèþ áóäåì îáîçíà∑︀÷àòü ÷åðåç () .

Ïóñòü =(1 ,..., ) 11 · · · ìíîãî÷ëåí ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òîãäà åãî -âàëþàöèåé () áóäåì íàçûâàòü íàèìåíüøóþ âàëþàöèþ åãî êîýôôèöèåíòîâ, ò.å. () = min ((1 ,..., ) ) . Òàêèìîáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííûì ìíîãî÷ëåíîì òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà () ≥ 0 . Áîëåå òîãî, åñëè ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííûì, òî ≡ 0mod òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà () > 0 .Åñëè ìíîãî÷ëåí îò íàä êîëüöîì , òî êîýôôèöèåíò ïðè ìîíîìå áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç [ ] ∈ .Лемма 2.10.3. Рассмотрим формальный ряд := 1 + 2 2 + . . . =∑︀∞=1 над градуированным кольцом Z[1 , 2 , . . .] , в котором степень переменной равна .Для каждого ≥ 1 определим многочлен ∈ Q[1 , 2 , .

. . , −1 ] согласно формуле = − log() ()[ ] .Пусть , ∈ Z≥0 .1. Если ̸= mod ( −1) , то ( = 0| ̸= mod ( −1)) = 0 , т.е. многочлен зануляется, если переменные с индексом ̸= mod ( − 1)положить равными нулю.2. Обозначим через натуральное число, т.ч. = , - . Тогда ( ) ≥ − .542p. Если, более того, > 0 , то ( ) = − .В многочленах , положим равными нулю переменные для ̸= mod ( − 1) и обозначим соответствующие многочлены через ˜ , ˜ .Тогда многочлены − ˜ mod и ( − ˜ ) mod пропорциональ-ны.Доказательство.

1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [] :=∑︀∞+( −1)=0 +( −1) ôîðìàëü-íûé ðÿä , â êîòîðîì ïåðåìåííûå ïîëîæåíû ðàâíûìè íóëþ äëÿ ̸= mod ( − 1) .Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò+. . . ðàâåí íóëþ. Îäíàêî, ïðîèçâåäåíèåïðè â ðÿäó log() [] = [] + 1 [] ìîíîìîâ âèäà +( −1) +( −1)èìååò ñòåïåíü ñðàâíèìóþ ñ ≡ ̸= ïî ìîäóëþ −1 , ïîýòîìó ìîíîìà íå ïîÿâèòñÿ â ðàçëîæåíèè ðÿäîâ [].2. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ÿâëÿåòñÿ -öåëî÷èñëåííûì ìíîãî÷ëåíîì.