Диссертация (Поведенческие модели участников биржи), страница 5

для очень больших рынков;2) необходимость определения состава и количества факторов,влияющих на доходность ценной бумаги, для прогнозирования ее доходности (отсутствие значимых факторов и включение незначимыхфакторов в регрессию искажает полученные результаты).1.2.2. Моделирование динамики стоимостей финансовых инструментовОдной из ключевых проблем принятия решений трейдером опокупке или продаже ценной бумаги является проблема адекватнойоценки поведения ее будущей стоимости (см.

раздел 1.1). Знание закона распределения будущей стоимости как случайной величинынеобходимо для оценивания математического ожидания, а также дисперсии и других мер риска, используемых трейдерами в рамках моделей формирования оптимального портфеля. Для трейдеров, не использующих моделей оптимального инвестирования, а принимающих решения о покупке/продаже ценных бумаг на основе прогнозируемогоим повышения/снижения их стоимости (такой подход характерен длятрейдеров-спекулянтов или трейдеров-сторонников технического анализа), достаточно данных лишь о предполагаемом направлении изменения будущей стоимости ценной бумаги.Методы регрессионного анализа.

Для математического описания поведения будущей стоимости (или доходности) ценной бумагишироко используются методы регрессионного анализа. Например, как29указано в разделе 1.2.1, в моделях CAPM и APT для оценивания параметров модели используются модели линейной регрессии вида∑. Линейные регресионные модели используютсятакже для исследования зависимости доходности ценной бумаги от еедивидендной доходности (dividend yield ratio, отношение величиныгодового дивиденда на акцию к цене акции) [67], коэффициента «цена-прибыль» P/E (price-earnings ratio, финансовый показатель, равныйотношению рыночной капитализации компании к её годовой прибыли) и коэффициента P/B (Price-to-book ratio, финансовый коэффициент, равный отношению текущей рыночной капитализации компаниик её балансовой стоимости) [74], банковской процентной ставки и величины спреда (разность между лучшими ценами заявок на продажу ина покупку в один и тот же момент времени на какой-либо актив) [57].Недостатками регрессионных моделей при их использованиидля прогнозирования значений будущей стоимости / доходности ценных бумаг являются:1) необходимость определения полного набора значимых переменных для обеспечения корректной интерпретации результатов(как известно [10], отсутствие значимой переменной приводит к смещению оценки коэффициентов при оставшихся переменных и некорректности -статистик и других показателей качества модели, а включение незначимых переменных увеличивает риск мультиколлинеарности, т.е.

появлению линейной зависимости между факторами модели);2) необходимость наличия значительного объема статистических данных для адекватной оценки параметров модели;3) заведомая неадекватность модели в форме функциональнойзависимости между объясняемыми и объясняющими переменными;4) относительно невысокая точность получаемых прогнозов;305) невозможность анализировать взаимосвязи между данными,доступными для обработки в форме конечных временных рядов.Методы временных рядов.

Последний недостаток регрессионных моделей является принципиальным, поскольку как показано в[82,83] практически для всех исследовавшихся временных рядов, описывающих макроэкономические показатели США, оказалось, что всерегрессии, получаемые обычным методом наименьших квадратов поним, являются кажущимися (spurious), т.е. согласно использованноймодели зависимость между переменными присутствует, посколькукоэффициенты этих регрессий являются значимыми и нарушенийпредпосылок регрессионной модели нет, однако в действительностинет никакой зависимости между (объясняемыми и объясняющими)переменными.По этой причине при описании макроэкономических показателей построение регрессий заменяется моделированием этих показателей в форме временных рядов специальной структуры.

Однако простейшие модели такой структуры, например, модели авторегрессии∑(AR) вида(MA)∑вида, модели скользящего среднего,иобщиеавторегрессии∑скользящегосреднего∑, как показано в [35], не являются адекватными описа-(ARMA)видамоделиниям финансовых рядов в силу нестационарности последних. Тем неменее, эти ряды можно превратить в стационарные путем перехода крядам из разностей некоторого порядкаот исходного ряда, так чтополучившиеся ряды разностей будут описываться моделью ARMA.Такая модель называется интегрированной моделью авторегрессии(ARIMA) и в общем виде выглядит следующим образом:∑∑. Эта модель широко используется для31прогнозирования стоимостей различных финансовых инструментов[31, 60, 86].Для моделирования такой особенности биржевых временныхрядов, как чередование периодов небольшой волатильности с периодами высокой волатильности (называемой кластеризацией волатильности [47]) были предложены модели авторегрессионной условнойгетероскедастичности (ARCH) [47].

Все эти модели описывают изменения дисперсии∑∑√процесса∑либо(ARCH),либо в виде∑(GARCH), и других обобщений модели ARCH. Значи-тельное число других эконометрических моделей (а также процедур итесты для проверки и оценивания коэффициентов в этих моделях,оценки качества модели, проверки выполнения предпосылок моделейи оценки качества прогнозов) приведены в [105].Так же, как и модели регрессионного анализа, модели временных рядов обладают недостатками, к числу которых относится:1) необходимость наличия значительного объема статистических данных для адекватной оценки параметров модели;2) необходимость выбора адекватной структуры и вида модели(спецификации) временного ряда;3) сложность непосредственной интерпретации полученныхрезультатов;4) трудность математического описания свойств рядов, описываемых моделями сложной структуры, условий их стационарности,методов оценки параметров;5) значительные вычислительные трудности, связанные с оцениванием параметров моделей и проведением тестов для моделейсложной структуры.32Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ).

Другой способ описания динамики ценных бумаг связан в использованием стохастических дифференциальных уравнений, в которых изменения цены или доходностибиржевого товара моделируются в виде(где)()– Винеровский процесс, являющийся непрерывным аналогомслучайного блуждания.

Случайный процесс(описывающий изме-нение цены или доходности) можно моделировать с различными вариантами функцийи. Например, для моделирования динамикипроцентной ставки при определении цены облигации используютсяследующие модели:1) модель Мертона[78] (одна из первыхпредложенных моделей);(2) модель Васичека)[110] отражаетфакт возвращения с течением времени процентной ставки к своемусреднему уровню3)( )( )модельсо скоростью ;Кокса,Ингерсола,Росса()[40] учитывает зависимость волатильности ( ()) от значения процентной ставки ;4) модель Чена [39] движения процентной ставкиуправляе-мой тремя источниками рыночных рисков()()()( )()( )()в которой коэффициенты базовой модели (1.1) сами являются случайными процессами и описываются аналогичными стохастическимидифференциальными уравнениями.33Процессы Леви (см., например, [49,66,112]) также представляютсобой описание динамики цены (или доходности) актива средствамистохастических дифференциальных уравнений.

Эти процессы могутбыть представлены суммой нескольких компонент: первая и втораякомпонента, как и ранее, описывают трендовую составляющую динамики стоимости актива и колебания относительно нее, а третья моделирует изменения (скачки) стоимости актива как реакцию на какиелибо внешние (по отношению к бирже) события:где– составной процесс Пуассона с интенсивностью потока внеш-них событий .Недостатки методов, основанных на использовании СДУ.Помимо уже указанных недостатков, присущих регрессионнным моделям и моделям на основе временных рядов, модели в форме стохастических дифференциальных уравнений обладают следующими дополнительными недостатками:1) сложность получения аналитического и приближенного решения для уравнений, адекватно описывающих реальные биржевыепроцессы, поскольку предположения, при которых выведены уравнения, сложно верифицируемы;2) сложность математического аппарата для понимания и использования трейдерами;3) сложность реализации решений в практической работеучастников биржи.Прочие методы.

Наконец, для прогнозирования будущей стоимости ценных бумаг широко используются непараметрические методы [105], методы анализа данных и машинного обучения [48,104]. Вчастности, среди непараметрических методов значительную популярность в последнее время приобрели нейронные сети [47,80,84]. Хотя34все указанные типы моделей имеют определенные достоинства,например, не накладывают ограничений на характер искомых зависимостей между переменными, извлекают из данных скрытые взаимосвязи и способны к обучению, этим моделям присущи те же недостатки, что и рассмотренным выше параметрическим моделям.

Например,в случае нейронных сетей выбор топологии сети (количества слоев инейронов) представляет значительные сложности, для обучения сетитребуется обработка больших массивов информации, а главное – соответствие модели историческим данным не гарантирует высокойточности прогноза.1.2.3.

Моделирование биржевых кризисовПри моделировании кризисных явлений на фондовой биржеобычно различают два типа кризисов4 – эндогенные (отражающиевнутреннюю нестабильность экономической системы в целом) и экзогенные (вызванные внешними причинами, например, стихийнымибедствиями, политическими потрясениями в стране или в мире, и т.п).Моделирование биржевых кризисов на основе закона Пуассона. Для моделирования редких событий в теории страхования частоиспользуются случайные величины, распределенные по закону Пуассона (закону редких событий) [9]. Этот же подход оказался применимым для математического описания закономерностей появления экзогенных кризисных явлений на фондовой бирже, причем, при описанииуказанных явлений используются как единичные, так и совокупностинезависимых пуассоновских процессов [36,51,61,73]. Такие идеи, какдефолт фирмы в страховой математике, имеют естественные прямыеаналогии с кризисными явлениями на фондовой бирже.

Действительно, идея о том, что дефолт может состояться по причине так называемых экзогенных шоков (вызванных региональными, отраслевыми,4см. подробнее в Приложении П.1.5.35промышленными или мировыми шоками), созвучна идее возникновения биржевого кризиса, вызванного внешними событиями.При этом и в том, и в другом случае наступление кризисных явлений можно моделировать одним либо несколькими независимымипуассоновскими процессами, один из них отражает воздействие макроэкономического (или мирового) шока, другой отражает секторальные шоки в экономике, а остальные описывают индивидуальные шокидля каждой ценной бумаги [36].Отметим, что при описании динамики стоимости финансовыхинструментов с помощью процессов Леви скачкообразные измененияэтой стоимости моделируется как пуассоновские потоки событий[49,66,112].Моделирование биржевых кризисов на основе закона Хоукса(обобщение процесса Пуассона).