Диссертация (Поведенческие модели участников биржи), страница 10

2 и Табл. 3, то аналогично приве64денным выше рассуждениям можно вычислить математические ожидания будущих стоимостей ценных бумагиз этих множеств.Пусть, например, трейдер ищет оптимальную стратегию по изменению своего портфеля инвестиций в момент , решая задачу максимизации математического ожидания приращения стоимости портфеля при наличии ограничений всех типов, причем порог∑∑(∑(∑()∑()()∑∑[∑∑∑]()()()∑[∑∑[]])):(∑[∑])()Таким образом, задача (2.3) поиска оптимальной стратегиитрейдера в момент времени , т.е. оптимального перераспределенияего портфеля вложений в момент времени , при указанных предположениях сводится к задаче линейного программирования, решениекоторого можно легко найти c помощью любого современного математического программного обеспечения.652.3 Оценка гарантированного выигрыша трейдера при отсутствии у него предположений о законе распределения будущих цен финансовых инструментовПусть теперь трейдер может выдвинуть лишь минимальныепредположения о будущей ситуации на бирже, т.е.

может указатьмножествоценных бумаг, стоимости которых (по его мнению) вмомент временивырастут по сравнению с текущей стоимостьюв момент времени , и множествоценных бумаг, стоимости кото-рых по его предположению в момент временивероятностьюмножествауменьшатся. Стрейдер верно определит, что ценные бумаги извырастут в цене, с вероятностьюаналогично, с вероятностьюбумаги из множества– упадут, и,трейдер верно определит, что ценныеснизятся в цене, с вероятностью– воз-растут.Если в портфеле трейдера есть ценные бумаги из множества(), то их стоимость также может измениться к моментувремени, и, поскольку у трейдера относительно этих ценных бу-маг нет никаких предположений о значениях их стоимостей в моментвремени, естественно предположить, что с точки зрения трейде-ра увеличение и уменьшение значений стоимостей этих ценных бумагравновероятны.Пусть:1.(|)|| |– вектор объе-мов покупок/продаж ценных бумаг из множествав моментвремени ,где,||– вектор объемов покупок ценных бумаг из множества– вектор объемов продаж ценных бумаг из множества66| |,– вектор объемов возможных покупок/продаж ценныхбумаг из множества;(2.|)|| |– векторстоимостей единиц продаваемых и покупаемых ценных бумагиз множествав момент времени, если трейдер верноопределил направление изменения значений стоимостей этихценных бумаг,где||– вектор стоимостей ценных бумаг из множествапо которой можно будет купить единицу ценной бумаги,, еслитрейдер верно определил направления изменений значений этих стоимостей (с вероятностьюбумаг из множестваценной бумаги– вектор стоимостей ценных),, по которой можно будет продать единицу, если трейдер верно определил направления из-менений значений этих стоимостей (с вероятностьювектор стоимостей ценных бумаг из множества| |),–, по которым (с ве-роятностью 1/2) они окажутся доступными в момент, если стои-мость этих ценных бумаг вырастет в момент времени;(3.|)|цен покупок/продаж ценных бумаг из множествавременигде|| |– векторв момент, если трейдер ошибся в своих прогнозах,|– вектор стоимостей ценных бумаг из множествапо которой можно будет купить единицу ценной бумаги,, еслитрейдер неверно определил направления изменений значений этихстоимостей (с вероятностьюценных бумаг из множестваницу ценной бумаги),– вектор стоимости, по которой можно будет продать еди-, если трейдер неверно определил направ67ления изменений значений этих стоимостей (с вероятностью| |– вектор стоимостей ценных бумаг из множества),, по ко-торым (с вероятностью 1/2) они окажутся доступными в моментесли стоимость этих ценных бумаг снизится в момент времениВ каждый момент времени.(на переменные,)накладываются ограничения, аналогичные ограничениям, описаннымв предыдущем разделе 2.2, следовательно,для),ство для(допустимое множество для)и(допустимое множе-) являются выпуклыми многогранниками в пространствеи,(допустимое множество,соответственно.ииАналогично(допустимыемножествамножествадля, соответственно) являются выпуклымимногогранниками в силу неотрицательности и конечности цен финансовых инструментов.Трейдер предполагает, что в каждый момент временинаправ-ления изменения стоимостей ценных бумаг связаны внутри группив том смысле, что все ценные бумаги из каждой группы меняются водном направлении, т.е.

либо все возрастают, либо все убывают, в товремя как стоимости ценных бумаг из группымогут меняться раз-нонаправленно. С учетом этого предположения, взаимодействие трейдера с биржей в части разбиения им множества,ина подмножестваможно рассматривать как игру двух лиц – трейдера и бир-жи, в которой стратегией трейдера является выбор в момент объемовпродаваемых и покупаемых им ценных бумаг из множествнамерением увеличить свой капитал в моментис, в то время какстратегией биржи является «выбор» цен на единицы ценных бумаг измножества.

Эту игру можно рассматривать как игру с природой(биржей), в которой природа как игрок предлагает трейдеру наиболее68неблагоприятные (для выбора трейдером множеств,тания цен на финансовые инструменты в моментв виде векторовиз выпуклых многогранникови) соче-и. Такаяигра имеет определенную структуру, позволяющую отыскивать оптимальные стратегии игроков из решения задачи линейного программирования [4].Теорема 1. В каждый момент временивзаимодействие междутрейдером и биржей может быть описано в форме антагонистическойигры на выпуклых многогранниках несвязанных стратегий игроков) итежной функцией 〈с пла〉,где||(|)|()()()| |(()( )| |( )),(),– матрица размера ()( ) – диагональная матрица размера(),, у которой все элементыглавной диагонали равны ,– множество стратегий трейдера,,– множество стратегий фондовой биржи,,,(многогранники и,(– выпуклые,)),()– векторы, и седловая точка этой игры69может быть найдена из решения задач линейного программирования,образующих двойственную пару:〈〉(〈){Доказательство.〉(){1.

Рассмотрим ценные бумаги, входящие во множествов мо-мент . Если трейдер правильно угадал направление изменения значений ценных бумаг из этого множества, то приобретая ценные бумаги вколичествах, являющихся компонентами векторав момент, цены на которыебудут определяться компонентами вектора, трей-дер рассчитывает увеличить свой суммарный капитал. При этомнаилучшая стратегия для трейдера состоит в выборе таких объемовприобретаемых ценных бумаг, которые определяются из решения задачи〈〉Если же трейдер не угадал бы направление изменения значенийценных бумаг из множестважества, т.е. стоимости ценных бумаг из мно-уменьшились бы в момент, то наилучшей стратегиейдля трейдера являлся бы выбор таких объемов приобретаемых ценныхбумаг, которые определяются из решения задачи〈〉Поскольку трейдер (правильно) верно определяет направлениеизменения ценных бумаг из множествас вероятностьювыборе трейдером конкретных объемовпокупаемых им в моментвидов ценных бумаг из множества, то при, результат этого выбора можнорассматривать как дискретную случайную величину, принимающую70〈значениямии〉и〈〉 с вероятностя-, соответственно.

Ясно, что оптимальной стратегиейтрейдера будет выбор такого вектора, который максимизиру-ет математическое ожидание указанной дискретной случайной величины. Этот вектор находится из решения задачи:〈〉()〈〉Нетрудно заметить, что справедливы равенства〈[|〈[〉|(()а поскольку множества〈)〉|〈и〉]|()〉]не пересекаются, то справедливыравенства|〈[[(|()〉|〈)(где|||(|(|(|(|(|()〉])〉])〉]))||()||()и) – диагональная матрица размера, у которой,) – диагональная матрица размераторой все элементы главной диагонали равны||()(|(все элементы главной диагонали равны||)|〈[|〈,) – матрица размераприсоединением матрицы||() к матрице, у ко-, образованная||() справа.2. Рассмотрим виды ценных бумаг, образующих множествовмомент .

Если трейдер правильно определил направление изменения71стоимостей ценных бумаг из этого множества, то продавая ценныебумаги в количествах, являющихся компонентами векторана которые в момент, ценыбудут определяться компонентами вектора, трейдер рассчитывает сохранить часть своего капитала за счетпродажи по текущим ценам тех видов ценных бумаг, которые по мнению трейдера должны упасть в цене. При этом наилучшая стратегиядля трейдера состоит в выборе таких объемов продаваемых видовценных бумаг, которые определяются из решения задачи〈〉Если же трейдер неверно определил бы направление измененийстоимостей ценных бумаг из множествамаг из множества, т.е.

стоимости ценных бу-увеличатся в момент, то наилучшей страте-гией для трейдера являлся бы выбор таких объемов приобретаемыхценных бумаг, которые определяются из решения задачи〈〉Рассуждения, совершенно аналогичные рассуждениям, приведенным в п.1 настоящего доказательства, позволяют записать выражение для математического ожидания финансового результата выборатрейдером оптимальных объемов видов ценных бумаг из множества〈в виде(случае бумаг из множествавектора)〉, которое (как и в), трейдер максимизирует за счет выбора, т.е. решает задачу отыскания〈[(где((()〉]))()()и) – диагональная матрица размеравсе элементы главной диагонали равны72,, у которой() – диагональная матрица размераторой все элементы главной диагонали равны(,) – матрица размера(присоединением матрицы, у ко, образованная) к матрице() справа.3.