Диссертация (Поведенческие модели участников биржи), страница 12

Пусть ()дером в момет времени||и опционы- вектор объемов закупаемых трей-фьючерсов, ()||– вектор цен наэти фьючерсы в случае, если трейдер верно определил направлениеизменения их стоимостей в момент времени), ()||( с вероятностью– вектор цен на эти фьючерсы в случае, еслитрейдер неверно определил направление изменения их стоимостей в86момент времени( с вероятностью). Аналогично моделииз параграфа 2.3, допустимые множества для векторов (() , ()) , ( )(()) , являются многогранника-ми.Далее, можем определить векторы () , () , () , ()() , () ,) , () ,() , а также векторы (() для опционов, для каждого из которых допустимое множетсвояляется многогранником в соответствующем пространстве.При покупке фьючерсов из множества J трейдер максимизирует математическое ожидание своего выигрыша, решая оптимизационную задачу(〈(()((〈()〈((((())() 〉) () 〉〈() 〉) ()) 〉)) ((где) () 〉)) ()(〈()〈(() 〉) ((())(()) )(,)) )Очевидно, что[()()() ({〈(()) }() 〉) (〈() 〉) ()(){((87)()) ()〈() 〉) ([()({〈(())(〈((() 〉){〈(()(()() 〉)) () 〈(() 〉}]) () и() из мно-))〈() ()) 〉}(() 〉) (()) () 〉) 〈((|)|) (() 〉}]) 〉)()〈(()(J)〈(()) 〉()[(J) 〉) () 〈((() 〉){〈(где(()〈()J)) 〉}) () выбираются независимо друг от друга, то(() 〉)() из множества ([)〈() (и, поскольку вектора ((()) 〈((J)) ()) 〉]) (){〈(жества (〈()((() (()) 〉]) () ) (()()()).Аналогично рассматривается оптимизационная задача трейдерапри покупке фьючерсов из множества88и()()[〈()〈()[〈()〈()(() 〉)() 〉]) (()()()и()(( ⁄) 〉⁄ )()() 〉]) ((((Пусть()() ,()()) () ((((() )) () , матрица)() ()) )имеет вид)()( ⁄(⁄ ))Тогда наилучшая стратегия трейдера при торговле фьючерсамисостоит в выборе вектора[, при которром достигается максимум〈〉〈〉]Аналогично, при торговле опционами наилучашя стратегиятрейдера состоит в выборе вектора[где вектора,〈, при котором достигается〉, матрицаимеют тот же смысл.

что и〈, и многогранники, ма,89〉]и аи, и мноогогран-никиидля фьючерсов.Итак,(пусть(), и),((),). Тогда наилучшая стратегиятрейдера, торгующего одновременно ценными бумагами, фьючерсамии опционами сводится к решению задачи[гдеистимых решений,(〈〉〈〉〈〉]()многогранники допу),инулевые векторы,имеющие такую же размерность, что и векторыи, соответ-ственно. Нахождение максимина в задаче (2.8), так же как и в задаче(2.4), сводится [4] к решению пары задач линейного программирования〈〈где(〉〈〉〈〉〉)()(),()образующих двойственную пару.Заключение по Главе 2Вторая глава посвящена моделированию поведения трейдера впредположении, что трейдер может прогнозировать будущее состояние биржи с некоторой вероятностью в условиях стабильной рыночной ситуации.Были рассмотрены две наиболее общие ситуации: когда у трейдера есть некоторые предположения о значениях границ измененийбудущих цен на финансовые инструменты, и когда трейдер можеттолько определить направление изменения стоимости финансовых ин90струментов.

Первый вариант более характерен для трейдеров, придерживающихся технического анализа и определяющих на графикахцен так называемые уровни сопротивления и уровни поддержки наосновании анализа, например, паттернов цен или уровней Фибоначчи.Второй вариант более общий и может быть использован не толькосторонниками технического анализа.Задача отыскания оптимальных стратегий инвестирования трейдера в финансовые инструменты можно сформулировать либо как задачу линейного программирования для первого случая, либо как парузадач линейного программирования во втором случае.

Задачи линейного программирования на данный момент решаются практически длясколь угодно большой размерности за малое время и данные моделимогут быть использованы для расчета трейдером некоторого гарантирующего значения будущего благосостояния (в смысле минимальновозможного уровня благосостояния) при указанных предположенияхпри стабильной рыночной ситуации.91Глава 3. Моделирование поведения участников фондовой биржи в условиях финансового кризисаНеобходимость моделирования поведения трейдеров при возможности наступления биржевого кризиса связана с тем, что во времякризиса стремительно меняется рыночная конъюнктура и модели поведения трейдера из главы 2, подходящие для стабильного рынка, неподходят для моделирования поведения в кризисный период. Вероятности того, что трейдер правильно угадает динамику стоимостей финансовых инструментов, в стабильный и кризисный периоды, естественно, отличаются.Понятно, что во время биржевых кризисов большая часть трейдеров теряет деньги (а мелкие и средние трейдеры часто банкротятсяи вовсе теряют полностью свои капиталы).

Для таких трейдеров, вероятно, наиболее выигрышной стратегий было бы переждать периодыкризиса и не участвовать в биржевых торгах в этот период.Для большинства трейдеров, не являющихся инсайдерами, момент начала краха, какими бы причинами он ни был вызван – экзогенными факторами, концом спекулятивного пузыря или нарастающимипроблемами в экономике в период экономического или финансовогокризиса – неизвестен. Соответственно, биржевой кризис является«Черным лебедем» Талеба, т.е. редким, непредсказуемым явлением согромной силой воздействия.

Поэтому мы будем рассматривать биржевые кризисы с позиции именно модели Талеба и проанализируем,является ли пропагандируемая им стратегия «ловли Черных лебедей»разумной.В этой главе мы моделируем задачу трейдера по принятию решений на бирже при возможности наступления биржевых кризисов спомощью элементов теории массового обслуживания, представляя92трейдера системой, обслуживающей два потока заявок, распределенных по закону Пуассона (закону редких событий).

Выбор трейдераосуществляется на основе специальных деревьев решений.Использование композиции двух пуассоновских потоков13 обусловлено требованием редкости наступления биржевых кризисов. Пооценке [23] экономические кризисы наступают примерно раз в 7 лет.Многие модели предсказания дефолта фирм [51,61,73], моделирующие наступление дефолта по причине экзогенных шоков, используютименно пуассоновские процессы или несколько пуассоновских процессов, один из которых отвечает за макроэкономический шок, второй– за секторальные шоки, а остальные описывают индивидуальные шоки для каждой фирмы.3.1 Моделирование поведения трейдеров с учетом возможности наступления биржевых кризисовБудем рассматривать работу трейдера, как некоторого устройства, на вход которого поступает поток сигналов о событиях из внешнего мира.

Эти сигналы устройство должно «распознать» и за правильное «распознавание» оно получает вознаграждение, а за неправильное – штраф.Пусть– начальный момент времени. В случайные момен-ты временина устройство поступают сигналы о событиях из внеш-него мира. Известно, что поступающий на устройство поток сигналовсостоит из двух потоков – потока сигналов о событиях типава quiet) и потока сигналов о событиях типа13(от сло-(rare). Каждый из нихИнтересно отметить, что идея использования двух пуассоновских процессовдля моделирования частого и редкого процессов была применена в [91] для оценки релевантности в задаче поиска текстов, где каждый текстовый документ представляется как смесь двух Пуассоновских распределений, одно из которых отвечает за распределение обычных слов, другое – за распределение «элитных» слов,т.е., тех, на которых лежит основная смысловая нагрузка в разрезе рассматриваемой тематики.93является простейшим, т.

е. стационарным, ординарным и не имеет последействия. Интенсивность потока событий типасивность потока событий типаравна , причемравна , интен(события типапроисходят гораздо чаще событий типа ).Задача устройства заключается в распознавании наступившего вмомент временисигнала . Если наступило событиеи устройствоего идентифицировало верно, то оно поощряется получением небольшого вознаграждения ; если же произошла ошибка, и событиебы-ло распознано как событие , то устройство будет «оштрафовано» навеличину. Вероятности таких исходов известны и равны, соответственно.

Аналогично, для событий типаи, приправильной идентификации устройством наступившего событиявыигрыш составляет величину , причем, а при неправильной –«проигрыш» составляет – , и. Вероятности этих исходов такжеизвестны и равны, соответственно. После каждогоинаступившего события величина полученного выигрыша/проигрышаприбавляется к предыдущей сумме (Рис. 1).Сколько в среднем будет составлять сумма полученных за времявыигрышей?Рис. 1. Общая схема идентификации случайного событияТакая схема моделирует работу биржевого трейдера, где событияиотражают стабильную экономическую ситуацию и кризисы,94соответственно.

Событие можно интерпретировать как некий сигнал,который поступает трейдеру на бирже о состоянии экономики, о котором он должен решить, что означает этот сигнал – что экономиканаходится в “нормальном режиме”, либо наступает кризис. Например,являются ли сведения о том, что снизились цены на нефть предвестником того, что экономика переживает спад, или это временное явление и на состояние экономики они не повлияют?Величинытакже имеют свое значение в такой интер-претации.

Если наступило событие(экономика стабильна) и трей-дер его правильно распознал, то он принимает «правильное» решениео покупке или продаже ценных бумаг (в том числе на основе подхода,указанного в главе 2), т.е. покупает ценные бумаги, которые вырастутв цене и продает те, которые снизятся в цене. Следовательно, он получает в результате своих действий небольшой доход, который мыобозначим как . Если событиебудет трейдером распознано невер-но, то он примет неверное решение, пересматривая свой инвестиционный портфель (продаст ценные бумаги, стоимости которых затемувеличатся, и приобретет те ценные бумаги, стоимости которых,наоборот, снизятся), и понесет вследствие этого небольшие потери– . Если же наступило событие(кризис) и оно не было распознаноим верно, то трейдер понесет потери, намного большие, чем в случаеневерного распознавания события– сумму –.

Если же онверно определит наступление кризиса, то сможет на этом неплохо заработать – в случае правильной идентификациивеличину. В реальной работе трейдера такие исходы соответ-ствуют открытию длинных и коротких позицийспада.14трейдер получаетсм. Приложение П.1.3.9514в период роста иДлинная позиция принесет трейдеру умеренный доходчительный убытоки зна-, когда рынок растет («регулярное» событие) ипадает («кризис»), соответственно.