Диссертация (Поведенческие модели участников биржи), страница 13

С короткой позицией наоборот: вслучае роста экономики трейдер немного потеряет (величина), нопри сильном падении в кризис сможет заработать значительную сумму .Исходная модель содержит некоторые серьезные допущения – вчастности, насчет вида процессов. Известно, что реальные потокибиржевых событий не являются простейшими. Это скорее кусочностационарные случайные процессы с неизвестными точками переключения.

Стационарность реальных данных индекса S&P500 былапроверена и, действительно, периоды кризиса и периоды спокойствияна рынке показывают стационарность своих временных рядов, однакоговорить о стационарности ряда на длительном временном промежутке неверно. Осознавая такие недостатки нашей модели, будем считатьее первым шагом к изучению реальной работы биржи и основой дляпостроения более изощренных моделей.Случайная величинаигрышей/проигрышейсуммы всех полученных за времявы-является сложной пуассоновской величиной,∑так как число слагаемых в суммеявляется также случай-ной переменной и зависит от потока событий, полученных устройством.Теорема 2.

Ожидаемое значение( ()равно())Доказательство теоремы 2.Так как устройство не знает заранее, событие какого типа поступило в момент времени , то платеж, полученный после распо-знавания события – это случайная величина с дискретным законом96распределения. Учитывая, что потоки -событий и-событий про-стейшие (а следовательно, стационарные), и вероятностизависят от времени, всеинераспределены одинаково по закону распре-деления случайной величины X{Потоки регулярных событийи кризисных -событий являютсяпростейшими, т.е. стационарными, ординарными и не имеют последействия, следовательно, суперпозиция этих потоков есть также простейший поток с интенсивностью.

Тогда вероятность того, чтонеизвестное событие на самом деле является регулярным событием ,равнаи вероятность того, что новое неизвестное событие яв-ляется кризисом, равна. Определим теперь вероятностидля случайной величины одной выплаты:случайная величина(вероятность того, чтопримет значение – ) равна вероятности того,что появилось кризисное событиеровано устройством, т.е.и оно не было верно идентифици. Аналогично можем найти другиевероятности.Пусть( ) – функция распределения выплаты .

Общая суммавыплат, полученных за время , равна∑где все– случайные величины выплат после одного события, име-ющие один и тот же закон распределения случайной величины , и– это число событий, произошедших в течении времени , оно распределено по закону Пуассона с параметром (является простейшим с интенсивностью97) (т.к. поток событий).Такая сумма, состоящая из пуассоновского числагдеислагаемых,независимы в совокупности, называется сложной пуассо-новской случайной величиной. Её распределение задается парой((( )), а явный вид функции распределения получается)применением формулы полной вероятности с гипотезами( )∑( )∑((( )где() (,) )( )( )–()( )-кратная свертка– законс вероятностями (распределения переменной∑(() )( ),функции распределения( ))).Тогда математическое ожидание случайной величины∑равно∑)((( ())))(Теорема доказана.Пусть ожидаемые выигрыши игрока от каждого события изивестны.

При каких условиях наматематическое ожидание( ) будет неотрицательным при заданных остальных параметрах?Учитывая, чтособытия типаи– вероятности неправильно распознатьи , то надо решить систему неравенств98( )[ (())(())]{при условиях на параметрыи(последние два неравенства означают, что одновременноине могут равняться нулю – иначе задача вырождается).Решением будет область значенийи, заданная следующимобразом{(){при(({Пусть))}()()}{при()}{()будет равно 1 (это означает, что трейдер вообще неможет распознать кризис).

Как часто трейдер может ошибаться видентификации регулярных событий, чтобы иметь все же положительный или по крайней мере неотрицательный ожидаемый выигрыш( )?Если взять интенсивности равнымии значениявыигрышей/проигрышей равными, то ответом будетстиНазовем такое значение вероятно-, при котором трейдер имеет нулевой ожидаемый выигрыш приусловии полной неспособности распознавания кризисов (), кри-тическим значением вероятности ошибиться в регулярных событиях.99}3.2 Анализ поведения трейдеров с учетом возможностинаступления биржевых кризисов – модели с обучением и поощрением3.2.1 Модель с поощрениемТак как интенсивность регулярных событийнамного большеинтенсивности редких кризисных событий, то регулярные событиячасто появляются одно за другим и формируют последовательностьтаких «спокойных» событий. Предположим, что устройство может«обучаться» на таких последовательностях и получать выгоду за счетраспознавания подобных периодов.Если событие типабыло распознано устройством правильнораз подряд, то оно получит премию за распознавание событияную(вместов базовой модели).Обозначим черезсобытие, состоящее в том, что трейдер вернораспознал наступление событияделируется функцией опытавремени, рав-(см.

Рис. 2). Накопление опыта мона -м шаге (при получении в момент-го сигнала), т.е случайной величиной, равной количествуподряд произошедших событий типак моменту временистроится следующим образом:{если случилосьесли случилось ̅ (не случилось )Изобразим новую модель графически (Рис. 2).100. ОналиAQли-bcR-dРис. 2. Схема модели с поощрениемТеорема 3. Ожидаемое значение общего выигрыша в модели споощрением равно( )( )((( )) [( ))()(()([(),() [)гдеи( )())(()()() (() ()(()( )()])( )()()( ))])]()) – интенсивность потока неизвестных событий (и ,( )и– случайные величины выигрыша в случаях, законы распределения которых равны, соответственно,{( )}лилилили{лили{( )(}{(()101) )лилилииДоказательство теоремы 3. Пустьсобытия типа , вероятность события– правильное распознаниеравна.

Да-лее в зависимости от предыстории работы устройства (то есть от значения функции опыталибо) выбирается величина выигрыша – либо ,.Функция опытаможет принимать на -м шаге значения от 0 дос определенными вероятностями. Например, вероятностьзначение, равное , равна, для остальных значений(вероятность равна).если{ТогдаПустьпринятьесли– случайная величина выигрыша нам шаге в моде-ли с поощрением. Распределениезависит от номера : дляроятность получить значениеравна нулю, а длявеэта веро-принимает значения –ятность уже ненулевая. Тогдас вероятностямилилили(и() )ли({)лииилилииДля удобства вычислений мы разобьем нашу случайную величину выигрышадля случаяна две составляющие:( )для случаяи( ). Их законы распределения можно получить из законараспределения случайной величиныслучаев:102выбором соответствующих{( )}лилилили{лили{( )(}({(Пусть()ли) )лили) – интенсивность потока событий.

Тогдадля сложной пуассоновской случайной величины суммарного выиг∑рышаимеем∑∑(∑( )|∑)(∑∑( )|(∑( )|))()Сумма разбита на две части, поскольку до -го слагаемого всепредставляют собойется, что( ), а после -го слагаемого –, т.к. случай( ). Предполага-по построению представляет собойосновную модель, в которой выплатазаменяется на.Подсчитаем первую сумму∑(∑( )|)(103( ))∑()Воспользуемся для подсчета последней суммы формулой 5.24.3из [53]:(∑где ()()) – неполная гамма-функция()∫В нашем случае∑()((∑))∑()(())Тогда окончательно первая сумма в выражении для математического ожидания выигрыша выглядит следующим образом∑( )(∑|)( )[(])()Перейдем к подсчету второй суммы∑ (∑(( )) (|∑ (()( )()∑) [)( )( ))]∑()Зная формулу (3.3), можем подсчитать сумму в последнем выражении∑[()([∑(()104)∑)]()]()( )Следовательно, вторая искомая сумма выглядит следующим образом( )∑ (∑|()) (( )()()( ))Остается третья сумма( )∑ (∑|)( )[( )[(( )∑ (∑] ∑(((())] [∑)[( ))()))∑(]()()( ))]Следовательно, математическое ожидание суммарного выигрыша составит( )( )((( ))[()[((∑)()()()))()(()((( )(( )()(( ))()то данную формулу можно представить в виде105)( )С учетом того, что()))])]()( )(( ))[(()())()(()( ))]Последнее слагаемое в этой сумме представляет собой дополнительную прибыль, полученную игроком вследствие введения поощрения за «правильное» поведение.

Теорема доказана.3.2.2 Модель со снижающимся поощрениемТеперь изменим условия модели с поощрением: если событиетипабыло распознано устройством правильнораз подряд, то онопоощряется увеличением премии за распознавание события, но этапремия снижается с ростом числа правильно распознанных регулярных событий (Рис. 3). То есть прибавка к выигрышу есть функция отзначения функции опыта– представим ее в виде степенной функ-цииотвечает за дисконт выигрыша, степень, параметрвсегда неотрицательна. Здесьона строится также как раньше,ние события типа– функция опыта на -м шаге,– выигрыш за правильное распозна-, это тоже случайная величина, зависящая отфункции опыта.лиAQли-bcR-dРис.

3. Схема модели со снижающимся поощрениемТеорема 4. Ожидаемый выигрыш в модели со снижающимсяпоощрением равен106( )[()[((()(() [()( )Если выбрать]))(()()()()( ))]()(( )))]что соответствует модели с постояннойприбавкой , то математическое ожидание будет равно( )(( ))[(()())(()()( ))]как и в формуле (3.1).Доказательство теоремы 4. Математическое ожидание суммарного выигрыша в общем виде выражается той же формулой (3.2), чтои для предыдущего случая, разница лишь в вычислении последнейсуммы из трех∑∑(∑( )|(∑( )|))∑(∑( )|Для начала рассмотрим случайную величинусвязь с), учитывая ее(Табл. 4):Табл.

4. Закон распределения выигрыша за корректную идентификацию регулярного события……()()Математическое ожидание()равно107…()(())(∑())((()((()()( ))()))()())()Теперь можем найти математическое ожидание выигрыша[( )](( )[(])(()()()))()Далее найдем внутреннюю сумму:[∑( )(])( [(( ))(](())))Теперь мы можем вычислить третью сумму в (3.2)∑ (∑∑ [()( [( [( )]( )( )(]|())(())()) [(())(( )108())]()()]))()(() [()( ))(())((( )))]Окончательно математическое ожидание итогового выигрышаравно[(()[) [(( )(()(()( )]))(())()()()( )((( ))]))]Теорема доказана.3.2.3 Модель с обучениемПостроим другую модель – теперь устройство будет обучатьсяна своих действиях: если событие типаством правильнораз подряд (то естьоно будет распознавать события, причембыло распознано устройраз получен выигрыш ), топравильно с большей вероятностью.Построим схему для новой модели (Рис.

4).лилиРис. 4. Схема модели с обучением109Здесь– функция опыта на -м шаге, т.е. случайная величина,равная количеству подряд правильно распознанных событий типа.Она строится почти так же, как и в предыдущем разделе, за исключением того, что основанием для изменения функции является наступление события, то есть наше устройство верно идентифициро-вало событие типа{если случилосьесли случилось ̅ (не случилось )Нам необходимо знать вероятностиискольку случайная величина единичного выигрышачения –, попринимает зна-с вероятностямилилили{лиТеорема 5. 1) Вероятность()∑ {равна}(2) Последовательность)(() )сходится и предел последова-тельности равен(()()() )()(Доказательство теоремы 5.1) Посколькуилиилиилито распишем каждое из слагаемых.110или() )– это вероятность функции опыта на -м шаге принятьзначение 0, то есть устройство неверно распознало событиеилинаступило событие . Следовательно,илиили– это вероятность функции опыта на -м шаге принятьзначение 1, то есть устройство верно распознало событие , причем зашаг до этого ошиблось.

По сути, эта последовательность соответствует тому, что, а затем наступило событиедит с вероятностью(что происхо-). Следовательно,[]()Аналогично можем найти каждое из слагаемых,…,[[,. Например,{(})]]()Теперь подсчитаем сумму, зная все слагаемые и подставив{}∑[({{}:})∑ {({}(})]()()∑() ∑())Последняя сумма представляет собой геометрическую прогрессию, а, значит, окончательный ответ выглядит так111()∑ {}()()()Учитывая имеющиеся соотношения между вероятностями, можем переписать знаменатель последнего слагаемого таким образомТогда окончательно вероятность)∑ {(2) Пусть(,наших обозначений}(),((равна())(),) )() ) ((, причем с учетом)(. Тогда уравнение (3.6) примет)вид∑или()Так как всеявляются вероятностями и, то последовательностьограничена сверху и снизу.Эта последовательность является невозрастающей, докажем этопо индукции. Первые, т.к.членов равны 1 по условию:и приСначала докажем, чтопо построению..()(())112()(())Пусть теперь неравенство верно длятельности:-го члена последова-и всех предыдущих.