Диссертация (Поведенческие модели участников биржи), страница 11

Рассмотрим виды ценных бумаг, образующих множествомоментв(по которым трейдер не может определить направление из-менения стоимостей). Поскольку стоимости ценных бумаг из множествав моментмогут принимать любые значения (как большетекущих стоимостей, так и меньше), то наилучшей стратегиейдля трейдера является выбор объемов ценных бумаг, которые определяются из решения задач〈〉〈〉ипричем рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным в п.1и п.2 доказательства, позволяют записать выражение для математического ожидания финансового результата выбора трейдером оптимальныхобъемовценных| |〈множестваи(бумагизмножества), трейдер максимизирует за счет выбора вектора((| |〈[| |виде〉, которое (как и в случае бумаг из), т.е.

решает задачу отысканиягдев())| |()| |(73)и)〉]| |( ) – диагональная матрица размера, у которойвсе элементы главной диагонали равны ,| |() – матрица размераединением матрицы| |, образованная присо| |( ) к матрице( ) справа.4. Поскольку финансовые результаты выбора трейдером объемов ценных бумаг из множестви,являются случайными ве-личинами (поскольку трейдер верно определяет стоимости ценныхбумаг в моментлишь с некоторыми вероятностями), то матема-тическое ожидание суммарного финансового результата являетсясуммой указанных выше трех математических ожиданий.(Пусть) принадлежит выпуклому многограннику(и) принадлежит выпук-лому многограннику, а матрицасостав-лена следующим образом||()()| |(||()||(()))()()| |(а выпуклые многогранникии( )| |( )являются множествами допу-стимых решений некоторой совместной системы линейных неравенств,так),что.74)Тогда при каждом выборе трейдером вектораиз множества, математическое ожидание суммарного финансового результата отрешения трейдера составит〈〉Естественно считать наилучшим решением такое, при которомдостигается〈[〉]()и значение этого максимина достигается в седловой точке игры двухлиц на выпуклых многогранниках〈ис платежной функцией〉Пусть()()Тогда оптимальные значения векторов ( ) и (ющие седловую точку функции (2.4) на) , образу-находятся как ре-шения задач линейного программирования, образующих двойственную пару〈〈Если (( ) (〉〉(() () ()) ) – решение пары задач линейного програм-мирования, то значения векторов ((()), () и () , где ( )) ), полностью определяются значениями компонентвектора ( ) [4].

Теорема доказана.Замечание 1. Если трейдер оценивает гарантированный выигрыш указанным способом при наличии в момент временинекоторо-го портфеля ценных бумаг (т.е. имея ценные бумаги из множествив объемах()75,), то соответствующую игруможно сформулировать как игру на выпуклых многогранниках) итежной функцией 〈с пла〉〈〉, где)((фиксированный вектор, равный– некоторый)(). Как показано в [4], седловая точка в такой игренаходится из решения задач линейного программирования〈〈(где(〉〉(〈)〉()),), образующих двой-ственную пару.Пример 1.Пусть на некоторой бирже торгуются две ценные бумагистоимостьюив данный момент.Пусть трейдер считает, что ценная бумага 1 вырастет в цене кмоменту времени, а ценная бумага 2, наоборот, упадет в цене кмоменту времени. Следовательно,,и.Трейдер оценил вероятности принятия им верных решений по каждойценной бумаге и.Пусть также у трейдера в момент времениных бумаг (нет портфеля цен-), есть начальный капитал в размереи брокер готов при необходимости предоставить в долг трейдеру ценные бумаги для открытия короткой позиции под залог капитала с кредитным плечом.76Допустимыми стратегиями трейдера являются векторы ()объемов покупки ценной бумаги 1 и продажи ценной бумаги 2, удовлетворяющие следующим неравенствам:1) условие неотрицательности объемов совершаемых сделок:2) условие открытия короткой позиции по ценной бумаге 2 насумму, не превышающую доступный капитал с учетом кредитования:3) условие покупки ценной бумаги 1 на сумму, не превышающую начальный капитал и средства, полученные при продаже заемных ценных бумаг:.Следовательно,множестводоступныхстратегий) задается с помощью матриц()()(Стратегиями биржи являются векторыстоимостей ценных бумаг 1 и 2 в момент временистоимости ценных бумаг 1 и 2 в момент времени)((), где–, если трейдерверно определил направления изменения их стоимостей, истоимости ценных бумаг 1 и 2 в момент времени)–, если трейдерневерно определил направления изменения их стоимостей.Пусть далее трейдер оценивает максимальные и минимальныеожидаемые им стоимости ценных бумаг 1 и 2 в момент временисоответственно, и,,, ивыставляет стоп-заявки по указанным границам для недопущения потерь в случае падения стоимостей ценных бумаг ниже уровняслучае роста цен выше уровняив, соответственно.

Тогда множество77допустимых стратегий биржиможетбыть описано с помощью неравенствили в матричном виде с помощью()()()Платежная функция для игры из теоремы 1 записывается в виде〈〉, где()()Тогда пара двойственных задач линейного программированиядля нахождения решения такой игры записывается в виде()(2.5)̅̅̅̅78и()(2.6)̅̅̅̅Решения задач линейного программирования (2.5) и (2.6) найдены с помощью программы11, реализованной в среде Maple 7:,для задачи,, и,,,для задачи 2.4. Таким обра-зом, трейдеру нужно продать 100 единиц ценной бумаги 2 (взятыхвзаймы у брокера) и купить 150 единиц ценной бумаги 1.Пример 2.Пусть на некоторой бирже торгуются 6 ценных бумаг стоимостью 50,90,10,22,49 и 50 у.е.

в данный момент.Пусть трейдер считает, что ценные бумаги 1 и 2 вырастут в ценек моменту времени, ценные бумаги 3 и 4, наоборот, упадут вцене к моменту времени. Следовательно,,и. Трейдер оценил вероятности принятия им верных решенийпо каждой ценной бумаге и.Пусть также у трейдера в момент времениных бумаг в объеме,есть наличные средства в размере11есть портфель цен-см.

Приложение П.2.79и брокер готов принеобходимости предоставить в долг трейдеру ценные бумаги для открытия короткой позиции под залог капитала с кредитным плечом. Пусть также, как и в примере 1, трейдер оценивает максимальные и минимальные ожидаемые им стоимости ценных бумаг вмомент времени:Номер ценной бумаги123 4 5 650 90 10 22 49 50Текущая стоимостьМинимальная прогнозируемая стоимость40 75 8 18 42 30ценной бумаги на моментМаксимальная прогнозируемая стоимость60 120 13 25 53 70ценной бумаги на моментЕсли трейдер использует неравенства, аналогичные неравенствам из примера 1, для описания множества доступных ему страте)гийи множества доступных стратегийбиржи, то решения двойственных за-дач 1 и 2, построенных по данным примера 2, выглядят, соответственно,,,и,,,,Следовательно, оптимальная стратегия трейдера будет состоятьв покупке 60 акций первой ценной бумаги и продаже 200 акций ценной бумаги 3.80Текст программы для Maple 7, реализующей решение парыдвойственных задач линейного программирования из теоремы 2 длядопустимых множеств стратегий игроков, аналогичных приведеннымв примерах 1 и 2, приведен в Приложении П.2.2.4.

Учет торговли производными финансовыми инструментами в задаче поиска оптимальной стратегии инвестирования трейдераВ сформулированных в разделах 2.2 и 2.3 данной главы задачахотыскания наилучшего гарантированного результата трейдера и стратегий взаимодействия трейдера с биржей предполагалось, что портфель трейдера не содержит производных финансовых инструментов(фьючерсов и опционов12). Укажем теперь возможность учета торговли трейдером производными финансовыми инструментами в моделяхглавы 2. Реализация учета такой возможности приводит к решениюматематических задач той же самой структуры, что в задачах (2.3) и(2.4), рассмотренных в разделах 2.2 и 2.3, и отличающихся от нихлишь учетом в формулировках задач математических соотношений,описывающих закономерности формированиярыночныхцен нафьючерсы и опционы.Трейдер, купивший в момент временистьюна поставку в моментценной бумаги (базового актива) вобъеме по цене исполнения (страйку)(временифьючерсов стоимо-, получит доход в размере), если цена базового актива в моментпревысит(, и, наоборот, убыток в размере), если цена опустится ниже.

Ана-логично с фьючерсом на продажу: доход/убыток при покупке такого12см. Приложение П.1.3.81(фьючерса равны). До момента истеченияфьючерса его можно продать как ценную бумагу стоимостьюТрейдер, купивший в момент временистьюна покупку в моментцене.опционов стоимо-биржевого товара в объеме по, получит доход в размере({() лии ач({) }),поскольку если цена базового актива превысит страйк опционато его выгодно предъявить к исполнению и получить,() дохода, а если цена на базовый актив опустится нижестрайка и опцион станет невыгодно предъявлять к исполнению, тоубыток составит. Аналогично с опционом на продажу. Домомента истечения опциона его также можно продать как ценную бумагу стоимостью.Для упрощения записи будем рассматривать далее только опционы и фьючерсы на покупку.Введем следующие обозначения:– множество фьючерсов с датой истечениядер решил купить и продать в момент времени, которые трейсоответственно (домомента истечения фьючерса его можно продать как ценную бумагустоимостью, поэтому если трейдер покупает/продает такой фью-черс, то мы учитываем его в множестве);– множество опционов с датой истечениядер решил купить и продать в момент времени, которые трейсоответственно (домомента истечения опциона его можно продать как ценную бумагустоимостью, поэтому если трейдер покупает/продает такой опци-он, то мы учитываем его в множестве82);– вероятность того, что трейдер верно распределит соответствующие производные ценные бумаги по множествамии,Тогда к приросту стоимости портфеля в формуле (2.2) добавятсядва слагаемых и целевая функция трейдера примет вид:∑()∑()(∑∑где∑())(∑)(())[()]()– индикаторная величина, отражающая получение или непо-лучение трейдером дохода от реализации опциона,{лии ачСлучайные величинывероятностямиисвязаны сследующим образом:10где{лиииди ачи83д я лилиДля фьючерсов и опцитонов трейдеру следует далее оценитьграницы изменения стоимости базового актива [[] и], соответственно, в которых, по его мнению, будут изме-няться стоимости ценных бумаги,и оценить математическое ожидание будущей стоимости базового актива.

Если считать, что трейдер не выдвигает дополнительных соображений, кроме вышеуказанных, относительно будущих стоимостейи, то, аналогично подходу из параграфа 2.2, можно оце-нить математическое ожидание доходов трейдера от торговли производными финансовыми инструментами:а) от покупки фьючерса из множества[(](в виде[])[])(б) от покупки фьючерса из множества[(](])])(в) от покупки фьючерса из множества([](])в виде[[[[[])в виде[])])([])Аналогично, для опционов финансовые результаты покупки опционов из множествa)равны соответственно{(([84]))}{(([]{(([{б){]{)])))}])(([{в)(([(([)})})}]]{)}](([(([{))))})}(([]))}Далее трейдер формирует задачу поиска максимума математического ожидания функции (2.7) при ограничениях, аналогичныхограничениям задачи (2.3), в которой слагаемые из последних двухсумм находятся по вышеописанным формулам:∑∑(()∑()())(∑)()∑∑∑∑[]∑[85]∑(∑∑∑∑∑∑∑)[][∑∑]∑[∑∑(∑)],Такая задача вновь является задачей линейного программирования.Модифицируем теперь модель из раздела 2.3 для учета возможности включать в портфель фьючерсы.