Диссертация (Поведенческие модели участников биржи), страница 14

Возьмеми докажем, что. Оценим разность двух членов последовательности:()()(()()())(()()())((()(())(()учитывая, что))()иТаким образом,).– последовательностьявляетсямонотонной (невозрастающей). По признаку сходимости монотоннойпоследовательности если невозрастающая последовательность ограничена снизу, то она сходится, следовательно, у нашей последовательностисуществует предел.Тогда при[∑]∑откуда()()Или возвращаясь к нашим обозначениям:113()((()) )()() )(Теорема доказана.Теорема 6. Математическое ожидание суммарного выигрыша вмодели с обучением равно( )((( )( ))[(∑()[)(()(()()))()(()( ))()]()( ))]где{( )}{лилилилили{( )}лили{лиДоказательство этой теоремы повторяет вывод формулы (3.5) вдоказательстве теоремы 3.3.3 Численные расчеты по моделям с учетом возможностинаступления биржевых кризисов3.3.1 Оценки параметров для модели из раздела 3.1Попробуем теперь оценить параметры модели, прежде всего,интенсивности потоков этих событий.

Параметрыи , по сути, пока-затели состояния экономики, поэтому для их оценки возьмем фондо114вый индекс15 S&P 500 и будем использовать временной ряд доходности этого фондового индекса. Временной интервал возьмем равный 10годам – с 1999 по 2009гг16. В качестве значения индекса за день возьмем среднее арифметическое от значения открытия и закрытия.Чтобы понять, когда наступают проблемы в экономике и начинается спад, построим значения волатильности индекса со скользящим интервалом в 20 дней, т.е.

для каждого дня возьмем предыдущие20 значений индексаи подсчитаем стандартное отклонение от вы-борочного среднего ̅ для этой выборки√̅)∑ (Примем в качестве ориентира, что если значение волатильностипревышает 6%, то это означает наступление событие типа , т.е. кризис. На рисунке (Рис. 5) видно, что высокие значения волатильностисоответствуют падению индекса.Рис. 5.

Индекс S&P500 и его волатильность1516см. Приложение П.1.4.с августа 1999 до декабря 2009 г.115Для этих данных (с августа 1999г. по декабрь 2009г.) количествопревышений 6% барьера составляет 42 из 2645 значений (1.6%), т.е.за год (берем среднее число рабочих дней в году – 250 рабочихдней), аза год.Таким образом, по нашей оценке за год в среднем бывает 246“спокойных дней” и 4 дня, характеризующихся высокой волатильностью и падением индекса.

Для барьера в 10% соответствующие оценки равняются 249 и 1, соответственно.Для анализа на стационарность выбирались периоды, соответствующие только регулярным или только кризисным дням; для проверки использовался тест Дики-Фуллера на наличие единичного корняи анализ автокорреляционной и частной автокорреляционной функции [105]. Ряды, как правило, являются стационарными как на небольших выборках (порядка 10-20 точек), так и в течение длительногопериода (несколько лет) событий только одного типа.Теперь оценим величины отдельных выигрышей/проигрышей.

Вточках, соответствующих событию(что определяется по значениюволатильности индекса – она должна быть меньше порогового значения для события ), оценими . Если в этот момент индекс возрас-тает, значит, реализовалось событие , а если убывает – то – . Аналогично с событиями типа, которые мы определили как превышениеволатильности над пороговым значением: если значение индекса увеличилось по сравнению с предыдущим значением, то изменение считаем за величину, если значение индекса уменьшилось, то этоуменьшение обозначим как.

В полученных выборках подсчитаемсреднее и примем их за оценки соответствующих величин выигрышей/проигрышей.В Табл. 5 приведены значения параметров модели для пороговых значений 6% и 10%.116Табл. 5. Оценка параметров модели для индекса S&P500Индекс S&P500август 1999-декабрь 2009 (2664 наблюдения)Пороговое значениеволатильности6%246 4 7 -8 24 -2610%249 1 7 -8 35 -29Для таких оценок параметров можно посмотреть, какими должны быть вероятности ошибиться при идентификации, так чтобы ожидаемый выигрыш трейдера был неотрицательным. Для порога 6% область параметрови, при которых трейдер получает неотрица-тельный суммарный выигрыш от торговли на бирже, выглядит так,как показано на Рис.

6 (заштрихованная область).q210.500.5Рис. 6. Область параметров1 q1, дающих неотрицательный ожидаемый выигрыш.Как видно, вероятность ошибиться при распознавании частыхсобытий оказывает несравненно более сильное влияние на ожидаемыйвыигрыш, что неудивительно при таких значениях остальных параметров. Фактически, достаточно распознавать события типав поло-вине случаев для обеспечения положительного результата всей игры.Это главный вывод данной модели – для того, чтобы «быть в плюсе»,нужно уметь идентифицировать верно регулярные события, даже еслиигрок не в состоянии понять, когда наступает кризис.Действительно, если выбрать горизонт в 1 год и вероятностьошибок для событийиравными117(т.е. кризисыраспознавать не удается) ожидаемый доход будет неотрицателен.Естественно, ожидаемый доход будет увеличиваться с уменьшениеми.Рассчитаем такие же показатели и для других индексов –французского CAC 40, немецкого DAX, японского Nikkei 225 и гонконгского Hang Seng.

Возьмем порог превышения в 6% и сравнимзначения параметров, полученных для каждого из индексов (Табл. 6).Табл. 6. Оценки параметров для всех фондовых индексовСводные оценки параметров индексов (относительные изменения)для 6-процентного порога, %ИндексS&P 50024640,6-0,62,8-2,9Dow Jones24640,6-0,61,9-2,4CAC 4024370,8-0,83,0-2,5DAX239110,8-0,92,1-2,5Nikkei 22524550,8-0,92,6-3,2Hang Seng24190,9-0,92,6-3,0Видно, что в процентном соотношении оценки параметров дляиндексов примерно равны – в спокойный период индекс колеблется сразмахом в 0,6-0,9%, в кризисное время амплитуда увеличиваетсяприблизительно в 4 раза.Необходимо отметить, что использовались дневные данные,которые отражают изменение индекса в процентах к уровню предыдущего дня, а не скачки индекса за один день в ходе торгов.

Подобныеизменения могут быть значительнее, например, 17 апреля 2000 годаразность между наивысшим и наиболее низким значением индексаяпонского Nikkei 225 составила почти 100 пунктов (приблизительно10 %). Однако по сравнению со значением Nikkei за предыдущий день16 апреля падение составило всего 3,8%.Применяя наши модели для исследования индексов, мы поступаем так, словно игрок вкладывает деньги в акции всех компаний из118списка S&P 500 в равных пропорциях.

Однако можно взять данныеконкретных компаний и рассчитать каков будет выигрыш игрока привложениях в акции определенной компании.Мы выбрали 10 топовых компаний США (по капитализации):1) The Exxon Mobil Corporation, или ExxonMobil –крупнейшаячастная нефтяная компания в мире, одна из крупнейших корпораций вмире по размеру рыночной капитализации;2) Microsoft Corporation – одна из крупнейших транснациональных компаний по производству программного обеспечения для персональных компьютеров, игровых приставок, мобильных телефонов ипроч., разработчик семейства операционных систем Windows;3) The General Electric Company –многоотраслевая корпорация,производитель многих видов техники, включая локомотивы, энергетические установки, газовые турбины, авиационные двигатели, медицинское оборудование, осветительную технику, пластмассы и герметики;4) JPMorgan Chase & Co. – одна из старейших и самых влиятельных финансовых компаний на планете, один из лидеров в банковской и инвестиционной сфере;5) Procter & Gamble Co.

– крупный производитель косметических средств, бытовой химии, бытовой техники, продуктов питания, ипроч.;6) Johnson & Johnson –крупный производитель лекарств, товаровпо уходу за телом и медицинского оборудования;7) Apple Inc. – крупный производитель персональных и планшетных компьютеров, аудиоплееров, телефонов, программного обеспечения;1198) AT&T Inc. – одна из крупнейших американских телекоммуникационных компаний, поставщик телефонной связи в США, и одиниз крупнейших провайдеров беспроводных услуг в США;9) International Business Machines (IBM) – транснациональнаякорпорация, один из крупнейших в мире производителей и поставщиков аппаратного и программного обеспечения, ИТ-сервисов, консалтинговых услуг;10) Bank of America Corporation – крупнейшая банковская холдинговая компания в США по числу активов.Событияиопределим по данным S&P 500 так же, как в ис-следовании базовой модели, а затем подсчитаем выплатыдлявсех 10 компаний: если цена акции идет вверх/вниз, а волатильностьиндекса S&P 500 меньше 6%, то реализовалось; и если цена акциикомпании идет вверх/вниз при том, что волатильность S&P 500 выше6 %, то это означает реализацию выплат.Оценки параметров приведены в Табл.

7. Первая строка соответствует оценкам по индексу S&P 500. Можно отметить, что все выбранные компании имеют параметры, превышающие параметрысредних рыночных оценок по S&P 500 для регулярных событий, причем некоторые имеют большие оценки также и для кризисных событий.Табл. 7.

Оценки параметров для 10 компаний (порог 6%, =246, =4)12345678КомпанияФондовый индекс S&P500Exxon Mobil CorporationMicrosoft CorporationGeneral Electric CompanyJPMorgan Chase & Co.Proctor&Gamble Co.Johnson&JohnsonApple Inc.AT&T Inc.0,610,841,141,121,400,730,731,761,07120-0,64-0,92-1,09-1,11-1,34-0,74-0,72-1,64-1,042,813,063,035,027,302,272,433,433,52-2,93-3,82-3,28-3,57-5,03-2,12-2,32-2,83-2,959 International Business Machines (IBM)10 Bank of America Corporation1,001,35-0,95-1,362,487,98-2,81-5,79Волатильность не является, конечно, единственным показателем поведения рынка и сигналом кризисных явлений.

При оценке волатильности естественным образом встает вопрос о расчетном периоде. Уменьшение периода обеспечивает рост вероятности ошибки воценке волатильности, поскольку она сама приобретет повышеннуюизменчивость. Удлинение периода снизит ее, но обусловит рост вероятности получения запоздалых сведений о рынке. Возможно, это присутствует и в наших расчетах, т.к.