Диссертация (Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы), страница 10

ÏðîñòðàíñòâîRH1,(2,2,2,2)èìååò ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâàìíîãîîáðàçèÿ, èçîìîðôíóþ ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðå òåîðèè ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàP12,2,2,2 .1. Ïðîñòðàíñòâî ðàçâåòâëåííûõ íàêðûòèéÐàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî ìåðîìîðôíûõ ôóíêöèéλC→− P1íà êîìïàêòíîé Ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè÷èñåëCðîäàg.Ôèêñèðóåì ïîðÿäêè ïîëþñîâλíàáîðîìk := {k1 , . .

. , km }:λ−1 (∞) = {∞1 , . . . , ∞m },òàê ÷òî ëîêàëüíî â∞pìû èìååì∞p ∈ C,λ(z) = z kp .Òàêèå ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè îïðåäåëÿþò ðàçâåòâëåííûå íàêðûòèÿñ âåòâëåíèåìkíàì∞.Ìû òàêæå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî59λP1ïîâåðõíîñòüþCèìååò òîëüêî ëèøü ïðîñòûå òî÷êèâåòâëåíèÿ âPq ∈ P1 \{0}.N =Ñòåïåíü ðàçâåòâëåííîãî íàêðûòèÿ ðàâíànôîðìóëó ÐèìàíàÃóðâèöà ðàçìåðíîñòüPkp .Ïðèìåíÿÿïðîñòðàíñòâà òàêèõ ôóíêöèé ðàâíà:mXn = 2g − 2 +kp + m,p=1÷òî ñîâïàäàåò â òî÷íîñòè ñ êîëè÷åñòâîì òî÷åê ïðîñòîãî âåòâëåíèÿ.

Ãëàäêàÿ ÷àñòü ãóðâèö-λôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ ïàðàìåòðèçóåòñÿ çíà÷åíèÿìè ôóíêöèèâåòâëåíèÿ:(λ(P1 ), . . . , λ(Pn )).Îïðåäåëåíèå. Äâå ïàðûψ ◦ λ2(C1 , λ1 )(C2 , λ2 )èíàçîâåì ãóðâèöýêâèâàëåíòíûìè, åñëèäëÿ íåêîòîðîãî àíàëèòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿÂâ òî÷êàõ ïðîñòîãîäàëüíåéøåììûáóäåìðàññìàòðèâàòüλ1 =ψ : C1 → C2 .ïàðû(C, λ)ñòî÷íîñòüþïîãóðâèöýêâèâàëåíòíîñòè.Îïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëèììîäóëåé ïàð(C, λ)ãóðâèö-ôðîáåíèóñàìíîãîîáðàçèåêàêïðîñòðàíñòâîñî ñëåäóþùåé äîïîëíèòåëüíîé ñòðóêòóðîé:• {a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg }• {w1 , . . . , wn } ñèìïëåêòè÷åñêèé áàçèñ óíèôîðìèçóþùèé ïàðàìåòðwpkp (z) = λ(z),1.1. ÑòðóêòóðàôðîáåíèóñîâàλC.H2 (C),â òî÷êå∞iz ∈ U (∞p ).ìíîãîîáðàçèÿîïðåäåëèì ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ íàïåðâîãî ðîäà íàHg;kíàHg;k .Îïðåäåëèì ìíîãîçíà÷íóþ êîîðäèíàòóHg;k .φÏóñòüv(P )ÑëåäóÿíàÄóáðîâèíó äèôôåðåíöèàëCêàê ñëåäóþùóþôóíêöèþ:ZPv(P ) =(7.3)φ.∞1Òåîðåìà7.2(Òåîðåìà5.1â[11]).ÑëåäóþùèåôóíêöèèÿâëÿþòñÿïëîñêèìèHg,k :êîîðäèíàòàìè íàtp;a := res∞p (wp )−a vdλ,Z ∞rvr :=φ, Vr := −res∞r λφ,m ≥ p ≥ 1, kp > a ≥ 1,m ≥ r > 1,∞1IBq :=Iφ,Cq :=bqÏóñòü âåêòîðà∂•ñîñòàâëÿþò áàçèñêîîðäèíàòàì.

Áóäåì òàêæå ïèñàòüc(·, ·, ·)è ñïàðèâàíèÿg ≥ q ≥ 1.λφ.aqT Hg,k ,λ0 := ∂v λ.ñîîòâåòñòâóþùèé ââåäåííûì âûøå ïëîñêèìÎïðåäåëèì ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû óìíîæåíèÿη(·, ·):60∂k λ∂l λdv,λ0X∂k λ∂l λ∂m λdvc(∂k , ∂l , ∂m ) :=resλ0 =0.λ0η(∂k , ∂l ) :=(7.4)Xresλ0 =0Òåîðåìà Äóáðîâèíà óòâåðæäàåò, ÷òî ââåäåííûå òàêèì îáðàçîì óìíîæåíèå è ñïàðèâàíèåîïðåäåëÿþò ñòðóêòóðó ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ íàHg;k .Ïðè÷åì ââåäåííûå âûøåêîîðäèíàòû ÿâëÿþòñÿ ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìè ýòîãî ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ. Òî åñòü,â ýòèõ êîîðäèíàòàõ âûïîëíåíî:ñëåäóþùèå êîìïîíåíòûηηtp;a ,tq;b =ÔóíêöèÿFH,∂k ηlm = 0.Äëÿ âûáðàííûõ âûøå ïëîñêèõ êîîðäèíàò òîëüêîÿâëÿþòñÿ íåíóëåâûìè:1δp,q δa+b,kp ,kpηvp ,Vq =1δp,q ,kpηBp ,Cq =1√2π −1δp,q .íàçûâàåìàÿ ôðîáåíèóñîâûì (èëè WDVV) ïîòåíöèàëîì,îïðåäåëÿåòñÿóðàâíåíèåì:∂k ∂l ∂m F H = c(∂k , ∂l , ∂m ).Èçîïðåäåëåíèÿî÷åâèäíî,÷òîââåäåííîåòàêèìàññîöèàòèâíî.

Èç âòîðîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, ÷òîFHîáðàçîìóìíîæåíèåêîììóòàòèâíîèÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ WDVV(2.1). äàëüíåéøåì íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòüñÿ òîëüêî ñòðóêòóðà àëãåáðû, çàäàâàåìàÿ ôóíêöèåéFH.Ââèäó ýòîãî ìû áóäåò ðàññìàòðèâàòü ýòó ôóíêöèþ ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìûõ âòîðîãîïîðÿäêà ïî ïëîñêèì êîîðäèíàòàì.2. Ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè è òåòàêîíñòàíòûÄëÿ öåëîñòíîñòè èçëîæåíèÿ ìàòåðèàëà è ôèêñèðîâàíèÿ îáîçíà÷åíèé ïðèâåäåì êðàòêîïðèìåíÿåìûå â äàëüíåéøåì ñâåäåíèÿ îá ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ.2.1. Ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè.Îáîçíà÷èì ÷åðåçDÎïðåäåëåíèå.Ðàññìîòðèì ðåøåòêóΛ = 2ω1 Z + 2ω2 Zñω2 /ω1 ∈ H.åå ôóíäàìåíòàëüíóþ îáëàñòü.Ìåðîìîðôíàÿîòíîøåíèþ ê ðåøåòêåΛ)ôóíêöèÿfíàCíàçûâàåòñÿýëëèïòè÷åñêîéåñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ ïåðèîäè÷íîñòè:f (z + 2ω1 ) = f (z),f (z + 2ω2 ) = f (z),∀z ∈ C.Ïðèìåðîì òàêèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Âåéåðøòðàññà:X 111℘ (z; 2ω1 , 2ω2 ) := 2 +.2 − 2zω(z−ω)ω∈Λ\{0}61(ïîÂàæíî çàìåòèòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè Âåéåðøòðàññà℘0òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîéôóíêöèåé ïî îòíîøåíèþ ê òîé æå ðåøåòêå.ÏðåäëîæåíèåêðèâîéE = C/Λ7.3.

Ïðîñòðàíñòâî âñåõ ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé íà ýëëèïòè÷åñêîéïîðîæäåíî ôóíêöèÿìè℘è℘0 :M(E) = C(℘, ℘0 ). äàëüíåéøåì íàì áóäåò óäîáíî ðàáîòàòü ñ ôóíêöèÿìèz,℘è℘0 ,ðàçëîæåííûìè â ðÿä ïîτ := ω2 /ω1 :êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò11g2 (τ )z 2 + g3 (τ )z 4 + O(z 6 ),202824℘0 (z, τ ) := −2z −3 + g2 (τ )z + g3 (τ )z 3 + O(z 5 ),2028℘(z, τ ) := z −2 +ãäåg2 (τ ), g3 (τ )èçâåñòíû ïîä íàçâàíèåì ìîäóëÿðíûõ èíâàðèàíòîâ ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé.Ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ îïðåäåëåíèÿìè ôóíêöèè(7.5)℘çàäàíà ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì:2(2ω1 ) ℘(z; 2ω1 , 2ω2 ) = ℘z;τ2ω1.Äðóãèì âàæíûì ñâîéñòâîì ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå:Ïðåäëîæåíèå 7.4. Ïóñòüf (z) ýëëèïòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ñóììà âû÷åòîâ ååïîëþñîâ â ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòèDXðåøåòêèΛðàâíà íóëþ:resz=a f (z)dz = 0.a∈DÎïðåäåëåíèå.

Çåòàôóíêöèÿ Âåéåðøòðàññà îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì:X 111zζ(z; 2ω1 , 2ω2 ) = ++ +.zz − w w w2w∈Λ\{0}Îñíîâíûì ñâîéñòâîì çåòàôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå:−ζ 0 (z; 2ω1 , 2ω2 ) = ℘(z; 2ω1 , 2ω2 ).Çàìåòèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ïî îòíîøåíèþ êÎïðåäåëåíèå.

Êâàçèïåðèîäû2ηkîïðåäåëèì ðàâåíñòâîì:2ηk = ζ(2ωk + z) − ζ(z),∀z ∈ C.Ñâÿçü ìåæäó ïåðèîäàìè è êâàçèïåðèîäàìè ðåøåòêèËåæàíäðà:Λ.√π −1.η1 ω2 − η2 ω1 =262Λóñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâåíñòâîì2.2. Òåòàêîíñòàíòû è ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè.çíà÷åíèÿ ôóíêöèè℘(v, τ ) äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿâ ñåðåäèííûõ òî÷êàõ ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà, îáðàçîâàííîãîïåðèîäàìè ðåøåòêè.Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü℘(z) = ℘(z; 2ω1 , 2ω2 ).Êîìïëåêñíûå÷èñëàe1 , e2 , e3 ∈ Cîïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:e1 := ℘(ω1 ),e2 := ℘(−ω1 − ω2 ),e3 := ℘(ω2 ).Õîðîøî èçâåñòíûì ôàêòîì îá ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå.Ïðåäëîæåíèå 7.5. Òî÷êè℘0 (z)èω1 + ω2ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè íóëÿìè ôóíêöèèâ ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòè.×èñëà6]ω1 , ω2ei ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç òåòàêîíñòàíòû ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì.

[29, Ãëàâà1):ϑ0021 ϑ0001−,3 ϑ01ϑ2ϑ0031 ϑ0001−,e2 =3 ϑ01ϑ31 ϑ000ϑ0041e3 =−.3 ϑ01ϑ4e1 =Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ìû èìååì::√ ∂τ ϑp√ϑ00p= 4π −1= 2π −1Xp .ϑpϑpÒàêæå âåðíî ðàâåíñòâî:η1 ω1 = −1 ϑ0001.12 ϑ01Âàæíûì ñâîéñòâîì ïðîèçâîäíûõ òåòàêîíñòàíò ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:ϑ000ϑ00 ϑ00 ϑ001= 2 + 3 + 4.ϑ1ϑ2 ϑ3 ϑ4Âìåñòå ñ óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè ìû ïîëó÷àåì:√√441 X ϑ00pπ −1 X ∞π −1 ∞ω1 η1 = −=−X =−γ (τ ).12 p=2 ϑp6 p=2 p43. Ãóðâèöôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå H1,(2,2,2,2)Ãóðâèöôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåλ : E → P1H1,(2,2,2,2)íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéïàðàìåòðèçóåò ìåðîìîðôíûå ôóíêöèèE = C/(2ω1 Z + 2ω2 Z),îñíàùåííûå íåêîòîðîéäîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèåé.1Îáðàòèì âíèìàíèå íà ðàçíèöó â íîðìèðîâêå êîîðäèíàòû z , ïðèìåíåííóþ â [29] ïî ñðàâíåíèþ ñ íàøåé.633.1.

Ìîäóëè. íàøåì êîíòåêñòå ôóíêöèÿλîïðåäåëåíà íàE,è äîëæíà áûòü òàêèìîáðàçîì ýëëèïòè÷åñêîé. Ââèäó ôèêñèðîâàííîãî íàìè âåòâëåíèÿ îíà èìååò ÷åòûðå ïîëþñàïîðÿäêà 2. Èñïîëüçóÿ Ïðåäëîæåíèå 7.3 çàïèøåì ÿâíî îáùèé âèä òàêîé ôóíêöèè:4 X1 ℘0 (z − ak ; 2ω1 , 2ω2 )λ(z) =sk + c,℘(z − ak ; 2ω1 , 2ω2 )uk +2℘(z−ak ; 2ω1 , 2ω2 )k=1(7.6)îòêóäà ìû èìååì ñëåäóþùèå ìîäóëè:• ak êîîðäèíàòû ïîëþñîâ íà• uk , sk• cE, ïîâåäåíèå ôóíêöèè â ïîëþñàõ, ñäâèã,• 2ω1 , 2ω2 ìîäóëè ñàìîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé.Ñóììàðíî ìû ïîëó÷àåì15ïàðàìåòðîì, êîòîðûå îäíàêî æå íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Èçôîðìóëû ÐèìàíàÃóðâèöà ìû çíàåì, ÷òî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà òàêèõ ôóíêöèé{λ}ðàâíàH :=12.Ââèäó òîãî, ÷òî ôóíêöèÿλÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé âûïîëíåíî:Xresz λ = 04X⇒z∈Dsk = 0.k=1Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîÍà íàêðûâàþùåé êðèâîé ìû èìååìE(2ω1 ,2ω2 )s1 = 0.∼= E1,ττ = ω2 /ω1 .äëÿÄâå òàêèåýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå çàäàþò ãóðâèöýêâèâàëåíòíûå ðàçâåòâëåííûå íàêðûòèÿ.Ââèäó àâòîìîðôèçìîâ ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, çàäàííûìè ñäâèãàìè íà÷àëà êîîðäèíàò ìûòàêæå ïîëîæèìa1 = 0.ÏðåäëîæåíèåÃóðâèöôðîáåíèóñîâî7.6.ïðîñòðàíñòâîì ôóíêöèéλ,ìíîãîîáðàçèåH1,(2,2,2,2)ÿâëÿåòñÿîïèñàííûõ âûøå, ïàðàìåòðèçîâàííûì ÷èñëàìè:a2 , a3 , a4 , s2 , s3 , s4 , u1 , u2 , u3 , u4 , ω2 /ω1 . äàëüíåéøåì äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé ìû áóäåì ïèñàòüíå áóäåò îïóñêàòü ÷èñëîa1H1,(2,2,2,2)ÑëåäóÿÄóáðîâèíóφ := dv =zââåäåìïëîñêèåêîîðäèíàòûíà(ñì.

Òåîðåìà 7.2). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèì çàôèêñèðîâàòü íåêîòîðûéäèôôåðåíöèàë íà íàêðûâàþùåé êðèâîé. Ïîëîæèì:ãäåà òàêæå ìûâ ñóììèðîâàíèÿõ, íå çàáûâàÿ îäíàêî, ÷òî îíî íóëåâîå.3.2. Ïëîñêèå êîîðäèíàòû.ïðîñòðàíñòâåH := H1,(2,2,2,2) ,ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé íàE.64dz,2ω17.7. ÐàçâåòâëåííîåÏðåäëîæåíèåíàêðûòèåλèìååò ñëåäóþùèé âèä â ïëîñêèõêîîðäèíàòàõ:λ(z) =4 X14k=2(7.7)℘ (v −vk , τ ) t2k1 ℘0 (v − vk , τ )+Vk2 ℘ (v − vk , τ )4X1t2k + C1 .+ ℘(v, τ )t21 + η1 ω14k=1Ýéëåðîâî ïîëå ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðû â ýòèõ êîîðäèíàòàõ çàïèñûâàåòñÿ:EH = C1(7.8)X1 ∂X∂∂+ti+Vi.∂C12 ∂ti∂ViÄîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Äóáðîâèíà (ñì.

Òåîðåìà 7.2) ïîñ÷èòàåì ïëîñêèåêîîðäèíàòû.akvk =,2ω1ãäåτ = ω2 /ω1ZskVk =,2ω12ω2B1 =0dz= τ,2ω1tk := tk,1 :√uk−2uk+ h.o.t. = −,3(z − ak )ω1 ìîäóëü ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé. Íàéäåìtk = resakz − ak z − ak√2ω1ukãäå âåòâü êâàäðàòè÷íîãî êîðíÿ ôèêñèðîâàíà óíèôîðìèçóþùèì ïàðàìåòðîìÇíà÷åíèå ôóíêöèèïëîñêóþ êîîðäèíàòóζ(z)C1íå îïðåäåëåíî â òî÷êåz = 0,wk .ââèäó ýòîãî äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòèìû èñïîëüçóåì ïðåäåëû:#2ω1 −X11ζ(z − ak )uk + log ℘(z − ak )vk + zclim −C1 =2ω1 →02kX11(ζ(−ak ) − ζ(2ω1 − ak )) uk + (log ℘(2ω1 − ak ) − log ℘(−ak )) vk + c.=2ω1 k2"Âñëåäñòâèå ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè Âåéåðøòðàññà ìû ïîëó÷àåì:4η1 Xuk .C1 = c −ω1 k=1Ðàâåíñòâî (7.5) çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.Äî êîíöà ýòîé ãëàâû ìû áóäåò ðàáîòàòü ñ ôóíêöèåéλ(v),çàïèñàííîé â ïëîñêèõτ,èìåÿâêîîðäèíàòàõ.ÌûáóäåìòàêæåÂåéåðøòðàññà, èñïîëüçîâàííûå âîïóñêàòüλ(v)ïåðåìåííóþèìåþò âèä3.3.