Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137397), страница 12

Файл №1137397 Диссертация (Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы) 12 страницаДиссертация (1137397) страница 122019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå M6(τ0 ,ω0 )Ðàññìîòðèì ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåñ ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìè•t1 , . . . , t5 , t6 ,Åäèíè÷íîå âåêòîðíîå ïîëåeMðàçìåðíîñòè6è êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòèóäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:ñîâïàäàåò ñ73∂.∂t11•Ýéëåðîâî ïîëåEèìååò âèä5X1 ∂∂E = t1+tk.∂t1 k=2 2 ∂tk•Ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàëFçàïèñûâàåòñÿ êàê51 X 21 2t ) + (t2 t3 t4 t5 )f0 (t6 )F (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ) = t1 t6 + t1 (24 i=2 i11+ (t42 + t43 + t44 + t45 )f1 (t6 ) + (t25 t22 + t25 t23 + t25 t24 + t22 t23 + t22 t24 + t23 t24 )f2 (t6 ),46ãäåf0 (t), f1 (t)f2 (t)èíåêîòîðîé îáëàñòè â íåêîòîðûå ôóíêöèè îò ïåðåìåííîét,ãîëîìîðôíûå âC.1.1. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ WDVV.Ïðåäëîæåíèå8.1.ÓðàâíåíèåWDVVíàFýêâèâàëåíòíîñëåäóþùåéñèñòåìåóðàâíåíèé:f00 (t) = 38 f0 (t)f2 (t) − 24f0 (t)f1 (t),f10 (t) = − 32 f0 (t)2 − 16f (t)f2 (t) + 89 f2 (t)2 ,3 1 f 0 (t) = 6f (t)2 − 8 f (t)2 .023 2(8.1)Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî WDVV(∂3 , ∂4 , ∂3 , ∂4 ) (ñì.

Îáîçíà÷åíèå 6.3) äàåòâòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèå, à WDVV(∂2 , ∂4 , ∂3 , ∂3 ) äàåò ïåðâîå óðàâíåíèå.Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìû ìîæåì ñ÷èòàòü:(8.2)f0 (t) := 81 X3 (t) − 18 X4 (t),11f1 (t) := − 12X2 (t) − 48X3 (t) − f (t) := − 3 X (t) − 3 X (t),216 316 4äëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèéXi (t),Ïðåäëîæåíèå8.2.1X (t),48 4ãîëîìîðôíûõ íà òîé æå îáëàñòè, ÷òî èÓðàâíåíèÿ(8.1)ýêâèâàëåíòíûäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:(8.3)d(X2 (t)dt+ X3 (t)) = 2X2 (t)X3 (t),d(X3 (t)dt+ X4 (t)) = 2X3 (t)X4 (t),d(X4 (t)dt+ X2 (t)) = 2X4 (t)X2 (t),èçâåñòíî ïîä èìåíåì ñèñòåìû Àëüôàíà.74fi (t).ñëåäóþùåéñèñòåìåÄîêàçàòåëüñòâî. ñëåäóåò ìîìåíòàëüíî èç ÿâíîãî âèäà ôóíêöèé.Ñëåäóþùååïðåäëîæåíèåÿâëÿåòñÿêðàñèâûìïðèìåðîìäåéñòâèÿíàïðîñòðàíñòâåôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé, êîòîðîå çàäàåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî àíàëèòè÷åñêè.(X2 (t), X3 (t), X4 (t))Ïðåäëîæåíèå 8.3.

Ïóñòü òðîéêà ôóíêöèÿñèñòåìû Àëüôàíà (8.3). Äëÿ âñÿêîéÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìA ∈ GL(2, C) îïðåäåëèì äðóãóþ òðîéêó ôóíêöèé XiA (t),2 ≤ i ≤ 4:XiA (t) :=(8.4)Òîãäà òðîéêàdet(A)Xi(ct + d)2(X2A (t), X3A (t), X4A (t))at + bct + d−c,ct + dA0 = a0 bcÈç îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî åñëè òðîéêàäëÿ âñÿêîãîa := det Aa ∈ C∗òðîéêà.c d38] äëÿ A ∈ SL(2, C).Ðàññìîòðèìa0 = a/ det A, c0 = c/ det A. ∈ SL(2, C),d0a bòàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Àëüôàíà (8.3).Äîêàçàòåëüñòâî.

Ýòî óòâåðæäåíèå áûëî äîêàçàíî â [A={aXi (at)}{Xi (t)}ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Àëüôàíà, òîòîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Àëüôàíà. Ïîëàãàÿìû ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî ýòîGL(2, C)äåéñòâèåÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì êGL(2, C)äåéñòâèþïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ WDVV, ïðèâåäåííîì â Ïðèëîæåíèè Á [11].Ïðåäëîæåíèå 8.4. Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè Äóáðîâèíà(4.5) â Ãëàâå 4), ïðèìåíåííîå ê6ìåðíîìóíàI(ñì. óðàâíåíèåôðîáåíèóñîâó ìíîãîîáðàçèþ ñ ïîòåíöèàëîìF:F I = F A,äëÿ0 −1,A=1 0ãäå ñëåâà ìû ïðèìåíÿåì ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè, à ñïðàâà GL(2, C)äåéñòâèå (8.4).Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ñëåäóåò èç ÿâíîé çàïèñè îáîèõ äåéñòâèé.1.2.

Äåéñòâèå A(τ0 ,ω0 ) íà MP12,2,2,2 .ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàP12,2,2,2Íàïîìíèì, ÷òî ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå òåîðèèçàäàíî íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ðåøåíèåì ñèñòåìûÀëüôàíà, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èëè â ãëàâå 4 ÷åðåçXk∞ (τ ) := 2ãäåϑk (τ ) òåòà êîíñòàíòû ßêîáè.ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàP12,2,2,2Xk∞ (τ ):∂log ϑk (τ ),∂τÇàìåòèì,2 ≤ k ≤ 4,÷òî ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå òåîðèèòàêæå ïðèíàäëåæèò ïðèâåäåííîìó âûøå êëàññóìåðíûõ ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.756ÐàññìîòðèìGL(2, C)äåéñòâèå A(τ0 ,ω0 )ñëåäóþùååíàïðèâåäåííîìâûøåêëàññåôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèéτ̄0ω 0 τ0 4πω0 Im(τ0 ):= .1ω04πω0 Im(τ0 )A(τ0 ,ω0 )(8.5)Îïðåäåëåíèå.

Ôèêñèðóåìτ0 ∈ HGL(2, C)(1) Ïðèìåíÿÿ äåéñòâèåèω0 ∈ C\{0}.(8.4), çàäàííîå ìàòðèöåéA(τ0 ,ω0 ) ,îïðåäåëèì òðîéêóôóíêöèé(τ ,ω0 )Xk 0Òîãäà ôóíêöèè(τ0 ,ω0 )(t) := (Xk∞ )A(τ ,ω0 )Xk 0(t)(t)for4 ≥ k ≥ 2.ãîëîìîðôíû íà:D(τ0 ,ω0 ) := {t ∈ C | |t| < | − 4πω02 Im(τ0 )|}.(2) Îáîçíà÷èì ÷åðåç(τ0 ,ω0 )M6:= C5 × D(τ0 ,ω0 )ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå ñî ñëåäóþùèìïîòåíöèàëîì:51 (τ ,ω )1 (τ ,ω )t21 t6 t1 X 2+tk − (t23 t24 + t25 t22 ) X2 0 0 (t6 ) − (t25 t23 + t22 t24 ) X3 0 0 (t6 )=24 k=21616!!541 (τ ,ω )1 X 42 X (τ0 ,ω0 )− (t25 t24 + t22 t23 ) X4 0 0 (t6 ) −tkX(t) .1664 k=23 k=2(τ ,ω )F6 0 0Ìû áóäåì òàêæå ïèñàòü:(τ0 ,ω0 )F6Èç ÿâíîãî âèäà ïîòåíöèàëàäåéñòâèåìA(τ0 ,ω0 ) .(τ0 ,ω0 )F6= A(τ0 ,ω0 ) · FP12,2,2,2 .âèäíî, ÷òî ýéëåðîâî ïîëå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïîäÒàêèì îáðàçîì ïðèâåäåííîå âûøå äåéñòâèåGL(2, C),îïðåäåëåííîåèñêëþ÷èòåëüíî àíàëèòè÷åñêè êàê äåéñòâèå íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé ñèñòåìû Àëüôàíà, çàäàåòäåéñòâèå íà ïðîñòðàíñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.2.

Çàìåíà ïðèìèòèâíîé ôîðìû è M6(τ0 ,ω0 )Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî íóëåé óðàâíåíèÿêðèâûõ íàäΣ.Ïóñòüíåêîòîðûé ïåðèîäÐàññìîòðèìπ(σ)ζσýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéλσ ∈ H1,(2,2,2,2) ,ñîñòîèòèçWσ .Îíà çàäàåòEσ := {Wσ = 0}.ò.÷.:8:1λ−1σ (∞)çàäàåò ñåìåéñòâî ýëëèïòè÷åñêèõ íåêîòîðàÿ ïðèìèòèâíàÿ ôîðìà îñîáåííîñòèλσ : Eσ −→ P1 ,ïðîîáðàçWσ = 04òî÷åê∀σ ∈ Σ,ïîðÿäêà2êàæäàÿ.Íàïîìíèì,÷òî÷àñòüþêîíñòðóêöèè ãóðâèöôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ áûë âûáîð äèôôåðåíöèàëà ïåðâîãî ðîäà76φ(ñì.Ðàçäåë 1.1 Ãëàâû 7), îò êîòîðîãî çàâèñåëè òàêæå è ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ ïëîñêèõêîîðäèíàò.Âûáèðàÿφ = dz/π(σ)ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð íàH1,(2,2,2,2)RH1,(2,2,2,2),ôðîáåíèóñîâó ñòðóêòóðó íàÄàëåå ìû èäåíòèôèöèðóåììíîãîîáðàçèåì(τ0 ,ω0 )M6íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéM σ0RH1,(2,2,2,2)è(ñì.π(σ)σ0 ∈ Σ6Îáîçíà÷èì ÷åðåçýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéEσ .A(τ0 ,ω0 ) íà ôðîáåíèóñîâûõêàê ýôôåêò îò çàìåíû ïðèìèòèâíîé ôîðìû îñîáåííîñòè2.1.

Çàìåíà ïðèìèòèâíîé ôîðìû.äëÿ çàìåíû ïðèìèòèâíîé ôîðìû.ÏóñòüMσñ îïðåäåëåííûì ôðîáåíèóñîâûì. Ýòî ïîçâîëèò íàì ðàññìàòðèâàòü äåéñòâèåìíîãîîáðàçèÿõ ðàçìåðíîñòèìû ïîëó÷àåì ñåìåéñòâîÃëàâó 7).çàäàííóþ ïåðèîäîìäëÿ âñÿêîãîEσWσ .6 ðàáîòå [ ] áûë ïðåäëîæåí ñëåäóþùèé ïîäõîäHZ = Zα ⊗ Zβ ãðóïïà ãîìîëîãèéH1 (Eσ , Z)ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé â áåñêîíå÷íîñòè. Ïîëîæèì:HC∗ := (HC )∗ := (HZ ⊗Z C)∗ = Cα∨ ⊕ Cβ ∨ ,{α∨ , β ∨ }ãäåêîãîìîëîãèé(3.3).ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì, äâîéñòâåííûì êH 1 (Eσ , Z).{α, β}.ÃðóïïàHC∗Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõΩ ∈ Γ(H, Ω1E/H )Îòíîñèòåëüíàÿ ãîëîìîðôíàÿ ôîðìà îáúåìàèçîìîðôíà ãðóïïåEîïðåäåëåííîå ââ áàçèñåα∨ , β ∨èìååòâèä:Ω = x(τ ) (α∨ + τ β ∨ )x(τ )äëÿ íåêîòîðîé íèãäå íå îáíóëÿþùåéñÿ ôóíêöèèÂîçüìåìâêà÷åñòâåîòíîñèòåëüíîéíàãîëîìîðôíîéïðèìèòèâíóþ ôîðìó, ôèêñèðîâàííóþ âûáîðîì âåêòîðàZζ∞Z=1èH.ζ ∞ = α∨ + τ β ∨ôîðìûîáúåìàα ∈ HC ,òàêóþ, ÷òî:ζ ∞ = τ.βαÑóùåñòâóåò îáùèé ìåõàíèçì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìû ïî êàíîíè÷åñêîéîáðàòíîé ôèëüòðàöèè Õîäæà â òî÷êåτ0 ∈ H,ôóíêöèîíèðóþùèé â ñëó÷àå ïðîñòûõýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïðåäëîæåíèå 8.5.

Äëÿ âñÿêèõτ0 ∈ Hîòíîñèòåëüíàÿ ãîëîìîðôíàÿ ôîðìà îáúåìàZζ = 1,α0 :=α0èω0 ∈ C\{0},ζ ∈ Γ(H, Ω1E/H ),ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿòàêàÿ, ÷òî:1(τ̄0 α − β) .ω0 (τ̄0 − τ0 )Äîêàçàòåëüñòâî. Íåñëîæíû âû÷èñëåíèÿ äàþò:ζ = ω0τ̄0 − τ0 ∨(α + τ β ∨ ) .τ̄0 − τ77Òàêàÿãîëîìîðôíàÿôîðìàîáúåìàζÿâëÿåòñÿïðèìèòèâíîéôîðìîé,α0 ∈ HC . Ôèêñèðóåì τ0 ∈ H è ω0 ∈ C\{0},ZZζ = ω0 èζ = ω0 τ0 â τ = τ0 .îïðåäåëÿþùåéñÿ âûáîðîì âåêòîðàαÄàëåå âûáåðåìβ 0 ∈ HC ,òàêîå, ÷òîîäíîçíà÷íîòàêèå, ÷òî:βRβ0ζ=0âτ = τ0è(α0 , β 0 ) = 1.Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òîòîãäà âåðíî:β 0 := −ω0 (τ0 α − β) .Áàçèñû{α, β}(8.6)èAhom{α0 , β 0 } ñâÿçàíû äåéñòâèåì ñëåäóþùåé ìàòðèöû èç SL(2, C) íà H 1 (Eσ , Z): 1τ̄0√√−α:=  2 −1ω0 Im(τ0 ) 2 −1ω0 Im(τ0 )  , α0 β 0 = Ahom   .β−ω0 τ0ω0Òîãäà ñâÿçü ìåæäó ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìè, êîòîðûå ñòðîÿòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèìïðèìèòèâíûì ôîðìàì çàäàåòñÿ ìàòðèöåéA(τ0 ,ω0 ) .Ïóñòüt−1 ïëîñêàÿ êîîðäèíàòà âáåñêîíå÷íîñòè, ïîñòðîåííàÿ ïî ïðèìèòèâíîé ôîðìå, ôèêñèðîâàííîé áàçèñîì{α, β}.0ïëîñêàÿ êîîðäèíàòà t−1 , ïîñòðîåííàÿ ïî ïðèìèòèâíîé ôîðìå, ôèêñèðîâàííîé áàçèñîìÒîãäà{α0 , β 0 }ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì.

Ïðåäëîæåíèå 3.8):t0−1√=2π −1√τ0 − t−1ζ = 2 −1ω02 Im(τ0 ),τ̄0 − t−1β0Z÷òî ýêâèâàëåíòíî:t0−1 = A(τ0 ,ω0 ) · t−1 .(8.7)Ïîõîæèé ìåòîä áûë èñïîëüçîâàí ÌèëàíîâûìÐóàíîì è ÊðàâèòöîìØåíåì äëÿ èçìåíåíèÿïðèìèòèâíîé ôîðìû ïðîñòîé ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòè. îòëè÷èå îò èõ ïîäõîäà ìûðàáîòàåì ñ ÿâíûìè öèêëàìè ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü5âñå ïðèìèòèâíûå ôîðìû èñïîëüçóÿ ãåîìåòðèþ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.

Îäíàêî æå â [ ] áûëîäîêàçàíî, ÷òî îáà ïîäõîäà ýêâèâàëåíòíû.2.2. Äåéñòâèÿ Ahom è A(τ0 ,ω0 ) .ïëîñêîé êîîðäèíàòåt−1 äàííîì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, ÷òî äåéñòâèåA(τ0 ,ω0 )íà(ñì. (8.7) âûøå) âîçíèêàåò åñòåñòâåííûì îáðàçîì êàê äåéñòâèå íàïðîñòðàíñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.Ôèêñèðóåì íåêîòîðîåêîîðäèíàòàõäåéñòâèåARA ∈ SL(2, C) è ðàçâåòâëåííîå íàêðûòèå {λ : Eτ → P1 } ∈ H1,(2,2,2,2).λ çàïèñûâàåòñÿ ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè.íàλ,ñîîòâåòñòâóþùåå äåéñòâèþêðèâîé.78AÂÝòî ïîçâîëÿåò íàì ðàññìîòðåòüíà ðåøåòêå íàêðûâàþùåé ýëëèïòè÷åñêîéÏðåäëîæåíèå8.6. ÏóñòüA = a bc d ∈ SL(2, C).ż äåéñòâèå íà ðåøåòêåýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé ïîäíèìàåòñÿ äî äåéñòâèÿ íà ïëîñêèõ êîîðäèíàòàõ ôðîáåíèóñîâàìíîãîîáðàçèÿRH1,(2,2,2,2).Ïóñòü(τ, C1 , t1 , t2 , t3 , t4 ) ïëîñêèå êîîðäèíàòû√4π −1 c X 2Ĉ1 = C1 −t,2 cτ + d i=1 iaτ + bτ̂ =,cτ + dÄîêàçàòåëüñòâî.

Çàìåòèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåìω̂2 = aω2 + bω1 ,Ïðèìåíèì âûðàæåíèå ïëîñêèõ êîîðäèíàòt̂1 , . . . , t̂4èτ̂At̂i =ti,cτ + dRH1,(2,2,2,2):1≤i≤4ìû èìååì:ω̂1 = cω2 + dω1 .H1,(2,2,2,2) , íàéäåííîå â Ïðåäëîæåíèè 7.7.áóäóò ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìèAïðåîáðàçîâàííîéÏóñòüĈ1 ,ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðûR.H1,(2,2,2,2)Äëÿ ïåðåìåííûõti , 1 ≤ i ≤ 4èτâåðíû ñëåäóþùèå ôîðìóëû:√tiaτ + baω2 + bω1ũi, t̂i = −=τ̂ ==.cτ + dcω2 + dω1ω̃1cτ + dÐàññìîòðèì òàêæå ïåðåìåííóþC1 .44η̂1 Xcη2 + dη1 XĈ1 = c −ui = c −ui .ω̂1 i=1cω2 + dω1 i=1Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî Ëåæàíäðà ìû ïîëó÷àåì:1Ĉ1 = c −ω1√X √X444π −1c1η1 X1 π −1 cη1 +ui = c −ui − 2ui ,2cω2 + dω1 i=1ω1 i=1ω12 cτ + d i=1÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.Äàííîå ïðåäëîæåíèå ïîçâîëÿåò íàì ïðèìåíèòü íàôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå, äåéñòâèå ìàòðèöûRH1,(2,2,2,2),ðàññìîòðåííîì êàê ãóðâèöAhom ∈ SL(2, C),îïðåäëåííîå â (8.6) òîëüêîëèøü äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.Ïðåäëîæåíèå8.7.Äëÿâñÿêîéïðèìèòèâíîé ôîðìû ñζ∞ýêâèâàëåíòíî äåéñòâèþA(τ0 ,ω0 ) ,ïðîñòîýëëèïòè÷åñêîéíà ïðèìèòèâíóþ ôîðìóζσ0îñîáåííîñòèWσçàìåíàâ ñïåöèàëüíîé òî÷êå òî÷êåσ0òàêîìó, ÷òî:jW (σ0 ) = j(τ0 ),èτ0 êâàäðàòè÷íàÿ èððàöèîíàëüíîñòü.Äîêàçàòåëüñòâî.

Характеристики

Список файлов диссертации

Зеркальная симметрия для простых эллиптических особенностей с действием группы
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее