Диссертация (1137397), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå M6(τ0 ,ω0 )Ðàññìîòðèì ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåñ ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìè•t1 , . . . , t5 , t6 ,Åäèíè÷íîå âåêòîðíîå ïîëåeMðàçìåðíîñòè6è êîíôîðìíîé ðàçìåðíîñòèóäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:ñîâïàäàåò ñ73∂.∂t11•Ýéëåðîâî ïîëåEèìååò âèä5X1 ∂∂E = t1+tk.∂t1 k=2 2 ∂tk•Ôðîáåíèóñîâ ïîòåíöèàëFçàïèñûâàåòñÿ êàê51 X 21 2t ) + (t2 t3 t4 t5 )f0 (t6 )F (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ) = t1 t6 + t1 (24 i=2 i11+ (t42 + t43 + t44 + t45 )f1 (t6 ) + (t25 t22 + t25 t23 + t25 t24 + t22 t23 + t22 t24 + t23 t24 )f2 (t6 ),46ãäåf0 (t), f1 (t)f2 (t)èíåêîòîðîé îáëàñòè â íåêîòîðûå ôóíêöèè îò ïåðåìåííîét,ãîëîìîðôíûå âC.1.1. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ WDVV.Ïðåäëîæåíèå8.1.ÓðàâíåíèåWDVVíàFýêâèâàëåíòíîñëåäóþùåéñèñòåìåóðàâíåíèé:f00 (t) = 38 f0 (t)f2 (t) − 24f0 (t)f1 (t),f10 (t) = − 32 f0 (t)2 − 16f (t)f2 (t) + 89 f2 (t)2 ,3 1 f 0 (t) = 6f (t)2 − 8 f (t)2 .023 2(8.1)Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî WDVV(∂3 , ∂4 , ∂3 , ∂4 ) (ñì.
Îáîçíà÷åíèå 6.3) äàåòâòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèå, à WDVV(∂2 , ∂4 , ∂3 , ∂3 ) äàåò ïåðâîå óðàâíåíèå.Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìû ìîæåì ñ÷èòàòü:(8.2)f0 (t) := 81 X3 (t) − 18 X4 (t),11f1 (t) := − 12X2 (t) − 48X3 (t) − f (t) := − 3 X (t) − 3 X (t),216 316 4äëÿ íåêîòîðûõ ôóíêöèéXi (t),Ïðåäëîæåíèå8.2.1X (t),48 4ãîëîìîðôíûõ íà òîé æå îáëàñòè, ÷òî èÓðàâíåíèÿ(8.1)ýêâèâàëåíòíûäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:(8.3)d(X2 (t)dt+ X3 (t)) = 2X2 (t)X3 (t),d(X3 (t)dt+ X4 (t)) = 2X3 (t)X4 (t),d(X4 (t)dt+ X2 (t)) = 2X4 (t)X2 (t),èçâåñòíî ïîä èìåíåì ñèñòåìû Àëüôàíà.74fi (t).ñëåäóþùåéñèñòåìåÄîêàçàòåëüñòâî. ñëåäóåò ìîìåíòàëüíî èç ÿâíîãî âèäà ôóíêöèé.Ñëåäóþùååïðåäëîæåíèåÿâëÿåòñÿêðàñèâûìïðèìåðîìäåéñòâèÿíàïðîñòðàíñòâåôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé, êîòîðîå çàäàåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî àíàëèòè÷åñêè.(X2 (t), X3 (t), X4 (t))Ïðåäëîæåíèå 8.3.
Ïóñòü òðîéêà ôóíêöèÿñèñòåìû Àëüôàíà (8.3). Äëÿ âñÿêîéÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåìA ∈ GL(2, C) îïðåäåëèì äðóãóþ òðîéêó ôóíêöèé XiA (t),2 ≤ i ≤ 4:XiA (t) :=(8.4)Òîãäà òðîéêàdet(A)Xi(ct + d)2(X2A (t), X3A (t), X4A (t))at + bct + d−c,ct + dA0 = a0 bcÈç îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî åñëè òðîéêàäëÿ âñÿêîãîa := det Aa ∈ C∗òðîéêà.c d38] äëÿ A ∈ SL(2, C).Ðàññìîòðèìa0 = a/ det A, c0 = c/ det A. ∈ SL(2, C),d0a bòàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Àëüôàíà (8.3).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ýòî óòâåðæäåíèå áûëî äîêàçàíî â [A={aXi (at)}{Xi (t)}ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Àëüôàíà, òîòîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Àëüôàíà. Ïîëàãàÿìû ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî ýòîGL(2, C)äåéñòâèåÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì êGL(2, C)äåéñòâèþïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ WDVV, ïðèâåäåííîì â Ïðèëîæåíèè Á [11].Ïðåäëîæåíèå 8.4. Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè Äóáðîâèíà(4.5) â Ãëàâå 4), ïðèìåíåííîå ê6ìåðíîìóíàI(ñì. óðàâíåíèåôðîáåíèóñîâó ìíîãîîáðàçèþ ñ ïîòåíöèàëîìF:F I = F A,äëÿ0 −1,A=1 0ãäå ñëåâà ìû ïðèìåíÿåì ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè, à ñïðàâà GL(2, C)äåéñòâèå (8.4).Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ñëåäóåò èç ÿâíîé çàïèñè îáîèõ äåéñòâèé.1.2.
Äåéñòâèå A(τ0 ,ω0 ) íà MP12,2,2,2 .ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàP12,2,2,2Íàïîìíèì, ÷òî ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå òåîðèèçàäàíî íåêîòîðûì îïðåäåëåííûì ðåøåíèåì ñèñòåìûÀëüôàíà, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èëè â ãëàâå 4 ÷åðåçXk∞ (τ ) := 2ãäåϑk (τ ) òåòà êîíñòàíòû ßêîáè.ÃðîìîâàÂèòòåíà îðáèôîëäàP12,2,2,2Xk∞ (τ ):∂log ϑk (τ ),∂τÇàìåòèì,2 ≤ k ≤ 4,÷òî ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå òåîðèèòàêæå ïðèíàäëåæèò ïðèâåäåííîìó âûøå êëàññóìåðíûõ ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.756ÐàññìîòðèìGL(2, C)äåéñòâèå A(τ0 ,ω0 )ñëåäóþùååíàïðèâåäåííîìâûøåêëàññåôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèéτ̄0ω 0 τ0 4πω0 Im(τ0 ):= .1ω04πω0 Im(τ0 )A(τ0 ,ω0 )(8.5)Îïðåäåëåíèå.
Ôèêñèðóåìτ0 ∈ HGL(2, C)(1) Ïðèìåíÿÿ äåéñòâèåèω0 ∈ C\{0}.(8.4), çàäàííîå ìàòðèöåéA(τ0 ,ω0 ) ,îïðåäåëèì òðîéêóôóíêöèé(τ ,ω0 )Xk 0Òîãäà ôóíêöèè(τ0 ,ω0 )(t) := (Xk∞ )A(τ ,ω0 )Xk 0(t)(t)for4 ≥ k ≥ 2.ãîëîìîðôíû íà:D(τ0 ,ω0 ) := {t ∈ C | |t| < | − 4πω02 Im(τ0 )|}.(2) Îáîçíà÷èì ÷åðåç(τ0 ,ω0 )M6:= C5 × D(τ0 ,ω0 )ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå ñî ñëåäóþùèìïîòåíöèàëîì:51 (τ ,ω )1 (τ ,ω )t21 t6 t1 X 2+tk − (t23 t24 + t25 t22 ) X2 0 0 (t6 ) − (t25 t23 + t22 t24 ) X3 0 0 (t6 )=24 k=21616!!541 (τ ,ω )1 X 42 X (τ0 ,ω0 )− (t25 t24 + t22 t23 ) X4 0 0 (t6 ) −tkX(t) .1664 k=23 k=2(τ ,ω )F6 0 0Ìû áóäåì òàêæå ïèñàòü:(τ0 ,ω0 )F6Èç ÿâíîãî âèäà ïîòåíöèàëàäåéñòâèåìA(τ0 ,ω0 ) .(τ0 ,ω0 )F6= A(τ0 ,ω0 ) · FP12,2,2,2 .âèäíî, ÷òî ýéëåðîâî ïîëå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïîäÒàêèì îáðàçîì ïðèâåäåííîå âûøå äåéñòâèåGL(2, C),îïðåäåëåííîåèñêëþ÷èòåëüíî àíàëèòè÷åñêè êàê äåéñòâèå íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé ñèñòåìû Àëüôàíà, çàäàåòäåéñòâèå íà ïðîñòðàíñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.2.
Çàìåíà ïðèìèòèâíîé ôîðìû è M6(τ0 ,ω0 )Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî íóëåé óðàâíåíèÿêðèâûõ íàäΣ.Ïóñòüíåêîòîðûé ïåðèîäÐàññìîòðèìπ(σ)ζσýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéλσ ∈ H1,(2,2,2,2) ,ñîñòîèòèçWσ .Îíà çàäàåòEσ := {Wσ = 0}.ò.÷.:8:1λ−1σ (∞)çàäàåò ñåìåéñòâî ýëëèïòè÷åñêèõ íåêîòîðàÿ ïðèìèòèâíàÿ ôîðìà îñîáåííîñòèλσ : Eσ −→ P1 ,ïðîîáðàçWσ = 04òî÷åê∀σ ∈ Σ,ïîðÿäêà2êàæäàÿ.Íàïîìíèì,÷òî÷àñòüþêîíñòðóêöèè ãóðâèöôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ áûë âûáîð äèôôåðåíöèàëà ïåðâîãî ðîäà76φ(ñì.Ðàçäåë 1.1 Ãëàâû 7), îò êîòîðîãî çàâèñåëè òàêæå è ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ ïëîñêèõêîîðäèíàò.Âûáèðàÿφ = dz/π(σ)ôðîáåíèóñîâûõ ñòðóêòóð íàH1,(2,2,2,2)RH1,(2,2,2,2),ôðîáåíèóñîâó ñòðóêòóðó íàÄàëåå ìû èäåíòèôèöèðóåììíîãîîáðàçèåì(τ0 ,ω0 )M6íà ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéM σ0RH1,(2,2,2,2)è(ñì.π(σ)σ0 ∈ Σ6Îáîçíà÷èì ÷åðåçýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéEσ .A(τ0 ,ω0 ) íà ôðîáåíèóñîâûõêàê ýôôåêò îò çàìåíû ïðèìèòèâíîé ôîðìû îñîáåííîñòè2.1.
Çàìåíà ïðèìèòèâíîé ôîðìû.äëÿ çàìåíû ïðèìèòèâíîé ôîðìû.ÏóñòüMσñ îïðåäåëåííûì ôðîáåíèóñîâûì. Ýòî ïîçâîëèò íàì ðàññìàòðèâàòü äåéñòâèåìíîãîîáðàçèÿõ ðàçìåðíîñòèìû ïîëó÷àåì ñåìåéñòâîÃëàâó 7).çàäàííóþ ïåðèîäîìäëÿ âñÿêîãîEσWσ .6 ðàáîòå [ ] áûë ïðåäëîæåí ñëåäóþùèé ïîäõîäHZ = Zα ⊗ Zβ ãðóïïà ãîìîëîãèéH1 (Eσ , Z)ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé â áåñêîíå÷íîñòè. Ïîëîæèì:HC∗ := (HC )∗ := (HZ ⊗Z C)∗ = Cα∨ ⊕ Cβ ∨ ,{α∨ , β ∨ }ãäåêîãîìîëîãèé(3.3).ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì, äâîéñòâåííûì êH 1 (Eσ , Z).{α, β}.ÃðóïïàHC∗Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõΩ ∈ Γ(H, Ω1E/H )Îòíîñèòåëüíàÿ ãîëîìîðôíàÿ ôîðìà îáúåìàèçîìîðôíà ãðóïïåEîïðåäåëåííîå ââ áàçèñåα∨ , β ∨èìååòâèä:Ω = x(τ ) (α∨ + τ β ∨ )x(τ )äëÿ íåêîòîðîé íèãäå íå îáíóëÿþùåéñÿ ôóíêöèèÂîçüìåìâêà÷åñòâåîòíîñèòåëüíîéíàãîëîìîðôíîéïðèìèòèâíóþ ôîðìó, ôèêñèðîâàííóþ âûáîðîì âåêòîðàZζ∞Z=1èH.ζ ∞ = α∨ + τ β ∨ôîðìûîáúåìàα ∈ HC ,òàêóþ, ÷òî:ζ ∞ = τ.βαÑóùåñòâóåò îáùèé ìåõàíèçì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèìèòèâíîé ôîðìû ïî êàíîíè÷åñêîéîáðàòíîé ôèëüòðàöèè Õîäæà â òî÷êåτ0 ∈ H,ôóíêöèîíèðóþùèé â ñëó÷àå ïðîñòûõýëëèïòè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïðåäëîæåíèå 8.5.
Äëÿ âñÿêèõτ0 ∈ Hîòíîñèòåëüíàÿ ãîëîìîðôíàÿ ôîðìà îáúåìàZζ = 1,α0 :=α0èω0 ∈ C\{0},ζ ∈ Γ(H, Ω1E/H ),ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿòàêàÿ, ÷òî:1(τ̄0 α − β) .ω0 (τ̄0 − τ0 )Äîêàçàòåëüñòâî. Íåñëîæíû âû÷èñëåíèÿ äàþò:ζ = ω0τ̄0 − τ0 ∨(α + τ β ∨ ) .τ̄0 − τ77Òàêàÿãîëîìîðôíàÿôîðìàîáúåìàζÿâëÿåòñÿïðèìèòèâíîéôîðìîé,α0 ∈ HC . Ôèêñèðóåì τ0 ∈ H è ω0 ∈ C\{0},ZZζ = ω0 èζ = ω0 τ0 â τ = τ0 .îïðåäåëÿþùåéñÿ âûáîðîì âåêòîðàαÄàëåå âûáåðåìβ 0 ∈ HC ,òàêîå, ÷òîîäíîçíà÷íîòàêèå, ÷òî:βRβ0ζ=0âτ = τ0è(α0 , β 0 ) = 1.Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òîòîãäà âåðíî:β 0 := −ω0 (τ0 α − β) .Áàçèñû{α, β}(8.6)èAhom{α0 , β 0 } ñâÿçàíû äåéñòâèåì ñëåäóþùåé ìàòðèöû èç SL(2, C) íà H 1 (Eσ , Z): 1τ̄0√√−α:= 2 −1ω0 Im(τ0 ) 2 −1ω0 Im(τ0 ) , α0 β 0 = Ahom .β−ω0 τ0ω0Òîãäà ñâÿçü ìåæäó ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìè, êîòîðûå ñòðîÿòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèìïðèìèòèâíûì ôîðìàì çàäàåòñÿ ìàòðèöåéA(τ0 ,ω0 ) .Ïóñòüt−1 ïëîñêàÿ êîîðäèíàòà âáåñêîíå÷íîñòè, ïîñòðîåííàÿ ïî ïðèìèòèâíîé ôîðìå, ôèêñèðîâàííîé áàçèñîì{α, β}.0ïëîñêàÿ êîîðäèíàòà t−1 , ïîñòðîåííàÿ ïî ïðèìèòèâíîé ôîðìå, ôèêñèðîâàííîé áàçèñîìÒîãäà{α0 , β 0 }ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì.
Ïðåäëîæåíèå 3.8):t0−1√=2π −1√τ0 − t−1ζ = 2 −1ω02 Im(τ0 ),τ̄0 − t−1β0Z÷òî ýêâèâàëåíòíî:t0−1 = A(τ0 ,ω0 ) · t−1 .(8.7)Ïîõîæèé ìåòîä áûë èñïîëüçîâàí ÌèëàíîâûìÐóàíîì è ÊðàâèòöîìØåíåì äëÿ èçìåíåíèÿïðèìèòèâíîé ôîðìû ïðîñòîé ýëëèïòè÷åñêîé îñîáåííîñòè. îòëè÷èå îò èõ ïîäõîäà ìûðàáîòàåì ñ ÿâíûìè öèêëàìè ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü5âñå ïðèìèòèâíûå ôîðìû èñïîëüçóÿ ãåîìåòðèþ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.
Îäíàêî æå â [ ] áûëîäîêàçàíî, ÷òî îáà ïîäõîäà ýêâèâàëåíòíû.2.2. Äåéñòâèÿ Ahom è A(τ0 ,ω0 ) .ïëîñêîé êîîðäèíàòåt−1 äàííîì ðàçäåëå ìû ïîêàæåì, ÷òî äåéñòâèåA(τ0 ,ω0 )íà(ñì. (8.7) âûøå) âîçíèêàåò åñòåñòâåííûì îáðàçîì êàê äåéñòâèå íàïðîñòðàíñòâå ôðîáåíèóñîâûõ ìíîãîîáðàçèé.Ôèêñèðóåì íåêîòîðîåêîîðäèíàòàõäåéñòâèåARA ∈ SL(2, C) è ðàçâåòâëåííîå íàêðûòèå {λ : Eτ → P1 } ∈ H1,(2,2,2,2).λ çàïèñûâàåòñÿ ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè.íàλ,ñîîòâåòñòâóþùåå äåéñòâèþêðèâîé.78AÂÝòî ïîçâîëÿåò íàì ðàññìîòðåòüíà ðåøåòêå íàêðûâàþùåé ýëëèïòè÷åñêîéÏðåäëîæåíèå8.6. ÏóñòüA = a bc d ∈ SL(2, C).ż äåéñòâèå íà ðåøåòêåýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé ïîäíèìàåòñÿ äî äåéñòâèÿ íà ïëîñêèõ êîîðäèíàòàõ ôðîáåíèóñîâàìíîãîîáðàçèÿRH1,(2,2,2,2).Ïóñòü(τ, C1 , t1 , t2 , t3 , t4 ) ïëîñêèå êîîðäèíàòû√4π −1 c X 2Ĉ1 = C1 −t,2 cτ + d i=1 iaτ + bτ̂ =,cτ + dÄîêàçàòåëüñòâî.
Çàìåòèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåìω̂2 = aω2 + bω1 ,Ïðèìåíèì âûðàæåíèå ïëîñêèõ êîîðäèíàòt̂1 , . . . , t̂4èτ̂At̂i =ti,cτ + dRH1,(2,2,2,2):1≤i≤4ìû èìååì:ω̂1 = cω2 + dω1 .H1,(2,2,2,2) , íàéäåííîå â Ïðåäëîæåíèè 7.7.áóäóò ïëîñêèìè êîîðäèíàòàìèAïðåîáðàçîâàííîéÏóñòüĈ1 ,ôðîáåíèóñîâîé ñòðóêòóðûR.H1,(2,2,2,2)Äëÿ ïåðåìåííûõti , 1 ≤ i ≤ 4èτâåðíû ñëåäóþùèå ôîðìóëû:√tiaτ + baω2 + bω1ũi, t̂i = −=τ̂ ==.cτ + dcω2 + dω1ω̃1cτ + dÐàññìîòðèì òàêæå ïåðåìåííóþC1 .44η̂1 Xcη2 + dη1 XĈ1 = c −ui = c −ui .ω̂1 i=1cω2 + dω1 i=1Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî Ëåæàíäðà ìû ïîëó÷àåì:1Ĉ1 = c −ω1√X √X444π −1c1η1 X1 π −1 cη1 +ui = c −ui − 2ui ,2cω2 + dω1 i=1ω1 i=1ω12 cτ + d i=1÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.Äàííîå ïðåäëîæåíèå ïîçâîëÿåò íàì ïðèìåíèòü íàôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå, äåéñòâèå ìàòðèöûRH1,(2,2,2,2),ðàññìîòðåííîì êàê ãóðâèöAhom ∈ SL(2, C),îïðåäëåííîå â (8.6) òîëüêîëèøü äëÿ ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.Ïðåäëîæåíèå8.7.Äëÿâñÿêîéïðèìèòèâíîé ôîðìû ñζ∞ýêâèâàëåíòíî äåéñòâèþA(τ0 ,ω0 ) ,ïðîñòîýëëèïòè÷åñêîéíà ïðèìèòèâíóþ ôîðìóζσ0îñîáåííîñòèWσçàìåíàâ ñïåöèàëüíîé òî÷êå òî÷êåσ0òàêîìó, ÷òî:jW (σ0 ) = j(τ0 ),èτ0 êâàäðàòè÷íàÿ èððàöèîíàëüíîñòü.Äîêàçàòåëüñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
