Диссертация (1137397), страница 15
Текст из файла (страница 15)
13 ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ íàäÑëåäñòâèå9.17.Ìîäóëüτ0óìíîæåíèå, è îïðåäåëåííîé íàä÷èñåë:èëèQèìåþùèõ êîìïëåêñíîå óìíîæåíèå.ýëëèïòè÷åñêîéïðèíàäëåæèò√−D,√−1 + −D,2Q,êðèâîéEτ0 ,èìåþùåéSL(2, C)îðáèòåD ∈ {1, 2, 3, 4, 7},D ∈ {3, 7, 11, 19, 27, 43, 67, 163}.94êîìïëåêñíîåîäíîãî èç ñëåäóþùèõτ0 ∈ CÊâàäðàòè÷íûå èððàöèîíàëüíîñòèòàêæå çàìå÷àòåëüíû ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèèìîäóëÿðíûõ ôîðì:9.18Ïðåäëîæåíèåèððàöèîíàëüíîñòü, è(ñì.Òåîðåìà√τ∈6 SL(2, Z) −1.A1â[33]).Ïóñòü∈τCêâàäðàòè÷íàÿÒîãäà âåðíî:E2∗ (τ )E4 (τ )∈ Q(j(τ )),E6 (τ )ãäåj(τ )ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåìj èíâàðèàíòàýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéτ0 ∈ H, ω0 ∈ C\{0}.Îïðåäåëåíèå. Ôèêñèðóåì íåêîòîðûå(1) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåñóùåñòâóåòA ∈ SL(2, R) \ {1},AA ∈ SL(2, R) \ {1, −1},Çàìå÷àíèåA0(t) = γ (τ0 ,ω0 ) (t)9.1.
Âàæíî çàìåòèòü,ñâÿçûâàåòðàçíûåòî÷êèâ(τ0 ,ω0 )M3èìååò ñëàáóþ ñèììåòðèþò.÷.:äëÿ íåêîòîðîéω00 ∈ C\{0}.÷òî ñëàáàÿ ñèììåòðèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèåéω0 = ω00 ,ôðîáåíèóñîâà ìíîãîîáðàçèÿ êðîìå ñëó÷àÿSL(2, R)èìååò ñèììåòðèþ åñëè(t) = γ (τ0 ,ω0 ) (t).(2) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåγ (τ0 ,ω0 )(τ0 ,ω0 )M3ò.÷.:γ (τ0 ,ω0 )åñëè ñóùåñòâóåòEτ .ïðîñòðàíñòâåòàê êàê ñîîòâåòñòâóþùåå äåéñòâèåâñåõôðîáåíèóñîâûõìíîãîîáðàçèéðàçìåðíîñòè òðè.Òåîðåìà 9.19. Ôèêñèðóåì íåêîòîðûå(i) Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåτ0ïðèíàäëåæèò(τ0 ,ω0 )M3SL(2, Z)îðáèòå(ii) Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåτ0 ∈ Hèìååò ñèììåòðèþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà√−1(τ0 ,ω0 )M3òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàτ0ω0 ∈ C\{0}.èèëèρ.îïðåäåëåííîå íàäQèìååò ñëàáóþ ñèììåòðèþïðèíàäëåæèò ïðèâåäåííîìó â Ñëåäñòâèè 9.17ñïèñêó.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïî Ïðåäëîæåíèþ 9.15 ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåñèììåòðèþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàaτ0 +bcτ0 +dω04 = (cτ0 + d)4 ω04= τ0äëÿè√τ0 ∈ SL(2, Z) −1,èëè æåω06 = (cτ0 + d)6 ω06äëÿτ0 ∈ SL(2, Z)ρ,èëè æåω02 = (cτ0 + d)2 ω02 .95M (τ0 ,ω0 )èìååòÏîñëåäíåå ðàâåíñòâî âåðíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàäëÿτ0 ∈ H, c, d ∈ Z.(cτ0 + d)2 = 1è íå èìååò ðåøåíèÿÍåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååòñÿ ïîäõîäÿùàÿ ìàòðèöàA ∈ SL(2, Z),ðåøàþùàÿ ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ, ÷òî äîêàçûâàåò (i).ÏóñòüM (τ0 ,ω0 )îïðåäåëåíî íàäýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿEτ 0Qè èìååò ñëàáóþ ñèììåòðèþ.îïðåäåëåíà íàäÏî Ïðåäëîæåíèþ 9.15 ìû èìååìaτ0 +bcτ0 +dÒîãäà ïî Òåîðåìå 9.13Q.= τ0 .Òàêèì îáðàçîìτ0óäîâëåòâîðÿåò:cτ02 + τ0 (d − a) − b = 0.Åñëèc = 0,èëè æå äèñêðèìèíàíò ýòîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí íóëþ, ìû ïîëó÷àåìïðîòèâîðå÷èåñóñëîâèåìêîìïëåêñíîå óìíîæåíèå.τ0τ0Òàêèìîáðàçîìýëëèïòè÷åñêàÿêðèâàÿEτ 0èìååòÈç Ïðåäëîæåíèÿ 9.16 ìû çíàåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ðîâíî 13 òàêèõñ òî÷íîñòüþ äî äåéñòâèÿÏóñòüτ0 ∈ H.SL(2, Z).Òàêèì îáðàçîìτ0ïðèíàäëåæèò ïðèâåäåííîìó ñïèñêó.
ìîäóëü ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé èç ïðèâåäåííîãî ñïèñêà. Èç ïðåäïîëîæåíèÿ îðàöèîíàëüíîñòè ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéEτ 0ñëåäóåò, ÷òîj(τ0 ) ∈ Q.Ñëó÷àé√τ0 = SL(2, Z) −1áûë ðàññìîòðåí â Ïðèìåðå 2.1.1 è ìû ìîæåì ïðèìåíèòü Ïðåäëîæåíèå 9.18:E2∗ (τ0 )E4 (τ0 )∈ Q.E6 (τ0 ) òî æå ñàìîå âðåìÿ, òàê êàê ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ îïðåäåëåíà íàäa ∈ C\{0},Q, ñóùåñòâóåò íåêîòîðîåòàêîå, ÷òî:a2 g2 (τ0 ) ∈ Q,a3 g3 (τ0 ) ∈ Q.Èç óðàâíåíèÿ (9.2) ìû âèäèì:3a2 π 4 E4 (τ0 ) = a2 g2 (τ0 ) ∈ Q,4a3 π 6 E6 (τ0 ) = a3 g3 (τ0 )27∈ Q.8Òàêèì îáðàçîì:aπ 2 E2∗ (τ0 ) ∈ Q.È ìû èìååì:E2∗ (τ0 ) ∈ Q(aπ 2 )−1 ,Ïîëàãàÿω02 := (aπ 2 )−1E4 (τ0 ) ∈ Q(aπ 2 )−2 ,E6 (τ0 ) ∈ Q(aπ 2 )−3 .ìû âèäèì, ÷òî ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåM (τ0 ,ω0 )îïðåäåëåíî íàäQïî Òåîðåìå 9.13.Çàìå÷àíèå9.2. Ìû ìîæåì ïåðåôîðìóëèðîâàòü Òåîðåìó 9.19, ÷àñòü (i) âûøå òàê:ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåM (τ0 ,ω0 )èìååò ñèììåòðèþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàíåòðèâèàëüíûé àâòîìîðôèçì.96Eτ0èìååò3.
Êëàññèôèêàöèÿ â ðàçìåíîñòè 6Ìûêëàññèôèöèðóåì6ìåðíûåôðîáåíèóñîâû(τ0 ,ω0 )M6ìíîãîîáðàçèÿýëëèïòè÷åñêîå êðèâîé, ñîïîñòàâëåííîé 3ìåðíîìó ôðîáåíèóñîâó ìíîãîîáðàçèþñïîìîùüþ(τ0 ,ω0 )M3.3.1. Êëàññèôèêàöèÿ A(τ0 ,ω0 ) · MP12,2,2,2 íàä Q.Ëåììà 9.20. Ïóñòü ôóíêöèè∞(i)Xxnn!tn .Xi (t)ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñõîäÿùèìèñÿ ðÿäàìè ïî t:Xi (t) =Òîãäà ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (8.3) ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùèìn=0ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì:n−1P (2) (3)(2)(3)x+x=2(n−1)!xp xn−1−pnnp=0n−1P (3) (4)(3)(4)xn + xn = 2(n − 1)!xp xn−1−pp=0n−1P (4) (2)(4)(2)x+x=2(n−1)!xp xn−1−pnn(9.17)p=0Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñëåäóåò ìîìåíòàëüíî ñîïîñòàâëÿÿ ÷ëåíû ðÿäîâ.Ìîìåíòàëüíûì ñëåäñòâèåì ëåììû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðâûå òðè êîýôôèöèåíòàè(4)x0ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò âñå ïîñëåäóþùèå êîýôôèöèåíòû(i)xn(2)x0,(3)x0ïî ôîðìóëàì ðåêóðñèè(9.17).ÏóñòüÀëüôàíàγ (τ0 ,ω0 )ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øàçè, àññîöèèðîâàííûì ñ ðåøåíèåì ñèñòåìû(τ0 ,ω0 )(X2(τ0 ,ω0 ), X3(τ0 ,ω0 ), X4).Íàïîìíèì îáîçíà÷åíèåγ (τ0 ,ω0 ) (t) =Xcn (τ0 , ω0 )n≥0Ïðåäëîæåíèå9.21. Ïóñòüðåøåíèåì ñèñòåìû Àëüôàíàγ (τ0 ,ω0 )(τ0 ,ω0 )(X2èíâàðèàíòû ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîéïðåîáðàçóåòñÿEτ 0 .t.n! ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øàçè, àññîöèèðîâàííîå ñ(τ0 ,ω0 ), X3cn (τ0 , ω0 ):n(τ0 ,ω0 ), X4).Ïóñòüg2 (τ0 )èg3 (τ0 )Òîãäà óðàâíåíèå (9.11) â òî÷êå ìîäóëÿðíûåt = 0:331ω 3 − c0 (τ0 , ω0 )ω 2 + c1 (τ0 , ω0 )ω − c2 (τ0 , ω0 ) = 022412çàìåíîé ïåðåìåííîé ω̂ = (2ω0 π) ω − 2 c0 (τ0 , ω0 ) â ñëåäóþùåå:4ω̂ 3 − g2 (τ0 )ω̂ − g3 (τ0 ) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî.
Èçáàâëÿÿñü îò êâàäðàòè÷íîãî ïîïðèt=0ω÷ëåíà, óðàâíåíèå (9.11) ïðèíèìàåòñëåäóþùèé âèä:131c231c3(ω − c0 )3 + (ω − c0 )(c1 − 0 ) + c0 c1 − c2 (τ0 , ω0 ) − 0 = 02222444Ïîëîæèìω̃ = ω − c0 /2.Ïî Ëåììå 9.11 ìû èìååì:ω̃ 3 − ω̃3 E4 (τ0 ) 1 E6 (τ0 )−=02 72ω044 216ω0697ÂûðàæàÿE4èE6÷åðåç ìîäóëÿðíûå èíâàðèàíòûg2 , g3ìû ïîëó÷àåì:ω̃ 3 −1 g2 (τ0 )1 g3 (τ0 )ω̃−=0426 ω0 π 428 ω06 π 64ω̃ 3 −1 g3 (τ0 )1 g2 (τ0 )ω̃ − 6 6 6 = 0.4 442 ω0 π2 ω0 π÷òî ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ:Ïðèìåíÿÿ çàìåíóω̂ := (2ω0 π)2 ω̃è óìíîæàÿ îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ íà(2ω0 π)8ìû ïîëó÷àåìòðåáóåìîå.Ñëåäñòâèå 9.22.
Äèñêðèìèíàíò∆ìíîæèòåëåì äèñêðèìèíàíòàÏðåäëîæåíèå 9.23 (ñì.g2g3èêóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (9.11) ÿâëÿåòñÿ íåíóëåâûìýëëèïòè÷åñêîé êðèâîée1 , e2 , e3 ∈ CÎáîçíà÷èì äàëåå ÷åðåçòîëüêî òîãäà, êîãäà∆Qêîðíè óðàâíåíèÿÃëàâà 6.12 â [âåùåñòâåííû, è29]).Eτ0 .4x3 − g2 x − g3 = 0.eiÂñå òðè ÷èñëà∆ > 0.âåùåñòâåííû òîãäà è òàêîì ñëó÷àå ïåðèîäû ýëëèïòè÷åñêîéêðèâîé èìåþò ñëåäóþùèå èíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ:Z∞dzω1 =pe14z 3− g2 z − g3,√ω2 = −1è ìîäóëü ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé âåùåñòâåíåíÇàìåòèì,÷òî÷èñëàeiçàâèñÿòîòZ∞dzp,34z − g2 z − g3−e3√τ = ω2 /ω1 ∈ −1R.êîíêðåòíîãîâèäàóðàâíåíèÿ,ýëëèïòè÷åñêóþ êðèâóþ.  ÷àñòíîñòè ýòè ÷èñëà îòëè÷àþòñÿ äëÿâñÿêîãîg20 = a2 g2èg30 = a3 g3äëÿa ∈ C∗ â òî âðåìÿ êàê äâà óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò èçîìîðôíûå ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå.Ïðåäëîæåíèå9.24.
Ôèêñèðóåì íåêîòîðûåôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå(τ0 ,ω0 )M6îïðåäåëåíî íàäτ0 ∈ HR,Eτ 0 ∼= {y 2 = 4x3 − g2 x − g3 },Äîêàçàòåëüñòâî.Òàê êàê(τ0 ,ω0 )M6èÏðåäëîæåíèþóðàâíåíèå (9.11) ïðè9.21,t=0ïðèìåíÿÿω0 ∈ C∗ .∃g2 , g3 ∈ R,Ïóñòü 6ìåðíîåò.÷.:e1 , e2 , e3 ∈ R.îïðåäåëåíî íàäçàìåíóèòîãäàâåùåñòâåííûõ êîðíÿ. Ìû ñâÿæåì ýòè êîðíè ñ ÷èñëàìèÏîîïðåäåëÿþùåãîR,òî óðàâíåíèå (9.11) èìååò òðèe1 , e2 , e3ïåðåìåííîéýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé.ω̂ = (2ω0 π)2 (ω + 2c0 (τ0 , ω0 )),èìååò ñëåäóþùóþ ôîðìó:4ω̂ 3 − g2 (τ0 )ω̂ − g3 (τ0 ) = 0,Ïî Òåîðåìå 9.13 è ðåäóêöèè ðàçìåðíîñòè 6 â ðàçìåðíîñòü 3, ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿîïðåäåëåíà íàäR.Òàêèì îáðàçîì âåðíî:∃a ∈ C∗ò.÷.g20 := g2 a2 , g30 := g3 a3 ∈ R.98Eτ 0Ïî Òåîðåìå 9.13 ìû èìååì:13 g20E(τ)=∈ R,4 0ω044 a2 ω04 π 4127 g30E(τ)=∈ R.6 0ω068 a3 ω06 π 6Òàêèì îáðàçîì ñëåäóåò:aω02 π 2 ∈ R.Ðàññìîòðèì çàìåíó ïåðåìåííûõ:ω̃ = aω̂ = a(2ω0 π)2 (ω + 2c0 (τ0 , ω0 )) .Òà êàêaω02 π 2 ∈ R,ìû âèäèì, ÷òîEτ 0Ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿω̃ñâÿçàíî ñωâåùåñòâåííîé ëèíåéíîé çàìåíîé.èçîìîðôíà ñëåäóþùåé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, îïðåäåëåííîéêóáè÷åñêèì óðàâíåíèåì ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè:4ω̃ 3 − g20 ω̃ − g30 = 0.Òàêèì îáðàçîì ÷èñëàe1 , e2 , e3t = 0îòëè÷àþòñÿ îò êîðíåé óðàâíåíèÿ (9.11) â òî÷êåâåùåñòâåííîé çàìåíîé ïåðåìåííîé.Òåîðåìà 9.25.
Ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèåòîãäà, êîãäà√τ0 ∈ −1RÄîêàçàòåëüñòâî.è(τ0 ,ω0 )M6îïðåäåëåíî íàäRòîãäà è òîëüêîω02 ∈ R.Ïóñòü ôðîáåíèóñîâî ìíîãîîáðàçèå(τ0 ,ω0 )M6îïðåäåëåíî íàä√Ïðåäëîæåíèþ 9.24 è Ïðåäëîæåíèþ 9.23 ìîäóëü ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé τ0 ∈−1R.R.ÏîÍåñëîæíîçàìåòèòü èç ðàçëîæåíèÿ Ôóðüå, ÷òî:E2∗ (τ0 ) ∈ R,E4 (τ0 ) ∈ R,E6 (τ0 ) ∈ R.E4 (τ ) ÿâëÿþòñÿ τ ∈ SL(2, Z)ρ, à E2∗ (τ ) îáíóëÿåòñÿ òîëüêî â òî÷êàõ√ρ (ñì. Ïðåäëîæåíèå 9.14). Ñëó÷àé τ ∈ SL(2, Z) −1 áûë ðàçîáðàí âÅäèíñòâåííûìè íóëÿìèSL(2, Z)îðáèò√−1èÐàçäåëå 2.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
