Диссертация (Оценивание параметров микросейсмического источника по измерениям, производимым группой датчиков), страница 7

Подобный выборвесовых коэффициентов позволяет учитывать при вычислении функционалаоценки (1.56) только те пары датчиков, которые содержат достаточноинформации о сигнале источника.Значенияспектральнымфункциикогерентностинаблюдениям(1.57)группымогутx j , j 1, nоцениватьсяпутемстандартнойстатистической процедуры сглаживания по частоте величин xk , j xl*, j ,xk , j2поxk , j2ив скользящем временном окне [13] по формулеxk ,l , jK k ,l  f j  xk , j2xl , j2,где a j означает операцию сглаживания последовательности a j [13].1.7. Фазовые алгоритмы оценивания координат источника с произвольнойдиаграммой излучения.Рассмотренныеисточника,какивышефазовыеалгоритмалгоритмысейсмическойоцениванияэмиссионнойкоординаттомографии,синтезированы в предположении, что вектор частотных характеристик h j  r «путей распространения» сигнала от источника до геофонов группыописывается формулой (1.50), т.е.

определяется только временами  k  r распространения сигнала от источника в точке r до каждого из приемниковгруппы. Последнее справедливо только в случае изотропной диаграммыизлучения микросейсмического источника, т.е. механизма его очага типавзрыва. Механизмы очагов микроземлетрясений, имеют сложную диаграммуизлучения, приводящую к тому, что амплитуды и полярности колебанийсигналов источника на различных датчиках существенно различаются.Математически это выражается в том, что вектор частотных характеристик42h j  r  вместо формулы (1.50) выражается общей формулой (1.12) и зависит нетолько от координат источника r , но и от элементов тензора сейсмическогомомента очага   1 ,...,6  .Теоретический анализ и модельные эксперименты [55,57] показывают,что СЭТ оценка и рассмотренные выше фазовые оценки в случае сложнойдиаграммы излучения приводят к большим ошибкам определения координатисточника, чем в случае изотропного механизма очага.

Т.е. эти оценки необладают свойством робастности (в минимаксном смысле) к механизму очаговмикросейсмических источников: их качество сильно меняется в зависимости отаприори неизвестной диаграммы излучения источника.Предложенный в разделе 4 настоящей главы МП алгоритм позволяетоценивать координаты микросейсмического источника одновременно соценкой шести элементов тензора сейсмического момента, которые однозначноопределяют диаграмму излучения источника. Благодаря этому ошибки МПалгоритма при оценивании координат источника теоретически не зависят отнеизвестной диаграммы излучения. Кроме того, когда диаграмма излученияисточника отличается от изотропной, даже в случае белых шумов эти ошибкисущественно меньшие, чем ошибки СЭТ алгоритма.

Таким образом, МП оценкаявляется более общей чем СЭТ и способна учитывать диаграмму излученияисточника в том смысле, что она использует вектор h j  r,    h j    вместо h j  r  .Вектор h j      hk  f j ,  ,k  1,n  - модель частотной характеристики «путейраспространения» сигнала источника вдоль сейсмических лучей, соединяющихисточник с датчиками группы, можно представить в видеhk f j ,   ak    exp i 2 f j k  r  = ak    exp i k    exp i 2 f j k  r  , (1.59)где 0, если a     0, k k   ,,еслиak     0, Пренебрегая изменениями величины ak    - амплитуды диаграммы излученияв зависимости отkи  , т.е.

полагаяak     1 , путем рассуждений,43приведенныхвразделе1.6,нетруднополучитьфазовыйалгоритм,позволяющий одновременно оценивать и координаты r источника и параметр:  arg min n  xn ,r ,  ,(1.60)rV ,Q n  xn ,r ,     ck ,l  f j   2 f j k ,l  r   k ,l  f j   k ,l    ,nгдеmj 1 k ,l 1k l 0, если a    a     0, klk ,l     . , если ak    al     0, На практике, путём перебора возможных значений параметра  оценка (1.60)позволяетопределятьистинноезначениеэтогопараметра,учитываяотносительные полярности сигналов, генерируемых источником на различныхдатчиках группы при различных диаграммах излучения.Аналогично МПоценке она позволяет учитывать диаграмму излучения источника.Однако, если основная цель мониторинга микросейсмичности состоит вопределении только координат источников, способ совместного оценивания rи θ не выгоден в вычислительном отношении.

К тому же, увеличениеколичества оцениваемых параметров всегда приводит к потере точности ихопределения, т.е. дисперсии ошибок возрастают по отношению книжнейгранице, определяемой мощностью сейсмических помех [21].В то же время, можно построить алгоритмы определения координатмикросейсмического источника, робастные по отношению к его диаграммеизлучения без определения параметров механизма очага. Подобный способбыл, в частности, предложен в патенте [15], где аналогично фазовымрегрессионным методам авторы аккумулируют «временные невязки», причём вкачестве оценки разности времён прихода волн на пару датчиков k , l11 n, n  , максимизирующая абсолютное значениеfd  fdиспользуется величина   выборочной взаимной корреляционной функции C k ,l   колебаний этих волн.Оценка координат источника в этом случае определяется следующей44формулой:nmr  argmin   d k ,l    k ,l  r   argmax C k ,l    ,rVt 1 k ,l 1(1.61)k l1,maxCk ,l     ,d kl  0, max C k ,l     ,где k ,l  r    k  r   l  r  ,   0;1 ,C k ,l   - оценка взаимной корреляционной функции [13] временных рядовyk, j , j  1, n , yl , j , j  1, n для соответствующей модели наблюдений (1.2).В алгоритме (1.61) разнонаправленность полярностей сигналов от источника наразных датчиках группы не мешает определять по наблюдениям относительныезадержки сигналов на этих датчиках.

Действительно, если искажения,вносимые средой при распространении сигналов от источника до датчиков, неоченьсущественны,тосигналыотличаются,восновном,толькоотносительным сдвигом во времени, амплитудой и полярностью. Величинаотносительного сдвига для каждой пары датчиков, несущая информациютолько о координатах источника, однозначно определяется аргументом модуля взаимной корреляционной функции сигнала, независимо от того,совпадают или нет полярности сигналов и каковы их амплитуды. Это иобуславливает робастность оценки (1.61) к диаграмме излучения источника,поскольку диаграмма влияет только на относительные амплитуды и полярностисигналов источника, регистрируемых разными датчиками.Как показано в работе [7], в классе фазовых методов оцениваниякоординат источника, задаваемых формулой (1.56), существует подклассалгоритмов, робастных по отношению к диаграмме излучения источника,который строится путем следующих рассуждений.

При r  r0 и отсутствиипомех разности фаз k ,l  f j  для каждой пары k , l сигналов датчиков и длякаждой частоты f j равны нулю - если полярности сигналов совпадают, илиравны  - если эти полярности противоположны из-за сложной диаграммы45излучения. Поскольку при r  r0 функционал  n  xn ,r  в (1.56) должен бытьминимальным, то функция невязок   2 f j k ,l  r   k ,l  f j   в нем должна бытьвыбрана таким образом, чтобы в любом из указанных случаев ее значение былоравно нулю. Отсюда (из очевидных соображений симметрии) следует, что вслучае сложных диаграмм излучения источника робастные фазовые алгоритмыоценки координат из класса (1.56) должны иметь функции невязок   x  ,удовлетворяющие следующим условиям:1)   x      x  ,   0  0 - условие четности функции   x 2)   x1     x2  , если x1  x2 и x1, x2 0,  / 2 - возрастание на отрезке 0,  / 2 ,3)   x      x  при x 0,  / 2 - симметрия относительно точки  / 2 .Ясно, что этим условиям отвечает, например следующая простейшая функция:x , x   0,  / 2   x , x   / 2,   2  x   .1.8.

Выводы по первой главе.В настоящий момент, для мониторинга сложных физических процессов,генерируемых микросейсмическими источниками, с помощью сейсмическихгрупп датчиков широко используется метод сейсмической эмиссионнойтомографии (СЭТ). В данной главе методами математической статистикиразработаны и теоретически обоснованы алгоритмы оценивания параметровмикросейсмических источников, которые являются серьёзной альтернативойметоду СЭТ – частному случаю метода МП. Кроме того, приведены, такназываемые фазовые алгоритмы, исключающие из рассмотрения амплитуднуюинформацию от наблюдений, регистрируемых датчиками группы и которыешироко применяются для решения аналогичной задачи, встречающейся всмежных прикладных областях, таких как акустика, гидролокация.

В даннойглаве выделен класс оценок, исчерпывающий всё разнообразие фазовыхалгоритмов оценивания параметров микросейсмических источников, а также46обобщающий эти алгоритмы на случай более сложной диаграммы излученияочага.Разработаныфазовыеалгоритмы,инвариантныекнеизвестнымдиаграммам излучения источников, позволяющие оценивать координатымикросейсмического источника при отсутствии априорной информации о егодиаграмме излучения.Теоретически,показать,чтоточностьоцениванияпараметровмикросейсмических источников у разработанных в диссертации методов выше,чем у метода СЭТ, в случае, когда матричная спектральная плотностьмощности помех на каждой частоте отлична от F  f    2I , где I -единичнаяматрица, является непростой задачей, однако в главе 3 этой цели посвящёнмодельный эксперимент Монте-Карло.47Глава 2. Теоретический анализ статистических свойств оценок параметровмикросейсмического источника.2.1.