Диссертация (Оценивание параметров микросейсмического источника по измерениям, производимым группой датчиков), страница 5

Элементами блочной матрицыM    являются значения m m матричнойавтоковариационной функции C    ,  Z временного ряда y k , k Z , котораяможетбытьнайденаиз(1.11)спомощьюобратногодискретногопреобразования Фурье. Ясно, что построение компьютерного алгоритма ММПоценки на основе указанной mn -мерной плотности, практически невозможноиз-за больших вычислительных сложностей, возникающих при значениях mn(около 10000), требуемых в практике сейсмического мониторинга с помощьюповерхностных групп сейсмометров и сложности функциональной зависимостиM 1    от параметров  .Построить практически реализуемую ММП оценку возможно, еслиперейти к эквивалентному частотному представлению временных наблюденийy k , k  1,n при помощи дискретного конечного преобразования Фурье (ДКПФ)[42]. Тогда в частотной области модель (1.2) будет иметь вид:     x f j  h f j u f j   f j fj j fs j 1,n ,nгде x  f j  - ДКПФ наблюдений x k , k  1,n , т.е x fj  xj 1 n y k exp  i 2 kf j / f s , j 1,nn k 1(1.13)26   f j  - ДКПФ значений помех  k , k  1,n ; u f j- ДКПФ значений сигнала висточнике uk , k  1,n , векторы h  f j    получаются путем подстановки частотДКПФ f j будемj fs, j  1,n в функцию (1.12) .

Ниже функцию частоты h j     h f j  nназыватьвекторнойчастотнойхарактеристикой«путейраспространения» сейсмических волн от источника к датчикам группы,комплексныевеличины спектральнымиuj  u f j -отсчетамисигналаисточника, а комплексные векторные величины x j , j  1,n – спектральныминаблюдениями сейсмической группы.В прикладной статистике случайных процессов существует традицияиспользования следующего асимптотического приближения для совместногораспределения гауссовских комплексных случайных величин x j  x  f j  , j  1,n спектральных наблюдений (1.13) [91]:p  xn ;      xn ;     n  xn ;   ,(1.14)где xn  x j , j 1,n - совокупность спектральных наблюдений.n  xn ;      2  detF j    mj 11/ 2exp x*j F j 1    x j , Fj    = F f j , ,(1.15)где F  f j ,  определяется формулой (3.1).При этом полагают, что при больших n слагаемое n  xn ;   в (1.14) достаточномало по сравнению со слагаемым (1.15) и поэтому им пренебрегают.

Этопренебрежениеобычноэвристическиосновываютнаследующихасимптотических свойствах ДКПФ от «отрезка» стационарного случайноговременного ряда [5,21]:а) декоррелирующее свойство ДКПФ:   0 при n   ,max E x  fi  xT f ji, j1,n(1.16)б) асимптотическая нормальность ДКПФ:    N 0,F  f , при n   ,Ln x f jj(1.17)27где Ln x  f j  обозначает совместное распределение действительной и мнимойчастей комплексной m - мерной случайной величины x  f j  ; N 0, F f j , -комплексное m - мерное нормальное распределение с нулевым средним иковариационной матрицей F  f j ,  [5,21]. Оценку параметров  затем находятметодом максимума правдоподобия в виде:  xn   argmax ln  xn ;   .(1.18)QСтрогое математическое обоснование оценки (1.18) как АЭ оценки всмысле равенства (1.10) можно получить путем следующих рассуждений.Известно [49] что совместное распределение значенийy k , k  1,n «отрезка»многомерного стационарного гауссовского случайного временного ряда сМСПМ F  f ,  обладает (при определенных ограничениях на эту МСПМ)свойством локальной асимптотической нормальности (ЛАН) [74,75]:lnp y n ,   n 1/ 2p  y n ,  T1  x n ,   T  n       n  y n ,   ,2(1.19)где n  xn ,   0 по вероятности равномерно по   c , где c - любоеположительное число, и   Q , где Q  R s ограниченное множество параметровМСПМ F  f ,  , 1 n * 1 '  xn ,   x j F j , Fk , j , F j ,1 x j  trF j ,1Fk' , j , ; k 1,q  , n j 1(1.20)1 n n       trF j,1 Fk' , j , F j,1 Fl', j , ; k , l 1, q  , n j 1F j ,  F f j ,  , Fk' , j , F f j , kВекторная статистика   xn ,   в (1.19) представляет собой асимптотическидостаточную статистику (АД-статистику) для параметрапоследовательностьматриц n  φn в (1.19) [74],обладаетсвойством:28lim  n     lim n 1 n    ,nnгдеn   - матрица Фишера для совместногораспределения величин y k , k  1,n .

Ниже мы будем называть  n  φn  предельнойнормированной матрицей Фишера (ПНФ-матрицей).В [20,21], показано, что при дополнительных ограничениях на АДстатистику   xn ,   , существует сфера S в R q с центром в 0 , (где 0 истинноезначение параметров наблюдаемого векторного временного ряда y k ), такая,что при достаточно больших n решение системы уравнений  xn ,    0, Sсуществует и единственно, и корень уравнения (1.21)(1.21)  xn является АЭоценкой параметра 0 .Воспользовавшись известными формулами матричной алгебры [10]:ln detF     tr Fk'    F 1     ,kkF -1     F-1    Fk'    F-1   (1.22)нетрудно показать, что компоненты k  xn ;   АД статистики (1.20)частные производные по параметрам k функции ln  xn ,  , гдеесть  xn ,  определяется выражением (1.15):k  xn ;   =1 1 n * 1 ' 1ln  x n ,    ,x j Fj Fk , j F x j  trFj1Fk' , j =n kn j 1(1.23)Т.е.

  x n ;    n 1/2grad ln  xn ,    . Кроме того, при указанных в работах [20,21] k  xn ;  ограничениях на АД статистику   xn ,   , матрица      l, k ,l 1,q при достаточно больших n является отрицательно определенной.Отмеченные выше ограничения, накладываемые на АД статистику  xn ;   , сформулированы в теореме 1.4.2 книги [21].

В рассматриваемой задачеони имеют место, еслиа) Компоненты hl  f ;   , l 1,m векторной функции (1.12) имеют непрерывныечастные производные третьего порядка по любой компоненте векторногопараметра    rx ,ry ,rz ,1 ,..., q   Q  R s .29б)Выполнены хорошо известные условия регулярности многомерногостационарного временного ряда, накладываемые на матрицу F  f  [58].Следовательно, существует шар S  R q с центром в точке истинныхзначений параметров наблюдений группы y k , k  1,n такой, что при достаточнобольших n асимптотически эффективная оценка может быть получена как  xn   argmax ln  xn ,  .(1.24)SИз (1.15) следует, что вместо ln  xn ,  в (1.24) можно использоватьследующий функционал от наблюдений, зависящий от параметра L  xn ,   nmnln  2  1 n  ln detFj1      xj Fj1    x j .22 j 1j 1(1.25)Используя известную формулу Бартлетта [39] для обращения матриц,представляющих собой сумму эрмитовой матрицы полного ранга и эрмитовойматрицы единичного ранга, получаем:Fj1      Fj ,  g j h j h j*   Fj,1 1Fj,1 g j h j h*j Fj,11  g j h*j Fj,1h j.(1.26)Используя (1.26) можно преобразовать функционал (1.25) к виду,который упрощает вычисления в процессе его итеративной максимизации ипроясняет его "физический" смысл:L  xn     C    xn    ,где  xn     z j  xn ,  Cn21 n*lndetFghhzx,,j,jjjjn j 12 j 1 hj    Fj,1 x jg j 1  hj    Fj,1h j   ,(1.27)(1.28)mnln  2  n  1  x j Fj , x j – постоянная, не зависящая от параметров задачи  .2j 1Таким образом, АЭ оценка (1.24) (решение уравнения (1.21)) имеет следующийвид: 1 n  x n   argmax    ln det F j ,  g j h j    h*j   S 2 j 1 2hj    F j ,1 x j n  .  j 1 g 1  h    F 1 h   jjj , j(1.29)301.4.

Оценка параметров очага при неизвестной временной форме сигналаисточника.При полностью неизвестной временной форме сигнала в источнике u  t спектральныеотсчеты u  f j   u j  j  1 n , входящие в выражение (1.13) дляспектральныхнаблюденийxj ,полностьюнеизвестны,иихследуетрассматривать как мешающие параметры задачи. Из (1.13) при этом следует,чтоспектральныенаблюденияудовлетворяютмоделимногомернойнелинейной регрессии с неизвестными множителям u j в «регрессорах»h j  0  u j . Эти множители являются мешающими параметрами в задачеоценивания информативных параметров  . Поскольку число мешающихпараметров u j неограниченно возрастает с ростом числа наблюдений n, товозникает вопрос: имеются ли при этой постановке задачи регулярные оценкипараметров  , для которых существуют матрицы среднеквадратическихотклонений (МСКО) с асимптотикой (1.8),Нижеметодом,правдоподобия,аналогичнымпостроенаклассическомурегулярнаяоценкаметодуn  xn  ,максимумадлякоторойаналитическое выражение для предельной ковариационной матрицы можновывести, базируясь на результатах, изложенных в [20,21].

Из существованияэтой оценки можно заключить, что в рассматриваемой задаче с неограниченновозрастающим числом мешающих параметров, в принципе, существует целыйкласс K регулярных оценок n параметров  , ковариации   0 , n  которыхимеют асимптотическое разложение (1.8) и удовлетворяют неравенству (1.9).Очень интересной (и до сих пор, по-видимому, не решенной) являетсятеоретическая проблема построения достижимой нижней границы дляасимптотических ковариаций оценок из класса K , аналогичной границе (1.9).Т. е. проблема нахождения такой матрицы   0   J 1  0  , для которойследующее асимптотическое неравенство31   0 , n      0  , φ0  Q ,имело бы место для каждой оценки  n  xn  из класса K .Для построения оценки параметров  при неизвестном сигнале u j ,рассмотрим сначала случай, когда u j заданы.

В этом случае для совместногораспределения наблюдений (1.2) существует ЛАН-разложение (3.9) с АДстатистикой [21]* 1 n h j     1 h j   ,  xn ;    uFxu;k1,q j ,  j jj n j 1  k k(1.30)Легко проверить, что выражение (1.30) является градиентом по параметрам от логарифма следующей аппроксимации совместного распределенияспектральных наблюдений (1.13) при заданных значениях u j , j 1, n :np  x,   j 1*1exp  x j  u j h j    F j ,1 x j  u j h j    ,2 detF j ,(1.31)Следовательно, повторяя рассуждения предыдущего раздела, можноутверждать, что АЭ оценка параметров  в модели наблюдений (1.13) приизвестных u j , j 1, n может быть получена в следующей форме: n*  xn   argmax   x j  u j h j    F j ,1 x j  u j h j   S j 1 .(1.32)В случае, когда мешающие параметры u j , j 1, n не известны, можно,эвристическииспользоватьформальнуюлогикуметодамаксимумаправдоподобия, пытаясь найти «хорошую» оценку информативных параметров , максимизируя правую часть выражения (1.32) не только по компонентам  ,но и по мнимой и действительной частям комплексных величин u j , j 1, n :  xn   argmax L xn , ,u j , j 1,n ,SReu jImu jгде L  xn ,,u j , j 1,n     x j  u j h j     F j ,1  x j  u j h j    .nj 1*(1.33)(1.34)32Оценка (1.33) удовлетворяет следующей системе уравнений:L  xn   u j   0L  xn   u j   0 , j  1 n ;Re u jIm u jk(1.35)L  x n   ,u j   0 k 1 q .Непосредственным дифференцированием функции L  x n   u j  по переменнымRe u j и Im u j , переходим к системе эквивалентной (1.35) :*L  xn   u j    h*j    Fj,1 x j  u j h j      h*j    Fj,1 x j  u j h j     0.Re u j*L  xn   u j    h*j    Fj,1 x j  u j h j     + h*j    Fj,1 x j  u j h j     0.Im u jk(1.36)L  x n   ,u j   0 k 1 q, j 1,n.Первые два уравнения системы (1.36) разрешаются относительно u j независимоот остальных уравнений этой системы.

Для этого рассмотрим разность первогои второго уравнений системы (1.36):L  xn   u j  L  xn   u j   2h*j    Fj,1 x j  u j h j     0 ; j 1, n ,Re u jIm u j(1.37)Из (4.8) следует, что:uj h*j    Fj,1 x jh*j    Fj,1h j   , j 1, n.(1.38)Несмотря на то, что выражение (1.38) для u j , j 1, n было получено из линейнойкомбинации первых двух уравнений системы (1.36), нетрудно убедиться, чтооно также является решением каждого из них.Перепишем функцию (1.34) в видеnL xn ,,u j , j 1,n  j 1x*j F j ,1 x jnj 1u j x*j F j ,1h jn     u*j h*j    Fj,1  x j  u j h j    .j 1(1.39)Последнее слагаемое выражения (1.39) в силу (1.37) равно нулю. Кроме того,поскольку оценка   xn  получается с помощью оптимизации функции L по33параметрам  ,u j , j 1,n , то первое слагаемое в выражении (1.39) в дальнейшемможно не учитывать.