Диссертация (Оценивание параметров микросейсмического источника по измерениям, производимым группой датчиков), страница 8

Выбор оптимальных коэффициентов невязок в фазовом алгоритмеоценивания параметров источника. Случай модели сигнала источника ввиде «отрезка» Гауссовского стационарного случайного процесса.В Главе 1 рассматривался класс фазовых алгоритмов вида (1.60) дляоценивания координат микросейсмического источника r и параметров θ еготензора сейсмического момента по данным поверхностной группы, которыеобладают свойством робастности [31] в отношении помех. Это свойствоозначает, что изменение статистических характеристик последних, в частности– изменение их интенсивности, спектрального состава, и отклонение ихраспределения от Гауссовского закона, существенно меньше влияют нараспределение фаз ДКПФ смеси сигналов с помехами, чем на распределениедискретных отсчетов этих процессов [24].

Это свойство робастностираспределенияпомехами,спектральныхмногократнофазсигналов,подтвержденомаскируемыхслучайнымишироким применением фазовыхалгоритмов обработки данных в различных областях техники, таких какрадиосвязь, радио- и гидро- локация, акустика и геофизика [88,86,60].В данном параграфе рассматривается проблема выбора весовыхмножителей для фазовых невязок2 f j k ,l  r   k ,l  f j  k ,l   (2.1)в слагаемых выражения (1.60), определяющего функционалы n  xn ,r ,  длянаиболее общего класса фазовых алгоритмов, рассмотренного в разделе 1.7.Для этого, очевидно, необходимо знать вероятностное распределение этихневязок, определяемое случайными помехами, воздействующими на датчикигруппы.48Вывод выражения для указанного распределения основывается наописании процессов, регистрируемых датчиками сейсмической группы, каквыходных сигналов многомерной линейной системы (МЛС), имеющей mвыходов, и один вход - функция колебания среды в источнике [7].

Этамногомерная линейная система зависит от векторного параметра φ   r, θ  ,который необходимо определить по наблюдениям ее выходных сигналов.Такое сведение задачи микросейсмического мониторинга к общейстатистической задаче идентификации линейных систем по наблюдениям ихвыходных сигналов является естественным, поскольку процессы генерированиясейсмических волн точечным источником и распространения этих волн вземной среде описываются линейными дифференциальными уравнениямитеории упругости [37].Каждая пара процессов, наблюдаемых на выходе МЛС в задачеоценивания параметров источника описывается следующими выражениями:xk (t )  u(t )  hk (t , 0 )  k t  , k  r1, r2 , l1 , l2 1, m, r1  r2 ,где(2.2)u (t )  hk (t ,  0 )   u  t    hk ( ,  0 )d ,(2.3)0k номер выхода МЛС (номер датчика группы), u (t ) - случайная функция,описывающая колебания среды в источнике, hk (t , 0 ) - импульсная переходнаяхарактеристика МЛС - функция отклика среды на сигнал точечного источникаu(t )    t  (где   t  - дельта-функция) на пути распространения сейсмическоговозмущенияотточечногоисточникадоточкирасположенияk-госейсмоприемника, 0   r0 , θ0  - параметры источника,  u  t    hk (t ,  0 )d - сигнал,0генерируемый источником в k-ом сейсмоприемника, k  t  - случайная помеха,маскирующая полезный сигнал на k-ом сейсмоприемнике.

Для простотыобозначений в дальнейшем изложении будем полагать, что k  1, 249Для существования интеграла (2.3) в среднеквадратическом потребуем[35], чтобыhk (t ,  0 ) d   , K   d   , гдеuK u   - ковариационная функция00процесса.Будем предполагать, что векторный процессu t  ,1 t  ,2 t являетсятрехмерным стационарным гауссовским процессом [30] со следующимихарактеристиками его компонент:E u t   0, E k t   0, k  1, 2(2.4)E u t  k t   0, k  1, 2(2.5)E 1  t  2  t     0 для любого  Z(2.6)Свойство (2.6) выражает некоррелированность помех по пространству.В силу линейности преобразований (2.2) двумерный процесс ( x1 (t ) , x2 (t ) ) также стационарный гауссовский процесс.

С учётом модели (2.1) и свойств(2.4-2.6) спектральные плотности мощности (СПМ) процессов x1 (t ) и x2 (t ) и ихвзаимная спектральная плотность мощности имеют видFk ,k  f   hk  f  cu  f   gk  f  = ak2  f  cu  f   gk  f  , k  1, 22F12  f   h1  f  h2  f  cu  f  = a1  f  a2  f  exp i 2  f   1  f   cu  f  ,(2.7)где b означает, что b есть комплексная величина, а b означает комплексноесопряжение величины b , cu  f  - спектральная плотность мощности процессаu (t ) , gk  f  - спектральные плотности мощности помех (СПМ) k  t  , акомплексные функцииhk  f ,  0   ak  f  exp ik  f    hk (t ,  0 ) exp i 2 f t dt , k  1, 20есть частотные характеристики ветвей МЛС.Отметим, что в силунезависимости помех на различных датчиках (свойство 2.6) взаимнаяспектральная плотность F12  f  не зависит от СПМ помех gk  f  и определяетсятолько сигналами источника на этих датчиках.

Разность фаз 2 ( f )  1 ( f ) имеет50физический смысл относительного запаздывания по фазе на частотеfсигналов, наблюдаемых в двух различных точках земной поверхности.Рассмотрим последовательность двумерных векторов - дискретныхнаблюденийдвумерногостационарногопроцессаx  t    x1  t  ,x2 t   ,гдеxk  t  , k  1, 2 задаются формулой (2.2):xl = x  tl    x1  tl  ,x2  tl   , l  1,n , tl l,fs(2.8)где f s - частота дискретизации по времени.Будем полагать, что частота дискретизации процессов xk  t  , k  1, 2 превышаетудвоенную верхнюю граничную частоту СПМ (2.7) для каждого из этихпроцессов.

Тогда двумерный стационарный временной рядимеет нулевоесреднее значения и матричную спектральную плотность S  f  : F  f  F12  f   fs fs F  f    11 , f   ;  , 2 2 F12  f  F22  f  (2.9)где F11  f  , F22  f  - спектральные плотности мощности, а F12  f  - комплекснуювзаимную спектральную плотность мощности стационарных временных рядовx1  tl  , x2  tl  . В дальнейшем будем предполагать, что двумерный стационарныйвременной ряд xl , l  Z является регулярным процессом максимального ранга[58], [21], т.е.

его спектральная плотность удовлетворяет условию 1q  exp  2fs ln det2 F  f  df   00(2.10)Соотношение, определяемое векторным равенствомx j = x f j  1 n i 2 l j x  tl  exp ,n l 1 n fj j fs  f fs    ,  , j  1,...,nn 2 2есть дискретное конечное преобразование Фурье (ДКПФ) последовательностивекторов x  tl  , l  1,n , которое можно переписать в видеxj  yj izjгдеyj  2 l f j1 nx  tl  cos n l 1 fs  y1 j  , j  1, n    y2 j 51 2 l f j1 nx  tl  sin n l 1 fszj Обозначим  2,n  f j   Arctgz2 jy2 j,  z1 j     ,  z2 j  1,n  f j   Arctgфункцию  n, j   2,n  f j   1,n  f j  , где Arctgabz1 jy2 jj  1, n .(2.11), и рассмотрим случайнуюпонимается как главное значениеаргумента комплексного числа a  ib .

Величина  n , j является вычисленной понаблюдениям (2.8) оценкой разности фаз 12  f   2 ( f )  1 ( f ) в соотношении(2.7) на частоте ДКПФ f  f j . Детерминированная величина 12  f  зависитисключительноисточника utотзадержеквовременисигналамикросейсмическогопри его распространении от очага до рассматриваемыхсейсмоприемников. В силу свойства (2.5) 12  f  не зависит от шумов,воздействующихнаkl  f  , k , l 1, m; f   0, fs / 2микросейсмическогоэтиприемники.однозначноисточникадляСовокупностьопределяетлюбойположение«разумной»величинвсредеконфигурацииповерхностной группы.Для решения задачи, сформулированной в начале данного раздела,требуется найти аналитическое выражение для плотности распределенияp n , j      ,  значении f j случайной величины  n , j  12  f j  при фиксированномj fsв предположении, что двумерный процесс x(t )   x1  t  , x2 t  nявляется стационарным Гауссовским с матричной спектральной плотностьюмощности (МСПМ) (2.9).

Следует отметить, что всюду далее в выражении n , j  12  f j  знак " " имеет смысл разности, взятой по модулю отрезка   ;   .Сформулируем основной теоретический результат настоящего параграфа ввиде утверждения.Утверждение 1.Оценка разности фаз двумерного гауссовскогорегулярного процесса x(t )   x1  t  , x2 t   вычисленная по ДКПФ его выборки52(2.11)y1jкак главное значение аргумента комплексной случайной величины iz1 j  y2 j  iz 2 j  , имеет предельную по размеру выборки ( n   )плотностьвероятности21   f    arccos g  f ,  1,Pf   gf, 3/22 1  g 2  f , 21gf,  гдеg  f ,     f  cos   12  f   ,   12  f     ;   ,f- функциякогерентности процессов x1 t  , x2 t  .Для доказательства этого утверждения будем использовать методы,применявшиесяв[24]длянахождениявероятностныххарактеристикогибающей и фазы Гауссовского узкополосного случайного процесса.Рассмотрим совместное распределение случайных величин y1 j , y2 j , z1 j , z2 j ,т.е.

совместное распределение случайных векторов y j , z j (2.11), котороеявляется Гауссовским вследствие линейности преобразования (2.10) векторовнаблюденийx  tl  , l  1,nГауссовского стационарного процессаx(t )извременной области в спектральную область: x  tl   x j , l , j 1, n . Кроме того, всилу (1.21.3) векторыy j , z j имеют нулевое среднее значение. Поэтомувыражение для плотности этого распределения можно записать в видеpv j ,n u | f j 1 2  detQn, j4y j exp  12 uT Qn,1j u ,(2.12)yгде v j    - 4-х мерный случайный вектор, u    - 4-х мерный вектор zzj аргумент плотности распределения pv ,n  u | f j  вектора v ,Qn, j E y yTj j T E z j y j E y j zTj   E z j zTj (2.13)y j - ковариационная матрица случайного вектора v j    .zj53К сожалению, при конечных размерах n выборки (данных группы) несуществует удобного для практического использования аналитическоговыражения для матрицы Q j,n .