Диссертация (1137451), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Для частного случаяhF hm2аналогичная ковариационная матрица рассматривалась в первомпараграфе этой главы – матрица D  f  в (2.20).В различных приложениях обработки данных сейсмических групп,полученный фильтр w в силу его свойств носит название неискажающегооптимального группового фильтра [88]. Ориентируясь на систему (2.50)выпишем эти свойства ещё раз:w* f h f  h*  f  F 1  f  h  f h*  f  F 1  f  h  f  1, f   0, f s  .(2.58)74min w*  f  F  f  w  f  w1*h f F  f h f 1, f  0, f s (2.59)Возвращаясь к выражению (2.33), обозначим вектор наблюденийXk  f j    X 1 ( f j ),..., X k ( f j )  , тогда для любого j 1, n оценка ДКПФ наблюдаемых*значений сигнала - u  f j  с учётом (2.56) будет иметь следующий видu  f j   w *  f j  X( f j ) h*  f j  F 1  f j  X( f j )h*  f j  F 1  f j  h*  f j (2.60).Интересно отметить, что выражение (2.60) совпадает с формулой (1.38),полученной при решении системы уравнений (1.35) относительно неизвестныхмешающих параметров – ДКПФ сигнала источника, однако статистическиесвойства такой оценки ранее были неизвестны.

Вместе с этим соотношение(2.60) помогает решить проблему практического использования коэффициентов(2.42) для фазового функционала вида (2.38) в случае, когда u  f j  являютсянеизвестными детерминированными величинами. С учётом выполненияважного первого свойства (2.47) фильтра, в среднем неискажающего спектрсигнала, модуль правой части равенства (2.60) может оказаться полезнойоценкой модуля спектральных наблюдений сигнала - u  f j  , j 1, n .Такимобразом, проблема выбора коэффициентов в (2.39) решена и можно выписатьокончательный вид оценки параметров источника при его неизвестнойдетерминированной функции:   arg max        ck , j exp i k , j  k  f j |  nck , jmj 1 k 12, Rk , fh*  f j |   F 1  f j  X( f j ) hi  f j |  Rnj *, 11 F  f  h  f j |  F  f j h  f j |  F  f Ffkjk  j k j.Rk , f j 10 ,Ffk  j(2.61)(2.62)Важно подчеркнуть, что коэффициенты ck , j зависят от оцениваемого параметраочага  ,75В третьей главе, экспериментально будет установлено, что оценка вида (2.61),учитывающая коэффициенты (2.62), наряду с МП оценкой - (1.43) показываетнаилучшую точность оценивания параметра  .2.4.

Вероятностная сходимость оценок координат источника, получаемых спомощью минимизации фазовых невязок.На практике одно из самых важных свойств, которым должна обладатьстатистическая оценка является её состоятельность. Данное требование,предъявляемое к оценкам, является вполне естественным, поскольку в этомслучае ошибки носят исключительно случайный характер (в отличие отсистематического смещения). В этом параграфе приводится доказательствосостоятельности целого класса оценок вида (1.56) для неизвестной случайнойгауссовой временной функции источника.

А именно, доказывается следующееутверждение:Утверждение 2. Пусть в модели наблюдений (1.1)yl  t   sl  t   l  t   hl  t,r   u  t   l  t  , t  0,T  , l 1,m,функция u  t  в источнике является гауссовским регулярным стационарнымслучайнымпроцессом,статистическинезависимымпоотношениюксейсмическим помехам l  t  , и модель среды распространения волн такова, чтоимпульсныепереходныехарактеристикиhl  t,r  ,l  1,mлинейныхсистем,описывающих распространение сигнала u  t  от источника до каждого издатчиков группы, являются дважды дифференцируемыми функциями попараметру r .

Тогда оценка r0 неизвестных координат микросейсмическогоисточника, вычисляемая как аргумент минимума функции (1.56) n  x n ,r     ck ,l  f j   2 f j k ,l  r   k ,l  f j nmj 1 k ,l 1k lсходится по вероятности к истинному значению r0 параметра r линейных76систем hl  t,r  ,l  1,m .Рассмотрим значения векторного параметра r  - координат источника,где  -компактное множество, в частности r0   -истинное значение параметра.Поскольку для любой физически адекватной модели среды распространенияволн функции  k ,l  r  являются гладкими, то случайная функция  n  xn ,r  ,определённая в (1.56) является дважды дифференцируемой по каждойкомпоненте параметра r с вероятностью единица.

Поскольку статистическаязависимость между ck ,l  f j  и k ,l  f j  в общем случае неизвестна, для простотыположим ck ,l  f j   1 . Сформулируем леммы, которые понадобятся в ходедальнейших рассуждений.Лемма 1. Рассмотримj 1, n, n 1,  в которойсхему серий случайных величин  n, j , гдеsup En, j   , sup En2, j   . Пусть также выполненоn, jn, jследующее условие:1sup cov n,k , n, j  = O   , т.е при больших n случайные величины  n ,k ,  n , jk, jnстановятся слабо коррелированнымиnnlim P  n 1   n , j  n 1  E  n , j      0 .n j 1j 1Тогдадля любого   0 .Лемма 2 [9]. Если последовательность случайных величин mn ,i i 1сходится по вероятности при n   к некоторой последовательности чиселmai i 1 , то для непрерывной функцииf : R m  R имеет место сходимость поp f  a1 ,..., am  .вероятности f  n,1 ,...,  n,m  Очевидно, что первая лемма представляет собой закон больших чисел дляслабо коррелированных случайных величин в схеме серий, справедливостькоторого, нетрудно установить с помощью теоремы Маркова [3]:772nn2 n1E    n, j  E n, j     E n2, j    E n , j   2  n  1 n  O    o  n 2  .ni 1j 1 i 122  nc1  o n  nc2  o n2 o nВ нашем случае схемой серий является последовательность  k ,l  f j  j 1 - наборnоценок разности фаз наблюдений пары датчиков с индексами k и l для всехдискретных частот ДКПФ.

Теперь перейдём непосредственно к доказательствуутверждения 2.Для этого, согласно асимптотике решений экстремальныхстатистических задач [81] достаточно выполнения следующих условий:- r0 является внутренней точкой множества  .(2.63)-  -компакт.(2.64)-Существует некоторая непрерывная на  функция T  r   C   такая что  0, lim P sup n1n  xn ,r   T  r     0 , причёмn rr = r0является единственнойточкой минимума для T  r  .(2.65)Если условия (2.63,2.64) верны в силу наших предположений, то условие(2.65), в первую очередь, требует выполнения закона больших чисел дляпоследовательности n1n  xn ,r  .По теореме Лебега о мажорируемой сходимости [19] имеем    x Plim E   k ,l  f j   2 f j k ,l  r   n k ,l , x, f , r  dx  wk ,l  r, f  , f  0, f s .(2.66)Функция Pk ,l  x, f , r  является предельной плотностью вероятности случайнойвеличины k ,l  f j   2 f j k ,l  r  , явный аналитический вид которой может бытьполучен с помощью формулы (2.31).

Здесь было важно, что при всех значенияхk , l  1, m, f j , j  1, n и r  эти случайные величины не являются вырожденными.Интеграл в (2.66) сходится равномерно по r , поэтому для функции wk ,l  r, f существует дифференциал второго порядка по r также как и для  k ,l  r  . Лемма1 вместе с равенством (2.66) устанавливают справедливость закона большихчисел для следующей суммы78fs1 n1 n pf2frwr,fdflimE  k ,l  f j   2 f j k ,l  r   . k ,l  j j k ,l0 k ,ln  nn j 1j 1Последнее вместе с леммой 2 приводят к сходимостиm fspn1 n  xn ,r     wk ,l  r, f  df  lim n 1E n  xn ,r    T  r  .n k ,l 0l k(2.67)Закон больших чисел (2.67) обеспечивает сходимость всевозможныхконечномерных распределений, заданных на C    функций n1n  xn ,r  квырожденному распределению, однако этого не достаточно для сходимостиэтих распределений в метрике пространстваC    .

Иными словами (2.67)гарантирует лишь следующую сходимость  0 sup lim P n1 n  xn ,r   T  r     0.rn (2.68)Однако (2.68) недостаточно для выполнения сходимости (2.65). Существуетнесколько трудов, в которых авторы затрагивают вопрос о достаточныхусловиях сходимости последовательности случайных процессов к некоторой вобщем случае недетерминированной функции [4]. В частности, в нашемконкретном случае, когда предельная функция является неслучайной, дляполного доказательства (2.65) достаточно убедиться в том, что семействослучайныхфункцийn   x ,r 1nnобладаетсвойствомравномернойравностепенной непрерывности по вероятности [81], т.

е.:  0, lim lim P  sup  n  x n ,r + r   n  xn , r      0. 0 n  r (2.69)где r  0 , r   r1 , r2 , r3  а символ   означает норму в R3 .Приступимкдоказательству(2.69).Нетруднопоказатьравномернуюограниченность частных производных функций n1n  xn ,r  и как следствие длиних градиентов:791  n  x n , r  1 m  k ,l  r  n  2 f j  k ,l f j  2 f j k ,l  r  ;nrin k ,lrij 1  l km r 1  n  x n , r  п. н. 2 f s max   y   k ,ly  ; nririk ,ll k 2 f s max   y y  ;   r m(m  1)max k ,l Li  ;k ,l2rirп. н .  n  x n , r  1  ,sup  n  x n ,    L12  L22  L23  L,  n  x n ,     ;rn nii 13По теореме о среднем значении для функий нескольких переменных с учётомнеравенства Шварца [19] имеемп. н.1n, r,  n  xn ,r + r   n  xn , r   L r ;n(2.70)Тогда по теореме Кантора о равномерной непрерывности функции заданной накомпактноммножестве[19],справедливаравномернаяравностепеннаянепрерывность с вероятностью единица для семейства функций n 1 n  x n ,r  :  0,      0 : sup P  sup  n  x n , r + r   n  xn , r      1. r   Ln(2.71)Очевидно, что (2.71) влечёт (2.69) и вместе с (2.68) устанавливаетсясправедливость утверждения 2.Как уже отмечалось, на практике состоятельность является естественнымсвойством, которым должна обладать статистическая оценка.

Однако, какизвестно,вприкладныхзадачахбольшуюзначимостьпредставляетаналитическое выражение для матрицы ошибок оценки векторного параметра,что выходит за рамки настоящего исследования.2.5. Компенсация когерентной помехи как свойство МП оценки.Математически, понятие когерентных помех тесно связано с ихматричнойспектральнойплотностьюмощности(МСПМ).Помехи,действующие на выходе МЛС будем называть когерентными, если их МСПМ80является вырожденной. На практике, как правило, такие помехи индуцируютсянесколькими локализованными в пространстве точечными источниками илиисточниками техногенных помех [83]. Если процессы, порождаемые этимиисточниками не коррелируют друг с другом, то в рамках рассматриваемоймодели, на выходе МЛС их МСПМ будет иметь видsF  f    h k  f  h*k  f  Ck  f  , s  ,(2.72)k 1где Ck  f  - соответствующие этим процессам спектральные плотности,h k  f   h1k  f  ,..., hmk  f T, k 1, s - вектор частотной характеристики среды –передаточная функция k -й МЛС.Для s  m , т.

Характеристики

Список файлов диссертации