Диссертация (1137451), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Однако, второй центральный моментраспределения Pk  | f  (2.37) необходимо получить в удобной для вычисленийформе. С этой целью, можно воспользоваться известными приближениямиплотности P  | f  [24]:67 R 2    i ,n0,k , f k, fPk  | f  exp 2 Fk  f 2 Fk  f Rk , fPk  | f  2  Pk  | f  ,Rk , f1cos   0,k , f  Pk  | f  .2 2 2 Fk  f (2.40)(2.41)Формула (2.40), очевидно, является неплохой аппроксимацией кривой Pk  | f Fk  f   1, в то время, как (2.41) естьв малой окрестности точки 0 при Rk , fлинейная часть разложения функции Pk   в степенной ряд по Rk , f / Fk  f  .

Спрактической точки зрения при расчёте значений функции (2.36) целесообразноподчёркивать те частоты, на которых амплитуда Rk , f сигнала источника на k-мсейсмоприемникеаддитивных помехгруппы 0среднеквадратическоезначениеFk  f  . При этом асимптотически наиболее вероятнымзначением величины k , j k  f j | превышаетбудет являться теоретическое значение фазы, (т.е. с большей вероятностью значение i ,n будет принадлежатьокрестности точки k  f j |0  ). В этом смысле приближённое выражение (2.40)для плотности Pk  | f  более предпочтительно. Поэтому полагаем, чтокоэффициенты ck , j в функционале (2.38) следует выбирать равными обратнымсреднеквадратическим значениям случайной величины, имеющей нормальное   .

Т.е. оптимальные коэффициентыFk f jраспределение с параметрами  0,k , f j , 2Rk , f jв функционале (2.38) равны:ck , j Rk , f jFk  f j u  f j  hk  f j | 0 Fk  f j (2.42)Формулу (2.41) необходимо учитывать для тех частот, при которыхRk , f j Fk f j  1. В этом случае дисперсия фаз, соответствующих этимчастотам, будет близка к дисперсии случайных величин, имеющих равномерноераспределение на отрезке   ;   . Следовательно, в этом случае правильнее68всего будет вообще исключать такие наблюдения из рассмотрения, т.

е.полагать ck , f j  0 .Таким образом, теоретически, мы установили влияние трёх параметров нараспределение наблюденийX i  fn X i  fn , на основе которых строятся фазовыеалгоритмы оценивания параметров микросейсмического источника (глава 1,раздел 6). Применение формулы (2.42)функционаладля коэффициентов ck , f j фазового(2.38) позволит оптимальным образом учитывать следующиефакторы:1. Влияние среды и диаграммы излучения источника, (т.е. функцийhk f j ,   ak    exp i 2 f j k  r  ) на интенсивность сигналов, наблюдаемыхна сейсмоприемниках группы для каждой из рассматриваемых частотДКПФ.2. Спектральные амплитуды временной функции источника:u  f j  накаждой из частот ДКПФ.3. Временную корреляцию помех на каждом из сейсмоприемниках,однозначно определяющую их среднеквадратические значение накаждой из частот ДКПФ:Fk  f j  , j 1,n .Отметим, что на практике величиныu fj  ,Fk  f j  , j 1,n являются, какправило, неизвестными, поэтому для каждой частоты ДКПФ их значениядолжны оцениваться по наблюдениям.

И если оценивание спектральнойплотности мощности помех Fk  f j  может осуществляться по достаточнодлительному временному интервалу записей с помощью стандартной техникиспектрального анализа [13], то оценивание значений спектральных амплитудu  f j  сигнала источника является более сложной задачей. Эта проблема будетразобрана в следующем разделе настоящей главы.692.3. Оценка спектральных амплитуд сигнала источника с помощьюфильтра Кейпона.Задача оценивания неизвестных значений спектральных компонентисточника u ( f j ) на частотах ДКПФ f j fs j, j  0, n на основе наблюденийnгруппы сейсмоприемников (модель наблюдений (2.33)) может быть решена спомощью метода цифровой обработки данных сейсмических групп, впервыерассмотренного Кейпоном [45] и известного как фильтр Кейпона [26].

Этотфильтр с m входами и одним выходом относится к классу дискретныхВинеровских фильтров [21] и отличается от классического фильтра Винера тем,что его импульсная переходная характеристика (ИПХ) q   q1, ,..., qm,  ,  ZTопределяется двумя условиями:Условие 1. При подаче на вход фильтра действительного m-мерноговременного ряда y  h  u ,  Z , представляющего собой выходные сигналыпроизвольной устойчивой линейной системы с одним входом и m выходами ивекторной импульсной переходной характеристикой (ИПХ) h   h1, ,...,hm,  ,Tкотораяизвестнанаблюдателю,выходнойq   q1, ,..., qm,  ,  Z в точности совпадаетTсигналфильтрКейпонас исходной формой входногосигнала u линейной системы с ИПХ h :z  q*  y  u ,  Z .(2.43)При дополнительных предположениях, что входной сигнал u ограниченпо модулю, а ИПХ h и q - суммируемые по модулю последовательности: u  c1   ,  Z , h  c2   , q  c3   ,условие (2.43) может быть выражено в спектральной форме дискретногопреобразования Фурье (ДПФ):w  f  y  f   w  f  h  f  u  f   u  f  ,(2.44)70w  f  h  f   1 , f 0, f s  ,т.е.(2.45)где h  f  , u  f  и w  f  есть ДПФ от h , u и q , соответственно:w f  h f  u f   f ,fs  q exp i2  f ,fs  h exp i2f ,fs  u exp i 2f 0, f s  .Дискретный сигнал источника u во временной области однозначновосстанавливается по его ДПФ спектру u  f  с помощью обратного дискретногопреобразования Фурье:fsf u   u  f  exp i 2  df ,  Z .fs 0(2.46)Из Условия 1, выражаемого формулами (2.43) и (2.45), непосредственноследует, что при подаче на фильтр Кейпона с ИПХ q m - мерного случайногопроцесса x  h *u  ξ , где ξ - случайный стационарный m – мерныйвременной ряд помех, имеющий нулевое среднее значения E ξ   0 иматричную спектральную плотность мощностиF f    B   exp i2f ,fs где B    E ξ ξT  , среднее значение выходного сигнала фильтра Кейпона zтождественно равно сигналу источника u :  E z  = E qT  x  E qT   y  ξ   E qT   h  u   qT  E ξ   u ,  Z .

(2.47)Условие 2 При наличии помех ξ , маскирующих m-мерный выходнойсигнал линейной системы h *u , фильтр Кейпона обеспечивает минимальнуюдисперсию своего выходного сигнала z  qT  x ,  Z , т.е.D  z   E z u 2  E qT ξ   min ,2q Z .(2.48)71Нетрудно показать, что Условие 2, выражаемое формулой (2.48) можетбыть переписано в спектральной форме ДПФ в видеw*  f  F  f  w  f   min , f 0, f s (2.49)w f Пара соотношений w*  f  h  f   1,w*  f  F  f  w  f   min ,w f f 0, f s (2.50)представляет собой математическую постановку задачи условной оптимизациис целью нахождения комплексной векторной m-мерной функции w  f  (суравнением связи w*  f  h  f   1 ).

Эта задача, естественно, эквивалентнанахождению 2m функций от частоты f  0, f s , представляющих действительныеи мнимые части комплексной частотной характеристики фильтра Кейпонаw f .Для решения последней задачи введём упрощающие обозначения:w  f    a1  ib1,..., am  ibm  ; a   a1,..., am  , b  b1,..., bm Th  f   h1 ,..., hmTTT;; F  f    qkl , k , l 1, m  ,(2.51)и запишем функцию Лагранжа, которую необходимо минимизировать подействительной и мнимой частям комплексного вектора w :L  a, b | f   w*  f  F  f  w  f    h*  f  w  f   1 ,где  - множитель Лагранжа. Таким образом, согласно методу множителейЛагранжа необходимо минимизировать следующее выражение при значениивеличины  , которое соответствует уравнению связи (2.45):L  a, b | f  mml ,k 1l 1.  al  ibl  ak  ibk  qkl    hl  al  ibl     mina ,bl(2.52)lНа основе необходимых условий минимизации функции (2.52) выпишемсистему из 2m уравнений:72mL  a, b  maibq l l kl   al  ibl  qlk  2ak qkk   hk  0, k 1, makl 1l 1l kl kmm L  a, b   iaibqi l l kl   al  ibl  qlk  2bk qkk  i hk  0, k 1, m bkl 1l 1l kl k(2.53)Умножая вторую часть системы уравнений (2.53) на i и складывая ее с первойчастью системы (2.53), получим достаточно простую систему комплексныхуравнений:L  a, b  L  a, b  mi   al  ibl  qkl   hk  0, k 1, m ,akbkl 1(2.54)которую можно записать в матричной форме как Fw + h  0 .

Отсюда следует,чтоw = F1h . Таким образом, искомый комплексный вектор w удовлетворяетследующим двум условиям:1w =  F h, *h w  1Подставляя первое из условий (2.55) во второе, получаем, что   (2.55)1.ВhF h* 1свою очередь, подставляя полученное значение  в первое из выражений(2.55), окончательно находим, что выражение:w f  F 1  f  h  f h*  f  F 1  f  h  f (2.56)удовлетворяет необходимому условию, которому должна соответствоватьчастотная характеристика фильтра Кейпона. Т.е. для комплексного вектораwF 1hh*F 1hсоответствующий вектор  a1,..., am , b1,..., bm  его действительных имнимых частей является стационарной точкой функции Лагранжа L  a, b | f  инеобходимое условие экстремума (2.52) выполнено.Проверим выполнение достаточного условия этого экстремума. Для этогорассмотрим вид Гессиана для функции L  a, b | f  :73 2 L2 a1 2  L a2a1 2 Lam a1  2 L b1a1 2  L b2a1 2 L bm a12 La1a2......2 La1am2 La222 La1b122 La1b22 La2b12 La2b2...............2 Lam am2 Lam b1..........2 Lb1a2......2 Lb1am2 Lb122Lb1b2......2 Lb2b12 Lb222 Lbm b1.........2 La2b22.........2 Lbm am2 L a1bm 2 L am bm ;2L b1bm 2 L bmbm 2qii , i  k2qii , i  k2 L2 L;ai ak bi bk qik  qki , i  l 2 Re qki , i  l2 L2 L0, i  k0, i  k;bi ak i  qik  qki   2 Im qik , i  k ak bi i  qki  qik   2 Im qik , i  k .(2.57)С учётом равенств (2.57) и утверждений теоремы о свойствах ДКПФ выборкииз гауссовского распределения – формулы (2.14), матрица  представляетнекоторую предельную ковариационную матрицу гауссовского 2m -мерноговектора, а следовательно эта матрица является положительно определённой иF 1hпри w  * 1 функция L  a, b  достигает свой минимум.

Характеристики

Список файлов диссертации