Диссертация (Оценивание параметров микросейсмического источника по измерениям, производимым группой датчиков), страница 9

Однако, как показано в работах [5,21], для ДКПФвыборки xl , l 1, n из многомерного регулярного временного ряда (2.8)справедливы следующие асимптотические при n   представления дляэлементов матрицы (1.51’).    O  1n  ,    O  1n  ,    O  1n  , 1E y j yTj  Re F f j21E z j zTj  Re F f j2j 1,n1E y j zTj  Im F f j2Ez j yTj  1 Im F f j21 O   , j 1,nn;1E y j yTk  E z j zTk  O   , j,k 1,n ,n(2.14)где матрица F  f  размера 2  2 есть матричная спектральная плотностьдвумерного стационарного процесса  x1  t  , x2  t   , определяемая формулой (2.9),1lim O   n  c , с - некоторая константа.nnСправедливо также следующее утверждение [5,21]:Пусть jn - произвольная последовательность спектральных индексовДКПФ, для которойlim f jn  limnnjn f s f f  f   , s  .n 2 2(2.15)Тогда совместное распределение (1.51) действительных и мнимых частей y jn иz jn ДКПФ выборки xl , l 1, n из многомерного Гауссовского регулярноговременного ряда (2.8) имеет равномерный по f    , s  предел в виде 4х 2 2мерного Гауссовского распределения с плотностью:fpv f  u | f  где1 2 4 detQ  f fexp  12 uT Q1  f  u .(2.16)54Q  f   lim Qn, jn n1  Re F  f  Im F  f 2  Im F  f  Re F  f  (2.17)u   y1, y2 ,z1 ,z2  - 4-х мерный вектор - аргумент плотности распределенияTpv  u | f  4-х мерного случайного вектора v f  y1 f , y2 f ,z1 f ,z2 fTк которомувектор спектральных наблюдение на паре датчиков группыv jn  y1, f j , y2 , f j ,z1, f j ,z2 , f jnnnnTсходится по распределению.Подставляя в (2.17) выражение (2.9) получим следующее выражение дляматрицы Q  f  размера 4  4 : F11 ReF12Q f    0 ImF 12ReF120F22ImF12ImF12F110ReF12ImF12 0 .ReF12 F22 (2.18)Из сказанного выше следует, что при конечном n нет возможности найтиудобное для практического использования аналитическое выражение дляраспределения pv ,n  u | f j  (2.12), а следовательно и для искомого распределенияp n , j   случайной величины  n , j  E  n , j  , где  n , j разность фаз спектральныхнаблюдений для произвольной пары сейсмоприемников группы.

Однако,можно найти выражение для асимптотического распределенияpv  u | f   lim pv ,n u | f jn , и следовательно, для асимптотического распределенияnp  | f   lim p n, j   , где jn удовлетворяет условию (2.15). Всеnnколичественные статистические выводы, которые можно сделать из указанныхасимптотических распределений будут справедливы и при конечных n сточностью до величин, порядка O   .n1Из (2.17), (2.18) следует, что случайные величины yk , f jn и zk , f jn , k 1, 2асимптотически при n   имеют одинаковые распределения, и следовательно,одинаковые дисперсии Fkk , k 1, 2 .

Следовательно случайные фазы55 k ,n  f j   Arctgzk jyk jи  k ,n  f j   Arctgzk jyk j, k 1, 2 ,(2.19)где yk , f j  yk , f j Fkk1/ 2  f  имеют одинаковые предельные распределения наnn  ,   . Следовательно, для нахождения предельного распределенияp  | f   lim p n , jn     ,   разности фаз  n, jn  2,n  f jn   1,n  f jn  можноnиспользовать предельное совместное распределение нормированных случайныхвеличин y1, f j ,z1, f j , y2, f j ,z2, f jnnnn , что упрощает вывод аналитическоговыражения для предельного распределения p  | f  .Из формул (2.14) немедленно следует, что предельное совместноераспределение нормированного случайного вектора v f j  y1, f j ,z1, f j , y2, f j ,z2, f jnnnnnимеет вид:pv f  u | f  1 2  detD  f 4exp  12 uT D1  f  u ,(2.20)гдеD f   10ReF12F11F2201ImF12F11F22ReF12F11F22ImF12F11F221ImF12F11F22ReF12F11F220ImF12 F11F22 ReF12   10A f  B  f  F11F22   01B  f  A f  =,10   A  f  B  f 0  B  f  A  f 01  1где A  f  и B  f  есть действительная и мнимая части комплексной функциикогерентности двумерного временного ряда xl (2.8):f F12  f F11  f  F22  f  A  f   iB  f (2.21)Используя правила матричной алгебры перепишем распределение (2.20) в виде:56pv f  u | f  4 41exp Dik ui uk  ,4 2  detD  f   2detD  f  i1 k 11(2.22)где Dik -алгебраические дополнения матрицы D  f  .

Как показано в работе [7];Di i  1    f  , i  1, 4 ; D12  D21  0 ; D13  D31   A  f  1    f 2D14  D41   B  f 1    f   ; D23  D32  B  f  1    f D24  D42   A  f 1    f   ; D34  D43  0 ;222det Dn = 1    f 2;.2 2(2.23)Согласно (2.23) можем переписать распределение (2.22) в видеpv f  u | f  1 2 m1    f  22exp  1    f 1 2  B  f  u1u4  A  f  u1u2  A  f  u3u4  B  f  u1u4  4 2  uk  k 1(2.24)Далее приведены математические преобразования, предложенные вработе [7], которые приводят к основной формуле для предела при n  плотности вероятности случайной величины  n, j    f  , т.е.

к асимптотическойnплотности распределения p  | f  этой величины.Рассмотримслучайногоa1, f jnвектора, a2, f j , 1, f j , 2, f jnследующееnn , гдеy1, f jnвзаимно-однозначное,z1, f j , y2 , f j ,z2 , f jnam, f j nnym2 , f jnnв zm2, f jnпреобразованиеслучайный, m, f j  Arctgnесть представления двумерных случайных векторов ym, f j ,zm, f jnnzm2, f jвекторnym2 , f j, m 1, 2n в полярныхкоординатах, т.е.

в виде пар случайных величин m, f j , m, f j , m 1, 2 . Найдемсначала предельное при1, f j ,2, f jnn.n распределение случайного вектора фазЯсно, что для этого мы можем воспользоваться предельнымраспределением (2.24) случайного вектораy1, f jn,z1, f j , y2 , f j ,z2 , f jnnn.Совершая в интеграле (2.24) следующую замену переменных:57u1  r1 cos 1 , u2  r2 cos 2 , u3  r1 sin 1 , u4  r2 sin 2и учитывая при этом, что якобиан преобразования u1, u2 , u3 , u4    r1, r2 ,1,2 равенJ  r1 , r2 , 1 , 2  D  u1 , u2 , u3 , u4  r1r2 ,D  r1 , 1 , r2 , 2 получаем следующую предельную функцию плотности случайного вектораη  1, f j , 1, f j , 2, f j , 2, f j :wη  r1 , r2 , 1 , 2  r1r2 2 1   f 21exp 2 1   f r21 r22 (2.25)2r1r2  B  f  cos 1 sin 2  A  f  cos 1 cos 2  A  f  sin 1 sin 2  B  f  cos 2 sin 1 Выразим коэффициенты A  f  , B  f  через модуль комплексной величины   f  функции когерентностистационарных Гауссовских процессов ( x1 (t ) , x2 (t ) ),определяемых выражением (2.1):A  f     f  cos   f  ; B  f     f  sin   f  , где   f   ArctgB f ,A f где   f  - аргумент функции когерентности стационарных Гауссовскихпроцессов ( x1 (t ) , x2 (t ) ), имеющий смысл запаздывания спектральных компонентодного из этих процессов по отношению к другому на каждой из частотf   f s / 2, f s / 2 .Тогда выражение (2.25) примет более простой видwη  r1 , r2 ,1 ,2  r1r2 2 1   f 21exp 2 1   f r21 r 2r1r2 cos 2  1    f  22 .

(2.26)Искомое двумерное предельное распределение p 1 ,2  случайного вектора фаз1, f j ,2, f jnn теперь может быть получено в результате двойного интегрированиявыражения (2.26) по r1 , r2 0, :p 1 ,2     w  r1 , r2 , 1 , 2  dr1dr20 058r1  r1 1    f  ,2Сделав в (2.26) замену переменных:r2  r2 1    f 2получаем интегралI1 1   f 22  r r exp   r211 2 r22  2r1r2 cos   dr1dr2 ,(2.27)0 0где cos       f  cos 2  1    f   .Легко показать, что аналитическое выражение для I 1 может быть получено врезультате дифференцирования по параметру  интегралаI2 1  2  f   2  exp   r21 r22  2r1r2 cos   dr1dr2 ,0 0то есть верно следующее равенство [24]:I1 1 dI 2  .2sin  d(2.28)Интеграл I 2 , в свою очередь, вычисляется путём дополнения до полногоквадрата выражения, стоящего в экспоненте, и замены переменных1  ~r1  ~r2 cos  ,  2  ~r2 sin  .

То естьI2 1   f  sin 22  0exp    d1d2 21222 ctg=1   f 1   f  sin 22  e2d d  0 022 2 sin ,    0;   ,(2.29)где второе равенство есть результат замены переменных 1   cos  , 2   sin  ,а третье – очевидный результат интегрирования последнего двойногоинтеграла.Из (2.28) и (2.29) получаем простое выражение для интеграла I1 :I1 1   f 2 22  2d1 sin    1    f  1   ctg .2sin d4 2 sin 2 После элементарного преобразования последнего равенства можно записатьследующее выражение для плотности вероятности p f 1 ,2 5921   f   1  arccos L ,P 1 ,2  L2 3/2  1  L24 21Lгде(2.30)L    f  cos 2  1    f  Далее заменой переменных: 1  1 , 2  1      f  в соотношении (2.30),интегрированием по переменной 1 , а также с учетом того, что    ;   ,приходим к аналитическому выражению для искомой асимптотическойплотностивероятности   n, j  2,n f jn  1,n f jnслучайнойвеличины n, j    f  ,nгде- разность фаз спектральных наблюдений дляпроизвольной пары сейсмоприемников группы:P    P  ,      f   d1112,1   f  arccosgf,1 g  f , 3/22 1  g 2  f , 21gf,   (2.31)где g  f ,     f  cos  ,     ;   .На Рис.

2.1 приведены графики функции P   , соответствующиеразличным значениям величины  f .Рис.2.1 Функция плотности вероятностей P  60Отметим вытекающие из проведенного анализа статистические свойстваоценки  n, j  2,n  f jn   1,n  f jn  для разности фаз  f  2 ( f )  1 ( f ) спектральныхнаблюдений двух широкополосных стационарных и стационарно связанных[30] случайных процессов x1 (t ) и x2 (t ) (2.8).1. Как следует из асимптотической плотности вероятностей (2.31) величины n, j    f  (и Рис. 2.1, иллюстрирующего это распределение)nlim E  n , jn    f   0 . Т.еn lim E  n , jn    f   2 ( f )  1 ( f )  arctgn Im  F12  f  Re  F12  f  .(2.32)Следовательно,  n , j - асимптотически несмещенная оценка разности фаз2 ( f )  1 ( f )временнойфункциимикросейсмическогоисточниказарегистрированной различными датчиками группы.

При этом, поскольку P  является чётной функцией аргумента  , смещение оценки  n, jnпрификсированной длине выборки n обусловлено именно остаточным членомO 1 / n  в выражениях (2.14), и, следовательно, тоже имеет порядок O 1/ n  .2. Важнейшее для приложений свойство случайных величин  n , j заключается втом, что асимптотическая дисперсия этих величин для любой пары процессовx1 (t ) и x2 (t ) в каналах группы монотонно убывает при стремлении к единицемодуля когерентности этих процессов.3. Из формулы (2.31) следует, что распределение случайной величины  n, jn несходится приn к вырожденному распределению: асимптотическаяплотность P   , полученная при n   , в пределе не является дельта-функцией.Таким образом, оценка  n  f jn  , где lim f jn  f  0, f s / 2 , при каждом отдельномnзначенииfне обладает свойством состоятельности, т.е.