Диссертация (Оценивание параметров микросейсмического источника по измерениям, производимым группой датчиков), страница 10

при n   нестремится по вероятности к разности фаз 2 ( f )  1 ( f ) .61Таким образом, оценка  n , j обладает теми же свойствами, что и взаимнаяпериодограммаy1j iz1 j  y2 j  iz2 j зависящая от частотыf j  0; f s  ,случайных процессов x1 (t ) и x2 (t ) (2.8),которая, как известно [13], являетсяасимптотически несмещенной, но не состоятельной оценкой взаимнойспектральной плотности мощности процессов x1 (t ) и x2 (t ) .Отметим, что в работе [17] проводились исследования статистическиххарактеристик разности фаз двух импульсных сигналов при различныхотношениях сигнал/помеха, однако, эти характеристики определялись нетеоретически, а по экспериментальным данным.

Одним из результатов этойработы было построение оценки для плотности распределения разности фазмежду каналами антенной системы в виде гистограммы, полученной прификсированном временном окне наблюдений. В результате были полученыкривые для плотностей распределения вероятностей разности фаз, которыеаналогичны кривым на Рис. 2.1, определяемым функцией P   (2.31).Свойство 2 распределения (2.31) разности фаз для любой пары процессовx1 (t ) и x2 (t ) в каналах группы позволяет утверждать, что весовые коэффициентыневязок в соответствующих слагаемых функционалов (1.56) и (1.60) должнызависеть от модулей функций когерентности процессов x1 (t ) иx2 (t ) , иприобретать большие значения, только когда взаимная когерентность этихпроцессов достаточно велика.

Действительно в соответствии с принципамирегрессионного подхода к оцениванию параметров распределения наблюдений[12] необходимо регламентировать вклад в функционал оценки значенияневязки для каждого наблюдения, путем умножения этого значения накоэффициент зависящий от дисперсии данного наблюдения.622.2. Выбор коэффициентов при фазовых невязках. Случайдетерминированного сигнала в источнике.На практике природа колебаний, создаваемых точечным источником, невсегда является случайной. В данном разделе, будем рассматривать u (t ) каквещественнуюфункциювремени,полностьюаприорнонеизвестнуюнаблюдателю.

Очевидно, что в этом случае аналитическое представление дляck ,l  f n  будет иметь совершенно другой вид, чем (2.27), поскольку выход МЛС в(2.1) уже не является многомерным стационарным процессом, следовательно,для этой пары не применимо понятие взаимной спектральной плотности, равнокак и функции когерентности.Рассмотрим n дискретных наблюдений процессов на выходахmсейсмоприемников группы полностью аналогичную модели наблюдений (2.2),записанную в непрерывном времени.

Дискретные наблюдения процесса в k-мканале группы имеют видxk  tl  , l 1, n ,гдеtl  tl 1  1/ f s- интервалдискретизации, f s – частота дискретизации. В спектральной области ДКПФуказанные наблюдения имеют следующий вид:X k ( f j )  hk ( f j |) u ( f j )   k  f j  ,j 1, nk  1, m ,(2.33)где X k ( f j ) - спектральные наблюдения в k-м канале группы, т.е. ДКПФвременных наблюдений xk  tl  , l 1, n ;u ( f j ) - ДКПФ отсчётов временнойфункции микросейсмического источника u(tl ), l 1, n ; hk ( f j |) - ДКПФ значенийимпульснойпереходнойраспространенияхарактеристикисейсмическогосредывозмущенияотhk  tl  , l 1, nнапутиисточникадоk-госейсмоприемника группы;  k  f j  , j 1, n - ДКПФ выборки помехи k  tl  , l 1, n ,воздействующей на k-й сейсмоприемник группы, которую мы будем полагатьГауссовским регулярным случайным процессом.63В данном разделе будем считать, что помехи k  t  в различных датчикахгруппы являются статистически независимыми, т.е.

помехи пространственнонекоррелированы.Найдем асимптотическое распределение (при n   ) главного значенияаргументакомплекснойслучайнойвеличиныX k , jn  X k ( f jn ) ,гдепоследовательность ДКПФ индексов jn такова, что lim f jn  f   0, f s / 2  .

Дляnэтого сначала выпишем предельное (при n   )мнимойидействительнойчастейсовместное распределениеспектральныхнаблюденийX k ( f jn )  Re X k ( f jn )  Im X k ( f jn ) , которое является нормальным в силу линейностиДКПФ. Согласно утверждению 1 раздела 2.1 совместная функция плотностипары случайных величин Y1k ,n , Y2 k ,n  , где Y1k ,n  Re X k ( f jn ), Y2k ,n  Im X k ( f jn ) , имеетпредел:lim PY1k ,n ,Y2 k ,n  y1, y2   P  y1, y2 | f  ,nравный: 21 y1  Re u ( f )hk ( f | )   y2  Im u ( f )hk ( f | ) exp Pk  y1, y2 | f  =2 Fk  f 2 Fk  f   .2(2.34)где Fk  f  - спектральная плотность мощности случайной помехи k  t  ,воздействующей на k-й сейсмоприемник группы.Далее, повторяя рассуждения работы [24], приводящие к плотностивероятности полярного угла двумерного гауссовского вектора с независимымикомпонентами, найдем предельное распределение случайной величиныk , jn  arctg  . Im  X k f jnRe  X k f jn(2.35)Для этого, перейдем в плотности вероятности (2.34) к полярным координатамry12  y22 ,   arctgy2:y1642 r  R cos(  ) Rk2, f sin 2 (  0,k , f ) k,f0,k,f1Pk  y1 , y2 | f   P  r ,  | f  exp ,2 Fk  f 2Ffkгде Rk , f  u ( f ) hk ( f | ) , 0,k , f  arg  hk ( f | )u ( f )  ,arg  v  jw  Arctgw   ,   ,   0  vПредельнуюплотность(2.36)вероятностейслучайнойвеличины(2.35)получим, интегрируя предельную плотность вероятности Pk  r,  | f  (2.36) пополярной координате r:Pk  | f    P  r ,  | f  dr 0Rk , f cos(  0,k , f )где   y  2 Fk  f 1221 Rk , f exp 22Ffk Rk , fRk2, fcos(  0,k , f ) exp sin 2 (  0,k , f )  , Fk  f  2 Fk  f (2.37) z 2 exp  2  dz .yНа Рис.

2.2 приводятся кривые плотности вероятностей Pk   0,k , f | f (2.37), каждая из которых соответствует определённому значению отношениясигнал-помеха в k-м сейсмоприемникеRk , fFk  f .Рис.2.2. Кривые плотности распределения вероятностей Pk   0,k , f | f 65Случайная величина k , j есть оценка главного значения аргумента X k ( f j ) и, какследует из (2.37) эта оценка является асимптотически несмещённой, т.е lim E k , jn  0,k , f  0 , где lim f jn  f .nnАнализ выражения (2.37) позволяет определить значения оптимальныхвесовых коэффициентов в функционале (1.60) фазовой оценки максимизациякоторого приводит к оценке векторного параметра    r,θ  с наименьшейасимптотической дисперсией.Перепишем функционал (1.60) в следующем виде n  xn ,φ     cl , j ck , j cos  l ,k  f j |   l ,k  f j  nmj 1 l ,k 1k lnmXl  f j Xk  f j    =   cl , j ck , j cos  l  f j |   k  f j |  - arg- argXl  f j Xk  f j   j 1 l ,k 1nm   ck , jj 1 k 1Xk  f j Xk  f j 2exp i k  f j | m n ck2,k =k 12=   ck , j exp i k , j  k  f j |    n ck2,k ,nmj 1 k 1где k , j Xk  f j Xk  f j m(2.38)k 1, k  f j |   arg hk  f j    u  f j  ,hk f j ,   ak    exp i 2 f j k  r  = ak    exp i 2 f j k  r    k    ,ak    - значение диаграммы излучения источника в направлении сейсмическоголуча, соединяющего источник с k-м сейсмоприемником группы; это значениеимеет знак плюс, если в момент t  0 источникв направлении лучаосуществляет сжатие среды и знак минус – если растяжение среды, 0, если a     0, k k   . , если ak     0, 66Отметим, что функционал (2.38) инвариантен относительно фазовыхсдвигов, одинаковых для всех наблюдений k , j Xk  f j Xk  f j , k  1, m при каждойфиксированной частоте f j .

Иными словами, для любой функции fjсправедливо равенствоnm cj 1 k 1k,j exp i k , j    f j   k  f j |   c  exp i  f j nj 12mk 1k,j 2=exp i k , j  k  f j | 2=2=   ck , j exp i k , j  k  f j |   .nmj 1 k 1Следовательно,оценкапараметров(2.39)источникаφ,получаемаяпутемоптимизации функционала n  xn ,φ , не зависит от arg u  f j  , т.е. не зависит отфазовой характеристики временной функции в источнике, которая не известнанаблюдателю.Поэтойпричиневk  f j |   arg hk  f j    u  f j функционалеможно(2.38)вместоиспользоватьвеличинывеличинуk  f j |   arg hk  f j ,  , зависящую только от  k  r  -времени распространениясигнала источника вдоль сейсмического луча, соединяющего очаг с k-мсейсмоприемником группы, а также от тензора сейсмического моментаисточника, определяющего полярность  k    сигнала от источника в k-мсейсмоприемнике.С точки зрения стандартной методологии регрессионного анализа,множители ck , j в (2.36) должны зависеть от среднеквадратического значенияслучайной величины k , j  k  f j |  .