Диссертация (Оценивание параметров микросейсмического источника по измерениям, производимым группой датчиков), страница 4

Последнеепредположение оправдано тем, что «чистые» сейсмические помехи в районеустановки группы можно наблюдать до и/или после интервала, в которомобнаружен сигнал источника, и следовательно, по этим наблюдениям можнодостаточно точно оценить МСПМ F    . Для этого можно использоватьизвестныевычислительномногомерногоэффективныеалгоритмыстатистическогоспектрального анализа [5,13]. Предположение о гауссовскомраспределении  k , k  1,n связано, главным образом, с его математическойпростотой, поскольку гауссовский стационарный временной ряд полностьюопределяется своей МСПМ F    .Весьма удобное представление о процессе формирования сейсмическихволновых полей, генерируемых точечным источником, даётся лучевой теорией.Согласно основным положениям этой теории, траекторией распространенияволны в сложных средах служит кривая, совпадающая в любой момент временис нормалью к волновому фронту, вдоль которой осуществляется переносэнергии.

Из-за известного эффекта преобразования типов волн при ихпреломлении и отражении на границе раздела двух разно-скоростных слоёв, вточках регистрации сигналов источника будет наблюдаться суперпозициялучей, физически соответствующих интерферирующим волнам.

Поэтомукомпоненты векторной последовательности hk  r , в рассматриваемой задачеимеют следующий видMhk ,l  r ,     al ,i    g k ,l ,i  r  , l 1, m , k Z ,(1.3)i 1где gk ,l ,i  r  - функция Грина [37], описывающая распространение продольнойсейсмической волны вдоль луча Rl ,i , соединяющего точечный источник в точкеr и геофон в точке rl ; M – число интерферирующих волн на каждом геофоне;al ,i    - диаграмма излучения источника, т.е. интенсивность и полярность (знак)излучения источника в направлениях различных лучей Rl ,i , зависящая отпараметров  тензора сейсмического момента источника [37]. Представление20(1.3) для ИПХ среды является довольно общим, однако, поскольку большаячасть энергии волны всегда приходится на преломлённые лучи, на практике вкачестве первого приближения используют только одно слагаемое этоговыражения соответствующее “рефрагированному” лучу, т.

е.hk ,l  r ,   al    gk ,l  r  , l 1, m , k Z(1.4)При этом в главе 3 будет показано, что в некоторых случаях более сложныхтипов источников, определяемых параметром  , модель ИПХ среды (1.4)оказывается непригодной для оценивания векторов r и  .Наиболее сложным является выбор адекватной математической моделисигнала микросейсмического источника uk ,k  1,n(временной функциидеформации среды в точечном источнике). Эти сигналы имеют нерегулярныйхарактер и крайне изменчивы для разных источников. Ниже мы будемиспользовать две математические модели uk .А. Математическая модель сигнала источника в виде «отрезка»стационарного временного ряда.

Несмотря на изменчивость форм сигналовмикросейсмических источников, их амплитудные спектры для конкретнойобласти земной среды в районе установки сейсмической группы часто можносчитать достаточно устойчивыми, поскольку эти спектры, в основном,определяются прочностными характеристиками среды. Т.е.

изменчивыми, восновном, являются фазовые спектры сигналов источников.По этим причинам представляется естественным моделировать uk , k  1,n«отрезком» реализации стационарного гауссовского случайного временногоряда uk , k Z , поскольку реализации такого временного ряда также имеюточень изменчивые фазовые спектры, в то время как их амплитудные спектрызначительно более стабильны [24]. Будем считать, что ряд uk , k Z имеетнулевоесреднееиспектральнуюплотностьмощности(СПМ)g    ,соответствующую типичному спектральному составу сигналов сейсмическихисточников в рассматриваемом регионе.

Неизвестный векторный параметр  Rs , s  qСПМ g    отражает неопределенность имеющейся априорной21информации об амплитудных спектрах сигналов сейсмических источников иможет рассматриваться как мешающий параметр задачи [21]. В этом случаестатистически оптимальное оценивание информативных параметровr ,источника возможно только при одновременном оценивании и мешающихпараметров  .Естественнотакжеполагать,чтослучайныйвременнойрядukстатистически независим от случайных помех  k в модели наблюдений (1.2),поскольку имеет совершенно другую физическую природу, чем помехи.Б.

Математическая модель сигнала источника, в виде полностьюнеизвестнойнаблюдателюпоследовательностидетерминированных(неслучайных) величин uk , k  1,n . При этой модели для построения статистическиоптимальныхоценокинформативныхпараметровr ,приходитсярассматривать всю совокупность неизвестных величин uk , k  1,n в качествемешающих параметров задачи.1.2. Критерии оптимальности при построении алгоритмов оцениванияпараметров микросейсмического источника.Если число оцениваемых параметров в модели наблюдений (1.2)существенно меньше общего числа выборки данных сейсмической группы,равногоmn , то такая модель считается в математической статистикепараметрической вероятностной моделью наблюдений. Для параметрическихвероятностных моделей методы статистической теории оценивания позволяютнаходить оптимальные оценки, т.е. оценки, наилучшие в смысле определенногокритерия качества [76].

Ниже в качестве такого критерия оценок mnпараметровнаблюдений   r ,   Q  R q ,q  множество)мырассматриватьбудем(гдематрицыQ-ограниченноесреднеквадратическихотклонений (МСКО) оценок mn от истинных значений параметров 0 :22T   K mn  0 ,mn   Eφ0  mn  0  mn  0   . (1.5)Для регулярных параметрических вероятностных моделей наблюденийнижняя граница для матриц вида (1.5) в классе несмещенных оценок mnопределяется информационной матрицей Фишера mn  0  [76]:1K mn  0 , mn   mn  0  , 0  Q ,(1.6)где неравенство A  B означает, что A  B - неотрицательно определеннаяматрица.Оценкаmn ,для которой достигается равенство в (1.6), называетсяэффективной и является статистически наилучшей в соответствии с критериемкачества, основанном на матрице (1.5).

Однако такие оценки даже теоретическисуществуют в крайне редких практических задачах. Важно отметить, что еслиэффективная оценка mn существует, то она может быть алгоритмическипостроена методом максимума правдоподобия (ММП) [76].В рассматриваемой нами статистической задаче МП оценку можнопостроить только при полностью известной временной функции деформациисреды в источнике uk , k 1,n в модели наблюдений (1.2) и известномгауссовском распределении аддитивных помех, что конечно совершенно нереально в практических ситуациях.

Но даже в указанном идеальном случае этаоценка не является эффективной в смысле достижения равенства в выражении(1.6) при каждом значении n . Кроме того, ее невозможно реализовать в видепрактически полезного вычислительного алгоритма.Тем не менее, известно, что для «достаточно хороших» статистическихмоделей существуют оценки mn , для которых равенство в (1.6) можетдостигатьсяв пределе по n   (при каждом фиксированном m), т.е. принеограниченно возрастающем количестве векторных наблюдений y k , k 1,n ,1lim nK mn  0 , mn   lim n mn 0   J m1  0  , 0  Q ,nn(1.7)23причем, пределы в (2.3) равномерны по 0  Q .А именно, в работе [16] показано, что асимптотическое равенство (1.7)достигается для некоторой оценки mn , принадлежащей классу регулярныхоценок, т.е.

таких оценок, для которых нормированное уклонение от истинногопараметра  n   mn  0 имеет(прикаждомасимптотическоеm)распределение, если параметрическая вероятностная модель наблюденийудовлетворяет условиям локальной асимптотической нормальности (ЛАН)[74]. Условия ЛАН выполняются для широкого круга практических задач. Врассматриваемой задаче они, в частности, справедливы при гауссовскихаддитивных помехах для физически реализуемых моделей земной среды иточечных источников микросейсмического излучения [21].При выполнении условий ЛАН для любой регулярной оценки mn1справедливы следующие разложения матриц K mn  0 , mn  и mn 0  :,C,m0mn0mnmn,K mn  0 , mn  2nnгдеm  0 , mn   lim nK mn  0 , mn  , n1mn 0  J m1  0 nCJ ,mn  0 n2, (1.8)J m   0   lim n 1mn   0  ,nа матрицы Cmn  0 ,mn  и CJ ,mn  0  при каждом m ограничены по нормеравномерно по n и 0  Q .Матрицуковариационнойm  0 , mn матрицейбудем(АКМ)нижеоценкиназыватьmn ,аасимптотическойматрицуJ m  0 асимптотической матрицей Фишера (АМФ).

Для любых регулярных оценокпри этом справедливо асимптотическое неравенство Рао-Крамера [16]:m  0 , mn   J m1  0  , 0  Q .(1.9)24Оценку mn , для которой в (1.9) достигается равенство1m  0 ,mn   J m  0  , 0  Q .(1.10)называют асимптотически эффективной (АЭ) в классе регулярных оценок.Равенства (1.9), (1.10) имеют существенное практическое значение: онипозволяют (при достаточно большихn ) сравнивать МСКО различныхрегулярных оценок, и исследовать, насколько МСКО какой либо оценки близкок минимально теоретически возможному значению n1J m1  0  .Важнейшимпрактическимрезультатомасимптотическойтеорииоценивания является следующее утверждение [16]:Утверждение.

Если вероятностная модель наблюдений удовлетворяетусловиям ЛАН, то в классе регулярных оценок существует АЭ оценка, котораяможет быть найдена методом максимального правдоподобия (ММП).1.3. Асимптотически эффективная оценка параметров источника прислучайной временной форме сигнала источника.Рассмотрим, прежде всего, модель сигнала uk сейсмического источника ввиде «отрезка» гауссовского стационарного временного ряда с нулевымсреднимзначением,статистическинезависимогопоотношениюкстационарным гауссовским помехам, воздействующим на сейсмоприемникигруппы. Тогдапоследовательность наблюдений y k , k 1, n в левой частивыражения (1.2) представляет собой «отрезок»гауссовского m - мерногостационарного временного ряда с матричной спектральной плотностьюмощности (МСПМ)F  f ; 0   F  f   g  f  h  f  0  h  f  0  ,f  0, f s / 2 ,(1.11)где g  f  - спектральная плотность мощности (СПМ) сигнала в источнике(которую далее мы для простоты изложения будем считать известной);h  f ; k  hk    exp i2 kf  fs fs  , f   , fs  2 2(1.12)25- дискретное преобразование Фурье от hk    , k Z - векторной ИПХ «путейраспространения» сигнала от сейсмического источника в точкеrдоприемников группы (определяемой формулой (1.3)), F  f  - матричнаяспектральная плотность мощности многомерного временного ряда помех,воздействующих на датчики группы.Для построения оценки параметров источника 0 с помощью методамаксимального правдоподобия можно выписать выражение для функцииправдоподобиявсейсовокупностинаблюденийk  1,n ,yk ,котороепредставляет логарифм от гауссовской mn - мерной плотности указанныхнаблюдений.Последняяплотностьопределяетсяобратнойmn  mnавтоковариационной матрицей наблюдений M1    , зависящей от параметров .