Диссертация (Оценивание параметров микросейсмического источника по измерениям, производимым группой датчиков), страница 6

Тогда (1.39) принимает упрощённый видnL xn ,,u j , j 1,n   u j x*j Fj,1h j    .(1.40)j 1Последнее равенство можно переписать, подставив в него выражение дляu j , j 1,n , взятое из (1.38)nL  xn ,   h*j    F j ,1 x j2*1j 1 h j    F j , h j   .(1.41)Решая оставшуюся часть нелинейных уравнений системы (1.36) окончательнополучаем систему уравнений для оценки   xn  :kL  x n ,    0 k 1 q, j 1,n(1.42)Однако на практике, вместо решения системы уравнений (1.42) вычислительноболее эффективным является поиск экстремума функции L  xn ,  , т.е.n  x n   argmax S0h*j    F j ,1 x j*j 1 h j2   F j ,1h j   ,(1.43)где S 0 - некоторая открытая область (шар) в пространстве параметровисточника с центром в включающая точку 0 их истинных значений.Заметим, что на практике диаметр областиL  x, S 0 , в которой функционалимеет (даже при отсутствии шумов) единственный максимум,существенно зависит от расположения сейсмоприемников группы и свойствземной среды, в которой распространяются сейсмические волны от источника кгруппе.Сравнивая оценку (1.29) для модели сигнала в источнике в видегауссовскойслучайной функции с известной спектральной плотностимощности и оценку (1.43) для модели колебаний в источнике в виде полностьюнеизвестной детерминированной функции времени можно заметить, чтоосновная структурная часть функционалов  xn    и L  x, содержит34статистику h*j    F j ,1 x j2- которая «накапливает информацию» о значениипараметра  , содержащуюся в наблюдениях x j , j 1,n .

Вычисление этойстатистики является основной процедурой в обработке данных групп,поскольку она использует априорную информацию о матричной спектральнойплотности мощности F  f  помех, воздействующих на геофоны группы, темсамым эффективно подавляя их, особенно в случае сильно коррелированных попространству(когерентных)Интерпретацияh*j    F j ,1 x j2эффектагауссовскихподавлениястационарныхкогерентныхпомехпомех[47,21].статистикойс точки зрения матричной алгебры приведена ниже в главе 2.При практическом применении МП-оценки (1.43) значения обратнойматричной спектральной плотности мощности помех Fj,1  F1  f j  могутоцениваться по наблюдениям «чистых» помех группы на временныхинтервалах,предшествующихвременивступленияполезногосигналаисточника на геофоны группы.Как уже отмечалось, оценка параметров микросейсмического источника,(1.43) не является асимптотически эффективной в смысле достиженияравенства в асимптотическом неравенстве Рао-Крамера (1.9).

Однако, какпоказано в работе [82], в одном простом частном случае модели наблюдений(1.13) при неизвестных детерминированных u j именно на МП оценкедостигается нижняя граница ошибок в классе регулярных оценок. Более общиерезультаты в этом направлении автором настоящей работы не найдены. Тем неменее,модельныесущественныеисследованияпреимуществаметодомоценки(1.43)параметров микросейсмического источника.Монте-Карлопереддругимипоказываютоценками351.5.

Сейсмическая эмиссионная томография как частный случай МПоценки.Широкоепрактическоеприменениедляоцениваниякоординатисточников в микросейсмическом мониторинге с помощью поверхностныхгрупп геофонов получил метод сейсмической эмиссионной томографии (СЭТ)[53,77]. Во временной области, т.е. при использовании наблюдений y k , k 1, nмодели (1.2), этот алгоритм заключается в нахождении точки максимумафункционала «Сэмбланс» [63]:r set  y n   arg max S  y n , r  ,(1.44)rVnгдеS (y n , r ) m  yl ,k  l ,r k 1 l 1n mk 1 l 12,(1.45)yl2,k   l ,r   l , r  - время распространения сейсмического сигнала от источника до l-гогеофонов группы; V - область земной среды, содержащая микросейсмическийисточник.Используя теорему Парсеваля для ДКПФ о равенстве энергий сигнала иего спектра, а также теорему о сдвиге для ДКПФ [48] нетрудно показать, чтоприменение ДКПФ к наблюдениям y k , k 1, n преобразует выражение (1.45) кследующему видуnS fd  r , x n   h r  xj 1*jnxj 1где22j,(1.46)jh*j  r   exp i 2 f j  l,r  , l 1,...,m .(1.47)Т.е.

СЭТ оценка может вычисляться в частотной области в видеr set  x n   arg max S fd  x n , r rV(1.48)36Так как знаменатель выражения для S fd  r , x j  не зависит от r , оценка (1.47), посуществу получается как аргумент максимума функционалаnS fd  r , xn    h*j  r  x j ,2j 1r set  x n   arg max S fd  y n , r т.е.(1.49)rVСравнивая оценку (1.49),сМП-оценкой параметров источника (1.43),применяемую для оценивания параметра r в том случае, когда параметрыисточника θ фиксированы, заключаем, что r set  xn  является МП-оценкой дляслучая, когда:1) Сейсмические помехи не коррелированны по времени и пространству,т.е.

МСПМ помех F  f    2I , где I - единичная матрица.2) Вектор-функция (3.2) имеет видh  f ,r ,   a exp i 2 f   l,r  , l 1,...,m .(1.50)Компоненты hl  f ,r ,  передаточной функции (1.50) не зависят от параметра  ,её амплитуды одинаковы и не зависят от координат источника r . Это возможнотолько для изотропного механизма источника [37], с тензором сейсмическогомомента aI 3 , и частотно-независимой не поглощающей энергию средыраспространения волн, когда регистрируемые сейсмоприемниками группысигналы отличаются от сигнала источника лишь временными сдвигамиравными   k , r  , k 1,m .Действительно,вектор(1.50)можетбытьполученспомощьюпреобразования Фурье ИПХ hk  r ,    hl  tk ; r  , l  1,m  , где tk  k / f s .

Тогда висходной модели наблюдений с непрерывным временем (1.1) будем иметьhl  t; r   a  t    l,r   , где   t  - дельта-функция. Т. е. свёртка hl  t;r  с сигналомисточника u  t  будет равна au  t    l,r   . Это означает, что среда, в которойраспространяются сейсмические волны от источника до сейсмической группы,37не влияет на форму и амплитуду сигнала этого источника, а лишь задерживаетсигнал во времени.Изсказанногоследует,чтоСЭТ-оценкакоординатисточника,определяемая выражением (1.47), есть частный случай МП-оценки при«взрывном» механизме микросейсмического источника и при сейсмическихпомехах в виде белого шума по времени по пространству. Такие условия редкоимеют место на практике, где механизмы источников связаны с развитиемтрещин в среде, и поэтому диаграммы излучения источников зависят оториентации трещин, и для разных направлений излучения амплитуды иполяризация (сжатие – растяжение) излучаемых сигналов существенноразличаются.

Сейсмические помехи, как правило, имеют техногенноепроисхождение, и поэтому могут быть сильно коррелированными как повремени, так и по пространству. Т.е. матрица среднеквадратическихотклонений (МСКО, (формула 1.5)) для СЭТ–оценки в реальных условияхдолжна быть существенно больше, чем для МП-оценки (при оценивании r ,когдаθфиксировано),посколькуМП-оценкаучитываетаприорнуюинформацию о корреляционных свойствах помех и диаграмме излученияочага. Последнее находит подтверждение в экспериментах с модельнымисигналами и записями реальных помех [73].1.6. Фазовые алгоритмы определения координат источника.Важнейшим для практики свойством любой статистической оценкиявляетсяеёробастность[31,40],т.е.устойчивостьстатистическиххарактеристик оценки к отклонению реальных свойств наблюдений отматематическоймодели,рассматриваемойзадачехарактеристикиспользованнойэтосейсмическихсейсмоприемников, илимогутпомех,отклоненияприбытьпостроенииотклонениявоздействующихоценки.Ввероятностныхнагруппудиаграммы излучения реальногоисточника от той, которая была заложена в модели.38Ниже исследуются подходы к построению алгоритмов определениякоординат микросейсмического источника, робастных по отношению кхарактеристикам помех.

Первый из этих подходов основан на модификацииполученной в предыдущем параграфе оценки сейсмической эмиссионнойтомографии (СЭТ).Как указывалось выше СЭТ оценка (1.47) является МП оценкой только вслучае, когда помехи представляют собой белый шум во времени ипопространству, и при отклонении характеристик помех от этой простейшеймодели точность СЭТ оценки существенно уменьшается.

В работе [43],посвящённойлокацииисточниковакустическихволнспомощьюпространственных микрофонных групп, показано, что точность локации вслучае реальных помех, отличных от белого шума, можно повысить, исключаяиз рассмотрения амплитуды спектральных наблюдений и используя толькофазы этих наблюдений. А именно, было предложено использовать оценку соструктурой оценки СЭТ в частотной области, в которой вместо спектральныхнаблюдений xk  f j   xk , j в каждом из k  1, m каналов используются величины exp ik , j  ,xk , jxk , j(1.51)где k , j - фаза спектральных наблюдений xk , j k-го канала на частоте f j .Раскрывая в выражении (1.49) для функционала оценки СЭТ квадрат модуляслагаемых иподставляяв полученное выражение вместочастотныхнаблюдений xk , j их фазовые компоненты (1.51), получим следующую оценкукоординат микросейсмического источника:r phase  x n   argmax  n  x n ,r  ,(1.52)rVгде n  xn ,r     hl*, j  r hk , j  r  exp i k , j  l , j  .nmj 1 k ,l 1Учитываяфункционалвыражение n  x n ,r источника в виде:(1.48)фазовойдляоценкиhk , j  r  ,окончательнокоординатзапишеммикросейсмического39 n  xn ,r   a 2   cos 2 f j k ,l  r   k ,l  f j nm(1.53)j 1 k ,l 1 k ,l  r    k  r   l r  - разность времен прихода сигнала от источника сгдекоординатами r на k-й и l-й геофоны группы, k ,l , j  k , j  l , j - разность фазспектральных компонент (на частотах f j , j 1,n ) для наблюдений k-го и l-годатчиков группы.

Очевидно, что k ,l  f j  являются случайными величинами,распределение которых исследовано в главе 2.Использование только фазовой информации наблюдаемых процессов дляоцениванияпараметровполезныхсигналов,искаженныхслучайнымипомехами, является широко распространенным методом в акустике ирадиолокации. В экспериментальной части работы (глава 3) на основечисленных экспериментов показано, что в случае реальных сейсмическихпомех оценка (1.53) обеспечивает существенно более высокую точностьопределения координат источника, чем СЭТ оценка (1.47).Следующее представление функционала (1.49) наводит на мысль, чтовозможно построение целого класса фазовых функционалов с различнымивесовыми множителями и функциями невязок:nmS fd  a 2   xk , j xl , j exp i k , j  l , jj 1 k ,l 1 exp i2 f j  k r   l r  == a 2   xk , j xl , j cos 2 f j k ,l  r   k ,l  f j  .j 1 k ,l 1nm(1.54)Например, рассмотрим модель наблюдений для разностей фаз в каналахгруппы в форме стандартной статистической модели нелинейной регрессии:k ,l  f j   2 f j k ,l  r0    k ,l  f j  , k , l 1, m, k  l , j 1, n .(1.55)В [7] показано, что фазовые помехи  k ,l  f j     ,   в асимптотике имеютсредниезначения,равныенулю.Поэтому,используястандартныйстатистический метод «минимизации невязок» (по существу, основанный назаконе больших чисел) можно построить следующий класс фазовых оценоккоординат источника [23,8]:40r ph  x n   arg min n  x n , r  ,(1.56)rV n  x n ,r     ck ,l  f j   2 f j k ,l  r   k ,l  f j nгдеmj 1 k ,l 1k lОценки (1.56) отличаются друг от друга «функциями невязок»   x  - четныминеубывающими функциями, заданными на  ,   , а также весовымикоэффициентами ck ,l  f j  .

Последние определяют степень влияния невязкикаждого из наблюдений k ,l  f j  в модели (1.55) на значение минимизируемогофункционала  n  xn ,r  . Функция невязок и весовые коэффициенты могутвыбираться в зависимости от априорной информации о распределении фазовыхпомех  k ,l  f j  в нелинейной регрессионной модели (1.55). В частности, еслираспределение  k ,l  f j  достаточно хорошо аппроксимируется гауссовскойкривой или кривой распределения Лапласа, то оптимальными являютсяфункции невязок   x   x2 или   x   x , соответственно.

При ck ,l  f j   1 и  x   1  cos x оценка (1.56) эквивалентна фазовой оценке (1.53), полученнойпутем модификации СЭТ оценки.В [23,8] для построения весовых коэффициентов ck ,l  f j  предложеноиспользовать значения квадрата взаимной когерентности [2,13] междунаблюдениями на различных парах геофонов:K k ,l  f j  S k ,l  f j 2S k  f j  Sl  f j ,(1.57)где Sk ,l  f  - взаимная спектральная плотность мощности наблюдений на k-м и lм сейсмоприемнике, Sk  f  и Sl  f  - спектральные плотности мощности этихнаблюдений. В качестве ck ,l  f j  целесообразно применять пороговую функциюот K k ,l  f j  :1, если K k ,l  f j   K 0 ,ck ,l  f j   0, если K k ,l  f j   K 0 ,(1.58)41где K0 0;1 - заданный порог взаимной когерентности.