Диссертация (Оценивание параметров микросейсмического источника по измерениям, производимым группой датчиков), страница 13

е. когда число источниковменьше количества выходов МЛС матрица является вырожденной для любогоf и её ранг меньше m . В этом случае, как известно, матрица (2.72) допускаетфакторизацию [21]:F  f   A  f  A*  f  ,(2.73)где A  f   1  f  h1  f  , h 2  f  ,...,  s  f  h s  f   ,  k  f   k*  f   Ck  f  .

Матрица (2.73)имеет ранг s . Введём дополнительные обозначения: 1  f 0TQ  f    h1  f  , h 2  f  ,..., h s  f   ,   f    0000 . s  f  0(2.74)В функционалах (1.27),(1.41) используемых для оценки параметровисточника,матричныйF 1  f  : Cm  Cmоператоробладаетинтереснымпредельным свойством, которое позволяет эффективно устранять когерентнуюпомеху с МСПМ имеющей вид (2.72).Рассмотрим случай “почти” вырожденной матрицы F  f  :F  f   A  f  A*  f    V  f  .ЗдесьA  f   Cms , V  f   Cmm ,s  m.Число (2.75)является регуляризирующимпараметром в выражении (2.75), а V  f  есть матрица полного ранга.

Применяятеорему о биномиальном разложении обратной матрицы, представляющей81сумму матрицы полного ранга и вырожденной матрицы, получаем следующееразложение матрицы F1  f  [39]:F 1  f    A  f  A*  f    V  f  1  1V 1   1V 1A  I + A*V 1AДалее раскладывая матричное выражение  I + A*V 1A 11A*V 1.по малому параметру , мы приходим к ключевой формуле утверждения (6.1) книги [21]: 12F1  f    1V 1   1V 1A  A*V 1A   A*V 1A  O  2  A*V 1 12  1  V 1  V 1A A*V 1A A*V 1   V 1A A*V 1A A*V 1  O   GW  1W  G  O  (2.76)Анализируя последнее матричное равенство, можно показать, что матрица Wне зависит от спектральных плотностей помех Ck  f  :A A*V 1A1   QQ Q .A*  Q * Q*V 1Q  Q Q*V 1Q 111Q*  Q Q*V 1***Таким образом, матрица W принимает видW = V 1  V 1Q Q*V 1QВыражение(2.77)представляет1Q*V 1.матричныйоператор,(2.77)действующийвпространстве Cm и проектирующий каждый вектор этого пространства нанекоторое множество    Cm , которое является ортогональным дополнениемк линейной оболочке  вектор-столбцов матрицы Q .

Последнее означает, чтодля любого вектора a  Cs вектор Qa  M является линейной комбинациейвектор-столбцов матрицы Q и для него справедливо равенствоWQa = V 1Qa  V 1Q Q*V 1Q1Q*V 1Qa  0.(2.78)При достаточно малых  , как следует из (2.76)F 1  f    1W .(2.79)Таким образом, матричные выражения (2.77), (2.78) и (2.79) определяютпредельное свойство оператора F1  f  , позволяющее утверждать, что дляоценок вида (1.29),(1.43) ошибки оценивания параметра  , обусловленные82случайными помехами, действующими на выходы линейной системы в модели(1.1), уменьшаются при   0 независимо от мощности помех Ck  f  , k  1, s, s  mБолее того это свойство справедливо для тех помех, математическая моделькоторых представлена многомерным регулярным процессом с МСПМ вида(2.75).2.6.

Выводы по второй главе.Получен предельный вид плотности вероятности оценки главногозначения аргумента взаимного спектра двух гауссовских стационарныхпроцессов.Предложен выбор весовых коэффициентов при функции невязок вфазовых алгоритмах определения параметров микросейсмического источникадля случаев, когда временная функция колебаний в источнике является 1)детерминированным сигналом; 2) случайным гауссовским стационарнымпроцессом, статистически независимым по отношению к аддитивным помехам.Приводится доказательство статистической состоятельности оценок,получаемых с помощью фазовых алгоритмов, для случая, когда количествонеизвестных параметров модели возрастает прямо пропорционально объёмувыборки.Теоретически показано, что в случае коррелированных по пространствуаддитивных помех, методоценивания параметров микросейсмическогоисточника МП обладает особым свойством компенсировать эти помехи,независимо от их мощности.83Глава 3.

Исследование качества определения параметровмикросейсмических очагов с помощью моделирования.3.1. Критерий качества оценивания и алгоритм создания гибридныхсейсмограмм.Вданнойстатистическихглавебудутхарактеристикпредставленыкачестварезультатыопределениясравненияпараметровмикросейсмических источников каждым из рассмотренных в первой и второйглавах методов микросейсмического мониторинга с помощью поверхностныхгрупп. В качестве оцениваемых параметров источника для простотывизуализациирезультатовпространственныеикоординатыуменьшенияисточника.вычисленийТакжесбылицельювыбраныупрощенияпонимания и ссылок на конкретный способ оценивания, для соответствующихим алгоритмов, реализующихэти оценки на ЭВМ, введём краткиеаббревиатуры:(1.43) соответствует алгоритму максимального правдоподобия – МП.(1.43) для случая диагональной матрицы спектральной плотностимощности помех соответствует алгоритму ДМП.(1.48) - традиционный метод СЭТ.(1.52) - фазовый метод ФМ.(1.56) для функции невязок   x    cos x и коэффициентов ck ,l  f j  ,определяемых выражением (1.57), соответствует методу КФМ.(1.60) - Фазовый метод с настройкой на механизм очага, ФНМ.(1.61) - Корреляционный метод, КМ.(1.56) для функции невязок   x   1  cos 2x и ck ,l  f j   1 соответствуеталгоритму ФРМ.(2.61) вместе с выражением для коэффициентов (2.62) – адаптивныйфазовый алгоритм – АФМ.84Чтобы оценить точность локации, обеспечиваемую этими алгоритмами вслучае, когда на датчики поверхностной группы воздействуют реальныесейсмические помехи, сначала зададим критерий точности такой оценки.Благодаря стохастической природе поверхностных сейсмических помех всеуказанные оценки координат являются векторными случайными величинами.Следовательно, точность локации, обеспечиваемаяполностьювероятностиопределяетсяP rx ,ry ,rzсовместнойкаждой из этих оценок,функциейраспределения(ФР)компонент соответствующего случайного вектораr =  rx ,ry ,rz  .

Распространенным на практикекритерием точности векторнойоценки, основанном на совместной ФР, является доверительная область r , т.е.множество двумерного пространства, в котором случайный векторrоказывается с заданной вероятностью (например, 0.9). Простейшим и наиболеепопулярнымкритериемточностиоценкиявляютсякорниизсреднеквадратических (RMSD) отклонений компонент векторной оценки отистинных значений координат:1/ 2T     RMSD r    E  r  r0  r  r0      , r0   rx0 ,ry0 ,rz0  ,где r0 - истинные значения соответствующих координат сейсмическогоисточника.Теоретически,RMSDоценоккоординатисточникатакжевычисляется на основе совместной ФР векторной оценки r .

Формальноеопределениесовместныхплотностейвероятностей(ПРВ)оценокr,получаемых с помощью рассматриваемых методов практически невозможно всилу сложности соответствующих им функционалов от выборки, даже еслиизвестны все вероятностные характеристики случайных процессов на выходахдатчиков поверхностной группы. На практике наиболее эффективным методомопределения ФР оценок координат источника является метод независимыхиспытаний, широко известный как метод Монте-Карло [12,73].

Используя этотметод, мы имеем возможность многократно оценить с помощью каждого из85алгоритмовлокациисейсмическогокоординатыисточника,искусственногоиспользуядостаточно(синтетического)большойансамбльстатистически независимых многоканальных сейсмограмм поверхностнойгруппы, содержащих смесь сигналов источникаи записей реальныхсейсмических помех, воздействовавших на датчики группы. Ниже мы будемназыватьтакиемногоканальныесейсмограммы«гибриднымисейсмограммами».

Таким образом, для каждого метода оценивания координатисточника можно рассчитать множества значений оценок r m , m  1,...,M  , гдеM - число использованных гибридных сейсмограмм. Эмпирические функциираспределения вероятностейP rx ,ry ,rzзатем определялись с помощьюнепараметрического (ядерного) метода Парзена-Розенблата [41], примененногок множествам статистически независимых значений оценок координатr m , m  1,...,M  , соответствующих каждому из алгоритмов.

Эмпирическиефункции распределения вероятностей P  rx ,ry ,rz  далее использовались дляпостроенияспомощьюстандартныхстатистическихметодов[76]доверительных областей, соответствующих каждому из алгоритмов локации.Определение RMSD компонент оценок r (оценок rx ,ry ,rz - координат источника)производилось на основе множеств r m , m  1,...,M  по следующей формуле  1RMSD r     M1/ 2T  rrrrmm0 0  m 1 M, r0   rx0 ,ry0 ,rz0  .Для оценивании эмпирической совместной ПРВ оценок координат источникапомножествугибридныхсейсмограммнеобходимобылопреодолетьзатруднения, связанные с нестационарным характером реальных сейсмическихпомех, которые порождаются технологическими операциями при гидроразрывепластов.

Мощность и спектральный состав этих помех меняются во времени и впространстве. Это приводит к различным отношениям сигнал-шум (SNR) вразличных каналах многоканальных гибридных сейсмограмм. Кроме того, SNR86в каждом из каналов могут оказаться разными для разных гибридныхсейсмограмм. Поэтому теоретические ПРВ оценок координат r m , m  1,...,M , впринципе, различны для разных m , т.е.

зависят от того, по какой из гибридныхсейсмограмм вычислена та или другая оценка r m . Этот факт противоречитстрогим теоретическим условиям применимости статистического методанезависимых испытаний. Однако, теоретический анализ [21] показывает, чторазличия в теоретических PDF оценок r mпри разных m (т.е. оценок,вычисленных с использованием разных гибридных сейсмограмм) могут бытьсущественно уменьшены, если среднее по каналам SNR (ASNR)сейсмограммы одинаково при всех m  1,...,M .для m -йУказанная средняя величинаопределяется следующим соотношением2 K N 1  cm sk  tl  ASNRm   k K1 l N12  k ,m  tl  k 1 l 11/ 2,где sk ,m  tl  синтетический сигнал источника в k - м канале; k ,m  tl  - шумоваячасть k - го каналаm -й гибридной сейсмограммы, определяемая темфрагментом записи помех, который использовался для создания даннойгибридной сейсмограммы; cm - множители, значения которых выбираются,чтобы обеспечить равенства ASNRm  ASNR0 для всех m  1,...,M ; ASNR0 назначаемая априори величина среднего по каналам SNR для всех гибридныхсейсмограммвданнойпроцедуремоделирования.Такимобразом,вычислительная процедура «встраивания» копий синтетического сигнала вразличные фрагменты записи реальных помех при создании гибридныхсейсмограмм должна включать специальный блок для расчета множителя cmдля каждой m -й гибридной сейсмограммы.