Диссертация (Редукции бездисперсионных интегрируемых иерархий и уравнение Левнера)

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå àâòîíîìíîåîáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ¾Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêèÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÀõìåäîâà Âàëåðèÿ ÝäóàðäîâíàÐåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííûõ èíòåãðèðóåìûõèåðàðõèé è óðàâíåíèå ËåâíåðàÄèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê ÍÈÓ ÂØÝÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüÇàáðîäèí Àíòîí Âëàäèìèðîâè÷äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóêÌîñêâà 2018Ñîäåðæàíèå1 Ââåäåíèå42 Óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà142.1Èñòîðèÿ óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 142.2Ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3Õîðäîâîå óðàâíåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ ÊÏ è ñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1Ðåäóêöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2Ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Áåçäèñïåðñèîííûå Ïôàôôîâû èåðàðõèè3.13.23.3Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ3.1.2Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû . . . .

. 244.2. . . . . . 23Ýëëèïòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ3.2.2Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû . . . . . 33. . . . . . 27Ñðàâíåíèå ñ äðóãèìè èåðàðõèÿìè . . . . . . . . . . . . . . 354 Îäíîêîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè4.123Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ39. . . . . . . . . . 394.1.1Óñëîâèå ñîãëàñîâàííîñòè äëÿ îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2Ñèñòåìà óðàâíåíèé è èõ ðåøåíèå . . . . . . . . . . . 424.1.3Ñâÿçü ñ Ïåíëåâå VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû . . . . . . . . . 445 N-êîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè áåçäèñïåðñèîííîé èåðàðõèèÏôàôô-ÊÏ475.1Ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà è áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 4725.2Ñèñòåìà Ãèááîíñà-Öàðåâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3Îáîáùåííûé ìåòîä ãîäîãðàôà . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4Ìåòðè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû gi . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5Ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 616 Çàêëþ÷åíèå637 Ïðèëîæåíèÿ657.1Ïðèëîæåíèå I. Íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ î òýòà-ôóíêöèÿõ,íåêîòîðûå òîæäåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2Ïðèëîæåíèå II. Äîêàçàòåëüñòâî óðàâíåíèÿ (110) . . . . . . 687.3Ïðèëîæåíèå III. Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî òîæäåñòâà . . . 727.4Ïðèëîæåíèå IV.

Âûâîä ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà èç (111) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.5Ïðèëîæåíèå V. Íåêîòîðûå âû÷èñëåíèÿ äëÿÏôàôôÒîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.6Ïðèëîæåíèå VI. Êîýôôèöèåíòû Γij . . . . . . . . . . . . . 797.7Ïðèëîæåíèå VII. Äîêàçàòåëüñòâî Γij =7.8Ïðèëîæåíèå VIII. Äîêàçàòåëüñòâî∂λk Γij = Γij Γjk + Γik Γkj − Γik Γij . . .

. . . . . . . . . . . . . 937.9Ïðèëîæåíèå IX. Äîêàçàòåëüñòâî óðàâíåíèÿ (185) . . . . . . 101Ñïèñîê ëèòåðàòóðû12∂λj log gi . . . . . 8910731ÂâåäåíèåÍà ñåãîäíÿøíèé äåíü õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâàîäíîëèñòíûõ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé îáëàñòåé ñ ðàçðåçîì âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé íà ôèêñèðîâàííóþ êàíîíè÷åñêóþ îáëàñòü (êàê ïðàâèëî,âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü èëè åäèíè÷íûé êðóã) ïîä÷èíÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Ëåâíåðà (ñì., íàïðèìåð, [1]). Èìåííî ñ ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû íà÷íåì íàøå èññëåäîâàíèå.

Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå Ëåâíåðà çàäàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî êîíôîðìíûõîòîáðàæåíèé êàíîíè÷åñêèõ îáëàñòåé â ñåáÿ è ñëóæèò ìîùíûì èíñòðóìåíòîì èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ îäíîëèñòíûõ ôóíêöèé. Âïåðâûå îíî ïîÿâèëîñü â ðàáîòå Êàðëà Ëåâíåðà â 1923 ãîäó [2] è îòíîñèëîñü ê ôóíêöèÿì, îïðåäåëåííûì â åäèíè÷íîì êðóãå D. Óðàâíåíèå ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíóþ èçìåðèìóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ èãðàåò ðîëü "óïðàâëÿþùåé"ôóíêöèè. Ïîçäíåå â íîâûõ âåðñèÿõ óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ðàññìàòðèâàëèñüäðóãèå êàíîíè÷åñêèå îáëàñòè: ïîëóïëîñêîñòü, ïîëîñà, êîëüöî. Íàèáîëüøåå âíèìàíèå â ïîñëåäíèå ãîäû óäåëÿåòñÿ "ðàäèàëüíîìó" óðàâíåíèþäëÿ D è "õîðäîâîìó" óðàâíåíèþ äëÿ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè Í.

 ïåðâîé ãëàâå äàííîé ðàáîòû îïèñàíû íåêîòîðûå èñòîðè÷åñêèå ôàêòû ðàçâèòèÿ ìåòîäà Ëåâíåðà è óðàâíåíèé, íîñÿùèõ ñåãîäíÿ åãî èìÿ.Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòàõ Äæ. Ãèááîíñà è Ñ. Öàðåâà [3, 4], âîçíèêàåò èíòåðåñíàÿ ñâÿçü óðàâíåíèÿ Ëåâíåðà ñ èíòåãðèðóåìûìè èåðàðõèÿìè íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.Õîðäîâîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â êëàññèôèêàöèèðåäóêöèé èåðàðõèè Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè (ÊÏ, KP) â áåçäèñïåðñèîííîì (äëèííîâîëíîâîì) ïðåäåëå.

À èìåííî, îíî ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàííîñòè îäíîêîìïîíåíòíîé ðåäóêöèè ñî âñåé áåñêîíå÷íîé èåðàðõèåé.Ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå Ëåâíåðà èãðàåò àíàëîãè÷íóþ ðîëü â èåðàðõèèáåçäèñïåðñèîííîé äâóìåðèçîâàííîé öåïî÷êè Òîäû. Óâèäåòü ñâÿçü áåçäèñïåðñèîííûõ èåðàðõèé ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà ëåã÷å âñåãî ñ ïîìîùüþèåðàðõèè ÊÏ.

Áåçäèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå ÊÏ âûãëÿäèò ñëåäóþùèìîáðàçîì:33(1)(ut − uux )x − uyy = 0.24Áåçäèñïåðñèîííàÿ èåðàðõèÿ Êàäîìöåâà-Ïåòâèàøâèëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé(â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ). Ýòà èåðàðõèÿ íåïëîõî èçó÷åíà, è ó íåå åñòüíåñêîëüêî ýêâèâàëåíòíûõ ïðåäñòàâëåíèé, îäíàêî äëÿ èëëþñòðàöèè ñâÿçè ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî ñîîòâåòñòâóþ4ùèì óðàâíåíèåì Õèðîòû:eD(z)D(ζ)F = 1 −∂t1 (D(z) − D(ζ))F.z−ζ(2)Ðàññìîòðåâ îäíîêîìïîíåíòíûå ðåäóêöèè äàííîé èåðàðõèè, ìû óâèäèìñâÿçü ñ óðàâíåíèåì Ëåâíåðà.Ïîñëå èëëþñòðàöèè âîçíèêàþùåé ñâÿçè, ìû ïåðåéäåì íåïîñðåäñòâåííî ê èçó÷åíèþ áåçäèñïåðñèîííîãî ïðåäåëà èåðàðõèé Ïôàôô-ÊÏ è ÏôàôôÒîäû.Èåðàðõèÿ Ïôàôô-ÊÏ (òàêæå èçâåñòíàÿ êàê DKP, ñïàðåííàÿ èåðàðõèÿ ÊÏ, Ïôàôôîâà ðåøåòêà) ÿâëÿåòñÿ èåðàðõèåé ñ D∞ -ñèììåòðèÿìè.Âïåðâûå îíà áûëà ïðåäëîæåíà Ì.

Äæèìáî è Ò. Ìèâîé â 1983 ãîäó [5].Âïîñëåäñòâèè îíà ïîÿâëÿëàñü ïîä ðàçíûìè íàçâàíèÿìè â ðàçëè÷íûõêîíòåêñòàõ [6][11]. Åå àëãåáðàè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà è íåêîòîðûå ÷àñòíûåðåøåíèÿ áûëè èçó÷åíû â [12, 13, 14]. Òåðìèí ïôàôôîâà îáóñëîâëåíòåì, ÷òî ñîëèòîíîïîäîáíûå ðåøåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïôàôôèàíû. Âòåêñòå äèññåðòàöèè ìû áóäåì íàçûâàòü ýòó èåðàðõèþ Ïôàôô-ÊÏ èëèDKP.Õîòÿ â äàííîì èññëåäîâàíèè ìû áóäåì èçó÷àòü òîëüêî áåçäèñïåðñèîííûå èåðàðõèè, ïîëåçíî, îäíàêî, ïîñìîòðåòü íà "ïîëíóþ" èåðàðõèþ,÷òîáû óâèäåòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå ê áåçäèñïåðñèîííîìó ïðåäåëó. Èòàê, ïåðâîå óðàâíåíèå èåðàðõèè Ïôàôôîâîé ðåøåòêè, òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå DKP, âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∂u∂ ∂t1 −4 ∂t3 +2 ∂v± +∂t3∂ 3 v±∂t31∂3u∂t31++∂u12u ∂t1±6u ∂v∂t1∓322+ 3 ∂∂tu2 = 12 ∂∂tu2 (v + v − )2∂ 2 v±∂t1 ∂t2+ 2v1±R∂u∂t2 dt1= 0.Êàê ìîæíî óâèäåòü, ëåâàÿ ñòîðîíà ïåðâîãî óðàâíåíèÿ óðàâíåíèåÊÏ, à ïðàâàÿ ñòîðîíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïàðåííûé ÷ëåí ïîëÿ v ± .Èìåííî ïîýòîìó óðàâíåíèå DKP èíîãäà è íàçûâàþò ñïàðåííûì ÊÏ(cKP).

Òóò ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïðèâû÷íûìè îáîçíà÷åíèÿìè x = t1 ,y = t2 è t = t3 . òåðìèíàõ τ -ôóíêöèé, u è v ± îïðåäåëÿþòñÿ êàêu=∂2τn±1±logτ,v=.n∂t21τn5Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îïåðàòîðàìè Õèðîòû (ïðîèçâîäíûìè Õèðîòû), êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Dk f · g :=∂∂− 0∂tk ∂tkf (tk )g(t0k ).tk =t0kÑ èõ ïîìîùüþ óðàâíåíèå DKP çàäàåòñÿ((−4D1 D3 + D14 + 3D22 )τn τn = 24τn+1 τn−1(2D3 + D13 ∓ 3D1 D2 )τn±1 τn = 0.(3)Õîòÿ äàííàÿ èåðàðõèÿ èìååò îïðåäåëåííîå ñõîäñòâî ñ èåðàðõèåé ÊÏè öåïî÷êîé Òîäû, îíà, áåçóñëîâíî, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò íèõ è íàäàííûé ìîìåíò ãîðàçäî õóæå èçó÷åíà.Áåçäèñïåðñèîííàÿ âåðñèÿ èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ (dPfa-KP, dDKP)áûëà ïðåäëîæåíà â [17, 18].

 ôîðìå Õèðîòû îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéáåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé1∂t D(z)F − ∂t1 D(ζ)FeD(z)D(ζ)F 1 − 2 2 e2∂t0 (2∂t0 +D(z)+D(ζ))F = 1 − 1,z ζz−ζ(4)2 −2∂t0 D(z)F2 −2∂t0 D(ζ)Fz e−ζ e= z +ζ −∂t1 2∂t0 +D(z)+D(ζ) Fe−D(z)D(ζ)Fz−ζ(5)íà ôóíêöèþ F = F (t) îò áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà (äåéñòâèòåëüíûõ) âðåìåít = {t0 , t1 , t2 , . . .}, ãäåX z −kD(z) =∂tk .(6)kk≥1Ôóíêöèÿ F ÿâëÿåòñÿ áåçäèñïåðñèîííûì àíàëîãîì òàó-ôóíêöèè. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ èç óðàâíåíèé (4), (5) ðàçëîæåíèåìïî ñòåïåíÿì z è ζ . Òîãäà áåçäèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå Ïôàôôîâîé ðåøåòêè çàäàåòñÿ2+ 3F22 − 4F13 = 12e4F00 6F112F03 +34F01(7)+ 6F01 F11 − 6F01 F02 = 3F12 .Äëÿ êðàòêîñòè ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ Fmn ≡ ∂tm ∂tn F . Ýòîò æåðåçóëüòàò ìû ìîãëè ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî èç óðàâíåíèÿ DKP (3),âîñïîëüçîâàâøèñü ïðåäåëàìè v ± = exp(log τn±1 − log τn ) → exp(±h̄−1 F0 )è v + v − = exp(log τn+1 − 2 log τn + log τn−1 ) → exp(F00 ) ïðè h̄ → 0.6Äâóìåðíàÿ èåðàðõèÿ Ïôàôô-Òîäû, ïðåäëîæåííàÿ â [11, 17], ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì èåðàðõèè Ïôàôô-ÊÏ è ñâÿçàíà ñ íåé òàê æå, êàê äâóìåðèçîâàííàÿ öåïî÷êà Òîäû ñâÿçàíà ñ èåðàðõèåé ÊÏ.

 ÷àñòíîñòè, îáîáùåíèå Ïôàôô-ÊÏ −→ Ïôàôô-Òîäà ïðåäïîëàãàåò óäâîåíèå íàáîðà èåðàðõè÷åñêèõ âðåìåí.  äàííîé ðàáîòå ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ âåùåñòâåííûìèôîðìàìè èåðàðõèé, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî âðåìåíà ÊÏ ñ÷èòàþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè, â òî âðåìÿ êàê äâà íàáîðà âðåìåí Òîäû ÿâëÿþòñÿêîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè äðóã äðóãó.Áåçäèñïåðñèîííàÿ âåðñèÿ èåðàðõèè Ïôàôô-Òîäû (dPfa-Toda) [17]ïèøåòñÿ äëÿ ôóíêöèè F , çàâèñÿùåé îò áåñêîíå÷íîãî â îáå ñòîðîíû íàáîðà âðåìåí {. . .

, t̄2 , t̄1 , r, s, t1 , t2 , . . .}. Ïîñêîëüêó ðàçëè÷íûå èåðàðõèè âäàííîé ðàáîòå íå ïåðåñåêàþòñÿ, ìû ñîõðàíèì îáîçíà÷åíèå F äëÿ áåçäèñïåðñèîííîé òàó-ôóíêöèè. Äåéñòâèòåëüíàÿ ôîðìà èåðàðõèè, ñ êîòîðîéìû áóäåì èìåòü äåëî, ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî âðåìÿ t̄k êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíî ê tk , s äåéñòâèòåëüíî, à r - ÷èñòî ìíèìîå. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿâûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:D(z)D(ζ)Fe1 ∂se1−zζ1 ∂se1−ez̄ ζ̄1 ∂rD(z)D(ζ)Fe1−ezζD̄(z̄)D̄(ζ̄)F ∂s +∂r +D(z)+D(ζ) Fze−∂r D(z)F − ζe−∂r D(ζ)F=, (8)z−ζ ∂s −∂r +D̄(z̄)+D̄(ζ̄) Fz̄e∂r D̄(z̄)F − ζ̄e∂r D̄(ζ̄)F=,z̄ − ζ̄(9)ze−∂s D(z)F − ζe−∂s D(ζ)F=,z−ζ(10) −∂s D̄(z̄)F−∂s D̄(ζ̄)F1 −∂r ∂s −∂r +D̄(z̄)+D̄(ζ̄) Fz̄e− ζ̄eeD̄(z̄)D̄(ζ̄)F 1 −e=,z̄ ζ̄z̄ − ζ̄(11) 1 ∂r ∂r +D(z)−D̄(ζ̄) F1 ∂s ∂s +D(z)+D̄(ζ̄) Fe=1−e, (12)e−D(z)D̄(ζ̄)F 1 −z ζ̄z ζ̄ ze− ∂s +∂r +D(z) D̄(ζ̄)F − 1 = e−∂r ∂s +D(z)+D̄(ζ̄) F e− ∂s −∂r +D̄(ζ̄) D(z)F − 1 .ζ̄(13)X z̄ −k∂t̄k ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì àíàëîãîìÇäåñü D̄(z̄) =k ∂s +∂r +D(z)+D(ζ) Fk≥1äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà (6).