А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 8

Гл. П Злеменюн юеавии мнамглсюа континуума. Эта мощность обозначается символом с (или символом К). Весьма глубокий вопрос о существовании мощностей, промежуточных между Ке и с, будет затронут ниже в э 4. Как правило, бесконечные множества, встречающиеся в анализе, или счетны, или имеют мощность континуума. Для мощностей конечных множеств, т.е. для натуральных чисел, кроме понятия равенства имеются также понятия «больше» и «меньше». Попытаемся распространить эти последние на бесконечные мощности.

Пусть А и  — два произвольных множества, а т(А) и т(В) —- их мощности. Тогда логически возможны следующие случаи: 1. А эквивалентно некоторой части множества В, а В эквивалентно некоторой части множества А. 2. А содержит некоторую часть, эквивалентную В, но в В нет части, эквивалентной А. 3. В содержит некоторую часть, эквивалентную А, но в А нет части, эквивалентной В. 4. Ни в одном из этих двух множеств нет части, эквивалентной другому. В первом случае множества А и В в силу теоремы Кантора— Бернштейна эквивалентны между собой, т.

е. т(А) = т(В). Во втором случае естественно считать, что т(А) > т(В), а в третьем, —— что т(А) < т(В). Наконеп, в четвертом случае нам пришлось бы считать, что мощности множеств А и В несравнимы между собой. Но на самом деле этот случай невозможен! Это следует из теоремы Цермело, о которой речь будет идти в з 4. Итак, любые два множества А и В либо зкеиеалеитнм мелсду собой (и гпагда т(А) = т(В)), либо удовлетворяют одному из двух соотношений: т(А) < т(В) или т(А) > т(В).

Мы отметили вьппе, что счетные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств, а затем показали, что существуют и бесконечные множества, бесконечность которых имеет более «высокий порядок», — это множества мощности континуума. А существуют ли бесконечные мощности, превосходящие мощность континуума? Вообще, существует ли какая-то «наивысшая» мощность или нет? Оказывается, верна следующая теорема. Теорема 3. Пусть М вЂ” некоторое множество и пусть з31— множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества М. Тогда 9Л имеет мощность большую, чем мощность исходного множества М.

Ь 3. Эквивалентность мнвнсеста. Пвтиаве мощности Доказательство. Легко видеть, что лющность ш множества 9Л не может быть меньше мощности ш исходного множестна М, действительно, «одноэлементные» подмножества из М образуют в 9Л часть, эквивалентную множеству М. Остается доказать, что мощности т н ш не совпадают. Пусть между элементами а, Ь,... множества М и какимн-то элементами А, В,... множества 9Л (т.е. какими-то подмножествами из М) установлено взаимно однозначное соответствие а »» А, Ь ьэ В, Покажем, что оно наверняка не исчерпывает всего 9Л.

Именно, сконструируем такое множество Х С М, которому не соответствует никакой элемент из М. Пусть Х -- совокупность элементов из М, не входящих в те подмножества, которые им соответствуют. Подробнее: если а е+ А и а б А, то элемент о мы не включаем в Х, а если а <в А и а ф А, то мы включаем элемент а н Х. Ясно, что Х есть подмножество множества М, т. е. некоторый элемент из 9Л. Покажем, что подмножеству Х не может ссютветствовать никакой элемент нз М. Допустим, что такой элемент х <-+ Х существуе~; посмотрим, будет ли он содержаться в Х или нет? Пусть х ф Х; но ведь по определению в Х входит всякий элемент, не содержащийся в подмножестве, которое ему соответствует, следовательно, элемент х должен быть включен в Х.

Обратно, предположив, что х содержится в Х, мы получим, что х не может содержаться в Х, так как в Х включены только те элементы, которые не входят в соответствующие им подмножества. Итак, элемент х, отвечающий подмножеству Х, должен одновременно и содержаться, и не содержаться в Х. Отсюда следует, что такого элемента вообще не существует, т.е.

что взаимно однозначного соответствия между элементами множества М и всеми его подмножествами установить нельзя. Теорема доказана. Итак, для любой мощности мы действительно можем построить множество большей мощности, затем еще большей и т.д., получая, таким образом, не ограниченную сверху шкалу ьющностей. 3 а м е ч а н и е. Мощность множества 9Л обозначают символом 2"', где ш — мощность М. (Читатель легко поймет смысл этого обозначения, рассмотрев случай конечного М.) Таким образом, предыдушую теорему можно выразить неравенством ш С 2в'. В частности, пРи ш = Ко полУчаем неРавенство Ко ( 2"'.

Покажем, что 2кв = К, т. е. покажем, что мощносшь множества всех подмноогсесшв нашурального ряда равна мощности континуума. )уь ). Блтмощли шоории мнояоеошо Разобьем подмножества натурального ряда на два класса, т)) и б, — на те (класс чт), у которых дополнение бесконечно, и на те (класс )б), у которых оно конечно. К классу б относится, в частности, сам натуральный ряд, ибо его дополнение пусто. Число подмножеств в классе )б счетно (доказать).

Класс 46 не влияет на мощность множества ОЛ = т)1 ).) )б. Между подмножествами класса ))1 и действительными числами а из полусегмента (0,1) можно установить взаимно однозначное соответствие. Именно, сопоставим подмножеству А е ~3 число о (О < о < 1) с двоичным разложением где с„= 1 или 0 в зависимости от того, принадлежит ли п множе- ству А или нет. Проверку деталей предоставляем читателю. Упражнение. Доказать, что совокупность всех числовых функций (или вообще функций, принимающих значения в множестве, содержащем не менее двух элементов), определенных на некотором множестве М, имеет мощность ббльшую, чем мощность множества М. Ухазаниа Воспользоваться тем, что множество всех индикаторов, т.е.

функций на М, принимающих только два значения, 0 н 1, эквивалентно множеству всех подмножеств из М. з 4. Упорядоченные множества. Трансфинитные числа В этом параграфе изложен ряд понятий, связанных с )шеей упорядоченности множеств. Мы ограничимся здесь самыми первоначальными сведениями; более подробное изложение можно найти в литературе, указанной в конце книги. 1. Частично упорядоченные множества. Пусть М -- про- извольное множество и у — некоторое бинарное отношение в нем (определяемое некоторым множеством Ли С М х М).

Мы назовем это отношение частличной упорядоченностлью, если оно удонлетво- ряет условиям: 1) рефлехсиеностпи) а ра, 2) тпранзитпиености: если а))т6 и Ьрс, то аус, 3) аитписимметпричпостпи если ау)Ь и Ь)ра, то а = Ь. Частичную упорядоченность принято обозначать символом <. Та- ким образом, запись а < Ь означает, что пара (а,Ь) принадлежит соответствующему множеству В . Про элемент а при атом говорят, 1 4. Упврядвчекпме мио»ееетевв что он ие превосходит Ь или что он подчинен Ь. Множество, в котором задана некоторая частичная упорядоченность, называется частично упорядоченным.

Приведем примеры частично упорядоченных множеств. 1. Всякое множество можно тривиальным образом рассматривать как частично упорядоченное, если положить а < Ь в том и только том случае, когда а = Ь. Иначе говоря, за частичную упорядоченность всегда можно принять бинарное отношение тождества ю Этот пример не представляет, конечно, большого интереса. 2. Пусть М вЂ” множество всех непрерывных функций на отрезке [о, д). Положив Х < д в том и только том случае, когда Х(1) < д(1) для всех 1 (о < 1 < д), мы получим, очевидно, частичную упорядоченность. 3.

Множество всех подмножеств некоторого фиксированного множества частично упорядочено по включению: М~ < Мз означает, что ЛХ~ С Мз. 4. Множество всех натуральных чисел частично упорядочено, если а < Ь означает <Ь делится без остатка на а». Пусть М вЂ” произвольное частично упорядоченное множество. В случае, когда а < Ь и а ф. Ь, мы будем пользоваться символом <., т.е. писать а ( 6 и говорить, что а меньше 6 или что а старого подчинено 6. Наряду с записью а < 6 мы будем пользоваться равносильной записью 6 ) а и говорить при этом, что Ь ие меньше а (балыие а, если Ь ф а) или что Ь следует за а. Элемент а называется максимальным, если из а < Ь следует, что 6 = а.

Элемент а называется минимальным, если из с < а следует, что с = а. Частично упорядоченное множество, для любых двух точек а,6 которого найдется следующая за ними точка с (а ( с, 6 ( е), называется нвправлеппъм. 2. Отображения, сохраняющие порядок. Пусть М и ЛХ'— два частично упорядоченных множества и пусть Х есть отображение М в М'. Мы скажем, что это отображение сохраняет порядок, если из а < Ь, где а, Ь Е М, следует, Х(а) < Х(6) (в ЛХ').

Отображение Х называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств М и М', если оно биективно, а соотношение Х(а) < Х(6) выполнено в том и талька том случае, когда а < Ь. Сами множества ЛХ и М' называются при этом изоморфными между собой. Пусть, например, М есть множество натуральных чисел, частично упорядоченное по «делимости» (см. пример 4 и. 1), а М' — то же самое множество, но упорядоченное естественным образом, т.е. так, что Ь > а, если Ь вЂ” а — положительное число, Тогда отображе- !Х. !.,'тиеменщм я1еорнн мнажесще ние М ва М', ставящее в соответствие каждому числу и его само, сохраняет порягюк (но не является изоморфизмом).

Отношение изоморфизма между частично упорядоченными множествами представляет собой, очевидно, отношение эквивалентности (оно симметрично, транзитивно и рефлексивно). Следовательно, если у нас имеется какой-то запас ') частично упорядоченных множеств, то все эти множества можно разбить на классы изоморфных между собой. Ясно, что если нас интересует не природа элементов множества, а только имеющаяся в нем частичная упорядоченность, то два изолюрфных между собой частично упорядоченных множества можно рассматривать просто как тождественные.

3. Порядконые типы. Упорядоченные множества. Про изоморфные между собой частично упорядоченные множества мы будем говорить, что они имеют один и тот же порядковый тип. Таким образом, порядковый тип — это то общее, что присуще любым двум изоморфным между собой частично упорядоченным множествам, подобно тому как мощность — это то общее, что присунле эквивалентным мехсду собой множествам (рассматриваемым независимо от какого бы то нн было отношения порядка в них).