А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 11

каждое из них может бьгп доказано, если принять аксиому выбора, и обратно, аксиому выбора, можно доказать, допустив справедливость какого-либо из этих предложений). Прежде всего ясно, что таким предложением является сама теорема Цермело. Действительно, если предположить, что каждое из множеств М вполне упорядочено, то для построения функции у, существование которой утверждается аксиомой выбора, достаточно в каждом Мо взять первый элемент. Для формулировки других продложепий., эквнвапентпых аксиоме выбора, введем следующие понятия. Пусть М -- частично упорядоченное множество. Всякое его подмножество А, в котором любые два элемента сравнимы между собой (в смысле введелной в М частичной упорядоченности), будем называть цепью.

Цепь называется максимальной, если она не содержится в качестве собственного подмножества ни в какой другой цени, принадлежащей М. Далее, назовем в частично упорядоченном множестве М элемент а верхней эраиью подмножества М' С ЛХ, если любой элемент а' 6 М' подчинен а. Теорема Хаусдорфа. В частичиоупорядочеином множестве всякая цепь содержится в некоторой его лгаксимальной цепи.

Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее удобную из всех формулировок, эквивалентных аксиоме выбора. Го. Ь Элсмсносн тсории мноокссто Лемма Цорна. Еспсн всякгл иепь в частично упорядоченном множестве М имеет верхнюю гринь, то всякий элемент из М гюдчянен некоторому максимальному. Доказательства равнос:ильности всех приведенных утверждений (аксиома выбора, теорема Цермело, теорема Хаусдорфа, лемма Цорна) имеется, например, в книге А. Г.

Курою. Лекции по общей алгебре. — Мс Физматгиз, 19б2; см, также [8], Мы не будем его здесь воспроизводить. Если множество верхних граней подмножества А имеет навменьшвй элемент а, то о называют гаечной верхней гранью подмножества А, аналогично определяется пючнол наоюняя грань. Частично упорядоченное множество, всякое неиустое коночное подмножество которого обладает точной верхней гранью и точной нижней гранью, называется решеткой, или структурой. 8. Траисфииитная ицпукция.

Широко распространенный метод доказательства тех или иных утверждений — это метод математической индукции. Он, как известно, состоит в следунпцем. Пусть имеется некоторое утверждение Р(п), которое формулируется для каждого натурального числа п, и пусть известно, что: 1) утверждение Р(1) верно; 2) из того, что Р(й) верно для всех к ( и, следует, что Р(п + 1) верно. Тогда утверждение Р(п) верно для всех и = 1,2,... Действительно, в противном случае среди тех и, для которых Р(п) неверно, нашлось бы наименьшее число, скажем. пп Очевидно, что п~ > 1, т.е. пс — 1 тоже натуральное число, и мы приходим к противоречию с условием 2).

Аналогичный прием может быть использован с заменой натурального ряда любым вполне упорядоченным множеством. В этом случае он носит название трансфининтой индукции. Таким образом, метод трансфинитной индукции состоит в следующем. Пусть дано некоторое вполне упорядоченное множество А (если угодно, его можно считать множеством всех порядковых трансфиннтов, меныпих некоторого данного) и пусть Р(а) — некоторое утверждение, формулируемое для каждого а е А и такое, что Р(а) верно для первого элемента из А и верно для а, если оно верна для всех элементов, предшествующих а. Тогда Р(а) верно для всех а Е А.

Действительно, если бы существовали элементы в А, для которых Р(а) не имеет места, то в множестве таких элементов нашелся бы первый, скажем, а", и мы пришли бы к противоречию, поскольку для всех а ( а' утверждение Р(а) было бы верно. 'Э 5. Снспгстмм м~ олсесте Так как в силу теоремы Цермеио всякое множество можно вполне упорядочитьч трансфинитная индукция может быть, в принципе, применена к любому множеству. Однако практически бывает удобнее пользоваться заменяющей ее леммой Цорна, которая опирается лишь на наличие частичной упорядоченности в рассматриваемом множестве.

А некоторая частичная упорядоченность рассматриваемых объектов в задачах, требующих применения леммы Цорпа, обычно возникает естественным образом, «сама собой». й 5. Системы множеств') 1. Кольцо множеств. Системой лгножсстпе называется всякое множество, элементы которого сами представляют собой какие-либо множества. Если не оговорено противное, мы будем расслгатривать системы таких множеств, каждое из которых является подмножеством некоторого фиксированного множества Л . Системы множеств мы будем обозначать прописными готическими буквами. Основной интерес для нас будут представлять системы множеств, удовлетворяющие (по отношению к введенным в б! операциягн) некоторым определенным условиям замкнутости. Определение 1.

Непустая система множеств Я называется кольцом, если она обладает тем свойством, что из А б Я и В а Я следует А о В б Я и А П В б Я, Так как для любых А и В А и В = (А а В) и (А и В) и А ~ В = А б (.4 и В), то из А б Я и В б Я вытекает также принадлежность к Я множеств А 0 В и А ! В. Таким образом, кольцо множеств есть система множестн, замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности.

Очевидно, что кольцо замкнуто и по отношени1о к образованию лгобых конечных сумм и пересечений вида С = О Аа, Р = () Ал. 1) Рассматриваемые в этом параграфе ввинтив поеадобптси нам в гл. Ъ' при изложении общей теории меры. Поэтому чтение данного параграфа может быть отложено. Читатель, решивший ограничиться при научении теории меры мерой на плоскости (! 1 гл. 1г), может этот параграф пропустить совсем. Гл. Ь Нльмл>епм е>горна мна»глсен> Лк>бее кольцо содержит пустое множество о, так как всегда А 1 А = >л>.

Система, состоящая только из пустого м>южествв., прелставляет собой наименьшее возможное кольцо множеств. Множество Е называется единицей систел>ы множеств 6, если оно принадлежит 6 и если для любого А Е Ь имеет место равепстно А П Е =- А. Таким образом, единица системы множеств >Э есть не что иное, как максимвлыюе множество этой системы, содержащее все другие входящие в 6 множества. Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств. Примеры.

1. Для любого множества А система Ж(А) всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей Е = А. 2. Для любого непустого множества А система (й>, А) > состоящая из множества А и пустого множества >а, образует алгебру множеств с единицей Е = А.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества А представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество А само конечно. 4. Система всех ограниченных подмножеств чигловой прямой является кольцом множеств, не содержащим единицы. 1Лз определения кольца множеств непосредственно вытекает Теорема 1. Пересечение Я = ПЯ любого множества колен к есть кольцо. Установим следующий простой, но важный для дальнейшего факт. Теорема 2. Для любой непустой системы м>южеств ш существует одно и только одно кольцо Я(ш), сг>держащее Ь и содержащееся в любом кольце >с, содержащем Ь.

Доказательство. Легко видеть, что кольцо Я(Ь) определяется системой Ь однозначно. Для доказательства его существования рассмотрим объединение Х = О А всех множеств А, входящих Аеп в Я, и кольцо ш1(Х) всех подмножеств множества Х. Пусть Е— совокупность всех колец множеств, содержащихся в 911(Х) и содержащих >Э. Пересечение >43 = П Я всех этих колец и будет, очевидно, з>еп искомым кольцом Я(6).

1 5. Система множсепге Действительно, каконо бы пи было кольцо Я', содержащее сз, пересечение Я = Я" П 9Л(Х) будет кольцом из Е и, следовательно, Я С Я С Я', т.е. гг3 действительно удовлетноряет требованию лгннимальности. Это кольцо называется мииималыним кольцом над г5 или кольцом, ггорозгсдеииым б, и обозначается Я(Я). 2. Полукольцо множеств. В ряде вопросов, например, в теории меры, наряду с понятием кольца важную роль играет более общее понятие полуколыга множеств. Определение 2. Система множеств Я назынается полйьольцом, если она содержит пустое мне!кество О, замкнута по отношению к об!разованию пересечений н обладает тем свойством, что из принадлежности к 6 множеств А н Аг С А вытекает возмсокн ность представления А в виде А = Ц Аы где Аь -- попарно нее=! пересекающиеся мгюжества из Я, первое из которых есть заданное множество А ! .

В дальнейшем всякий набор попарно неперссекаюшнхся множеств Аг,..., А„, объедиггение которых есть заданное кгножество А, мы будем называть комеч!!им разлоэсеиием множег:тва А. Всякое кольцо множеств Я является полукольцом, так как если А и Аг С А входят в Я, то имеет место разложение А = Аг О Аз, где А! — - А '! А! е гс. Примером полукольца, не являющегося кольцом множеств, может служить совоьушюсть всех интервалов (о, Ь), отрезков [а, Ь] и полуинтервалов )а, Ь) н (о, Ь) на числовой прямой ').

Вше однилг примером служит совокупность всех «полуоткрытых» прямоугольников а < х ( Ь, с ( у ( И на плоскости или совокушюсть всех полуоткрытых параллелепипедов в пространстве. Установим следую!див свойства полуколец множеств. Лема!а 1. Пусть множества Аг,...,А„, А принадлежат полукольцу Я, причем множества А; попарно не пересекаются н все содержатсн в А. тогда набор множеств А, (1 = 1,..., и) можно дополнить мпожествамн А„+„..., Ае Е гВ до конечного разложения А= 0 Аы 53п, в=! множества А. ) При атом в число интервалов включветсн, конечно, «пустой» интервал (а, а), а в число отрезков — - отрезок, состоиший из одной точки (а, а). Ге. Ь Зле»»е»»п»ы »и»ории»»не»»ееен»е Доказательство проведем по индукции. При и = 1 справедливость утверждения леммы вытекает из определения полукольца. Предположим, что зто утверждение справедливо для и = ра и рассмотрим и»+1 множество Ал,..., А, А ьл, удовлетворяющих условиям леммы. По сделанному предположению А»»Л»0 .

ОА„,ОВ! ..0Вр, где все множества Вд (й = 1,...,р) принадлежат (5. Положим Вд! = Ан,.»! ! ! Вд. По определению полукольца, имеется разложе- ние Вд — — В, 0 0 В „, где все Вд, принадлежат Я. Легко видеть, что А = Л! 0 ° ОА ОА +! 0 !) (!) Вд.). д=! 1=в Таким образом, утверждение леммы доказано для п = нл+ 1, а сле- довательно, и вообще дня всех и. Лемма 2.