А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 13

6. Множество С[а, Ь] всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте [а, Ь], с расстояниел! рИ,у) = х [у(!) — Пь)] (7) <1<Ь также образует метрическое пространство. Аксиомы 1)- 3) проверя- ются непосредственно. Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будел! его обозначать тем же символом С[а, Ь], что и само множество точек этого пространства. Вместо С[0, Ц мы бу- дем писать просто С.

7. Обозначим через 11 метрическое пространство, точками кото- рого служат всевозможные последовательности х = (х1,..., х„,... ) действительных чисел, удовлетворяюп!ие условию 2 хь<оо, о=1 1. 11онитие метрического гьраспьрггнггнаа а расстояние определяется форлгулой р(х, у) = ~(уь — х(,.)2.

Ь=-1 (8) из элементарного неравенства (хь х у!.)г < 2(хь + уг) следует, что функция р(х, у) имеет смысл дпя всех х, у е 11, т. е. ряд 2, (уь — хе) 1=1 сходится, если т хь < Оо н Е Уь < гхг. ь=! Ь=1 Покажем теперь, что функция (8) удовлетворяет акспомам метрического пространства.

Аксиомы 1) и 2) очевидны, а аксиома треугольника принимает здесь вид + ,'!,'(уь — хь)'. Ь=! ~ (хь — хь)' < ~ (ть — Уь)' Ь=! Ь=1 (9) В силу сказанного вьппе каждый из трех написанных здесь рядов сходится. С другой стороны, при каждом и справедливо неравенство ы 2 н 2 2 и п и (21 — хь)2 < ~~' (хь — Уь)2+ ~(у! — хь)2 Ь=1 Ь=1 1=1 (см, пример 4). Переходя здесь к пределу при и -ь оо, получаем (9), т.е.неравенство треугольника в (2.

8. Рассмотрим, как и в примере б, совокупность всех функций, непрерывных на отрезке <а, Ц, но расстояние определим иначе, а именно положим ь р(х,у) = (/(х(!) — У(1)) е(!) ()(» а Такое метрическое пространство мы будем обозначать С2[а,(г) и называть пространством непрерывных фунвп(пб г квадратичной' метрикой. Здесь аксиомы 1) и 2) метрического пространства опять- таки очевидны, а аксиома треугольника непосредственно вытекает из интегральной формы неравенства Коши -Буняковского' ) < ь х 2 ь / х(1)у(б) Й) < / х (1) Ж.

~ у (1)!11. а а а ( ь 2 Ь Ь ь ь ~ я(!)У(!) гп) — — / т" (!) аь ~ рг(!) а! — 21 ~ / (в(г)у(!) — у(~)х(1))гага!. а ') Это неравенство может быть получено, например, ив легко проверяемого тожпествв Гл. П. Метрические и пюььологические просьпронмпеа 9.

Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей х = (хь, ь х„,... ) действительных чисел. Положив р(х,у) = зпр(ус — ха), (11) рр(х, г) < рр(х, у) + рр(у, г), справедливость которого мы должны установить, примет вид фьч+нр) с фи! ) ь ф~ья ) . Оь! а=1 а=.! а=1 Это — так называемое неравенство Минковского. При р = 1 неравенство Минковского очевидно (модуль суммы не превосходит суммы модулей), поэтому будем считать, что р > 1').

Доказательство неравенства (13) при р > 1 основано на так называемом неравенстве Гельдерн г'нчн~ ь фн.г) фьь,~ ) (14) где числа р > 1 и д > 1 связаны условием 1 „1 Р 9 т, е. (15) Заметим, что неравенство (14) однородно. Это значит., что если оно выполнено для каких-либо двух векторов а = (аь,..., а„) и Ь = (Ьь,..., Ь„), то оно выполнено и для векторов Ла и ПЬ, где Л ') При р < 1 неравенство Минковскога не имеет места. Иначе говоря, если бы мы захотели рассматривать пространство К,", при р < 1, то в таком пространстве не была бы выполнена аксиома треуььхчьника.

мы получим метрическое пространство, которое обозначим пи Справедливость аксиом 1)-3) очевидна. 10. Множество упорядоченных групп из п действительных чисел с расстоянием ьь , !!р Р (х,У) =- ~х~~ ~У1. — х1)Р) (12) г=! гдо р — л!обое фиксированное число > 1, представляет собой метрическое пространство, которос мы обозначим К,",. Справедливость аксиом 1) и 2) здесь опять-таки очевидна. Проверим аксиому 3).

Пусть х = (хь,..., хи), у = (у1, .., ь у„) ь г = (г1,..., г„) — три точки из К„". Положим уа — х1 = аь, г1. — у1 = Ь1, тогда неравенство 1 !. Попаптс мсгпричаспого проссорапсгпоа и ц — произвольные числа. Поэтому неравенство (14) достаточно доказать для случая, когда и п )аь!р = у !Ьь)о = 1. (16) Ь=! 1=1 Итак, пусть выполнено условие (16); докажем, что гг !аь61) < 1 1=! (17) Рассмотрим па плоскости (с, 11) кривую, определяемую уравнением л = бо ' (с ) 0), или, что то же самое, уравнением б = цт (рис.

7). Из рисунка ясно, что при любол1 выборе положительных значений о и 6 будет Яг + Яг ) аЬ. Вычислим площади 51 и о'з: 71 бр-14б и в ь Бг сс 71 11 'сг!1 = —. гг ' Рпс. 7 Таким образом, справедливо числовое неравенство нЬ < — + —. а" Ьа и (у' Заменив здесь о на ~аь) и Ь на !Ьь) и суммируя по 6 от 1 до и, получим, учитывая (15) и (16), и и и у ()ау(+ (Ьь))р = ~()пь(+ )Ьь()» '(аь!+ ь ((аг)+)Ьь))р 1)Ьь!.

Ь=! 1=1 1=1 и !п1.61) < 1. Ь=1 Неравенство (17), а следовательно, и обгцге неравенство (14) доказаны. При р = 2 неравенство Гельдера (14) переходит в неравенство Коши-Буняковского (4). Перейдем теперь к доказательству неравенства Минковского. Для этого рассмотрим тождество (!о/ + /Ь!)Р = (!и/ + (Ь))Р ' !о) + ()а! + )Ь!)Р !Ь|. Заменяя в написанном тождеспве а на оь и Ь на Ьь и суммируя по Ь от 1 до и, получим 60 1л. !!.

Ыеспричесиие и топо !омечесъие ппостринстеа Применяя таперь к каждой из двух сумм, стоящих справа, неравенство Гельдора и учитывая, что (р — 1)г/ = р, получим и и !/е и ]/е и ь/ ~!.,>~ь,п! '~апн ь ь) фь,г) +(т.>ьг) ') ь=! -=! ь=-! ь=! Деля обе части этого неравенства па и ь/д (~цпн+ьс) ) ь=! получим п п ь/р и !/и фпи~ьв)с(С~ ~) +фее) ь=! ь=! ь=-! откуда сразу следует неравенство (13).

Тем самым установлена аксиома треугольника в пространстве К'„'. Рассмотренная в этом примере льетрика рр превращается в евклидову метрику (пример 3) при р = 2 и в метрику примера 4 при р = 1. Можно показать, что метрика р (х,у) = и!ах )уь — хь(, !я!<с введенная в примере 5, является предельным случаем метрики р„(х, у), именно: / р (х, у) .= Иш ~ ~~! ~уь — хь)п) ь=! Из неравен! тна аЬ< — + —, — -!- — =1 - и 6 ! 1 и с/' и Ч установленного выше, легко выводится н ингпсгрильное неравенство Гельдерс! ь ь ь/! ь ь/е / и!пе!п1е' с (/ пс!ге!) (/ и!Осе~) и и и справедливое ддя любых функдий х(1) и у(1), для которь!х стоящие справа интегралы имеют смысл.

Отсюда в оно!о очередь получается интаеьральное неравснсгаво Минковскпго ь ь/и ь ь/ ь ь/и (/П!с+и(п!'а) с (/ЫЮ'ех) + (/|и(иее) и и и 1 1, Понятие метричссного просгпрапства 11. Укажем еще один интересный пример метрического пространства. Его элементами являются всовозможнью последователь!ккгтн действительных чисел х = (х,,....хп,...), такие, что (хй!р < ос, 1=.! где р = 1 -- некоторое фиксированное число., а расстояние определяется формулой о ч 1/р р(х! у) = ~ ~~, Ьй — хй Г) 1=.1 (18) 2.

Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия. Пусть Х н 1' — два метрических пространства н !в отобрюкенне пространства Л в 1 . Таким образом, каждому х б Х ставится в соответствие некоторый элемент у = Дх) нз 1 . Это отображение называется непрсрыюавм в точке хо е Х, если для каждого г > О существует такое б > О, что для всех х б Х таких, что р(х,хо) < Б, 3 — 1324 Это метрическое пространстно мы обозначим 1,. В силу неравенства Минковского (13) имеем при любом н и и п (Е~ . -"~р) < (Е~к.-) ) + (Е~"~р) 1- —.

1 й — — 1 й=1 Так как, по предположению, ряды К„~* ~ й=-! й=! <' ходятся, то, переходя к пределу нри и -! оо, получим (~ )уй — хй)р) < ( у )хй(р) + (~ )у! )р) < со, (19) й.=1 й=1 й=1 '1'аким образом, доказано, что формула (18), определяющая расстояние в 1р, действительно имеет сл!ысл для любых х, у Е 1р. Одповрсме!гио неравенство (19) показываетг что в 1р выполнена аксиома треугольника. Остальные аксиомы очевидны. Неограниченное количество дальнейших прил!еров дает следующий прием. Пусть Л = (Л, р) — - метрическое пространство и ЛХ— любое подмножество в Л.

Тогда ЛХ с той же функцией р(х, у), которую мы считаем теперь определенной для х и у из М, тоже представляет собой метрическое пространство; оно называется поднространстооле пространства й. !еь и, Мтиразессие а тааозогичсссие прогзареисаеее выполнено неравенство рс(Дх), Дхо)) < г (здесь р — расстояние в Х, а ре — - расстояние в 1'). Если отображение 1 непрерывно во всех точках пространства Л', то говорят, что 1 иепрермвисг нв Л'. Если Х и У вЂ” числовые множества.