А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 10

Легко также построить множества, упорядоченные по типам ы и, ы, ы п, ы, ..., ыо,... Все эти леножества будут иметь счетную мощность. Можно определить и другие действия над порядковыми типами, например, возведение в степень, и ввести в рассмотрение такие порядковые числа, как, скажем, ы, ы и тд. 6.

Сравнение порядковых чисел. Если п1 и нз — двв конечных порядковых числа, то они или совпадают, или одно из них болыне другого. Распространим это отношение порядка на трансфинитные порядковые числа. Введем для этого следующие понятия. Всякий элемент а линейно упорядоченного множества М определяет начальееыб отрезок Р (совокупность элементов < а) и остагпох Я (совокупность элементов > а).

Пусть а и ~3 — два порядковых числа., а ЛХ и Ф вЂ” множества, типа а и Д соответственно. Мы скажем, что а = Д, если множества М и Х изоморфны, что а < )3, если М изоморфно какому-либо начальному отрезку множества Ж, и что а > )3, если, обратно, Х изоморфно начальному отрезку множества М. Теор ем а 1. Любые два порядковых числа а н)3 связаны между собой одним и только одним нз соотношений: а=р, а< 3 илн а>р. Для доказательства установим прежде всего следующую лемму.

Л е м м а 3. Если 2" — изоморфное отображение вполне упорядоченного множества А на какое-либо его подмножество В, то 1(а) > а для всел а с А. Действительно, если бы имелись такие элементы а б А, что Да) < а, то среди нпх был бы первый ~полная упорядоченность!). Пусть это — элемент ао и пусть Ьо —— Дао). Тогда Ьо < ао и, поскольку 2' .— изоморфизм, ДЬо) < /(оо) = Ьо, т.е. ао не был бы первым среди элементов с указанным свойством. Из этой леммы сразу же вытекает, что вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему отрезку. Если бы А было изоморфно отрезку, определяемому элементом а, то выполнялось бы соотношение Да) < а.

Поэтому соотношения а = 4 и а < 4 3 4. Уноредоненнлие мнонеегтоо не могут иметь места одновременно. Аналогично не может быть одновременно а = и3 и а > и3. Точно так же несовместны соотношения а < ~3 и а > 33, так как иначе мы получили бы (траиизитивиость!), что а < а, а это, как мы виделии, невозможно. Итак, мы показали, что > наличие одного из соотношений а = 33 исключает двв остальных.

< Покажем теперь, что одно из этих соотношений всегда имеет место, т.е. что любые два порядковых числа сравнимы. Сначала для каждого порядкового числа а построим множество Ч'(а), служащее его «стандаргньим представителемэ. Именно, примем за Ч'(а) множество всех порядконых чисел, меныпих и. Числа, входящие в Иг(а), все сравнимы между собой, а само множество Чг(а) (упорядоченное по величине порядковых чисел) имеет тип а, Действительно, если множество А = (...,о,...,Ь,...) имеет тип а, то, по самому определению, порядковьие числа, меньшие, чем а, взаимно однозначно отвечают начальным отрезкам множества А, а следовательно, и элементам этого множества. Иначе говоря, элементы линожества, плиекищего тип а, можно перенулиеровагь с помощью порядковых *висел, меньших о: А =- (ао, о и,..., ол,...

) . Пусть теперь а и л3 -- два порядковых числа; тогда А = Чг(а) и В = Чг(л3) — множества типов а и 33 соответственно. Пусть., далее, С = А П В -- пересечение множеств А и В, т.е. совокупность порядковых чисел, меньпшх а и и3 одновременно. Множество С вполне упорядочено; обозначим его тип г. Покажем, что и < а.

Действительно, если С = А, то у = а, если же С ф А, то С есть отрезок множества А и тогда Т < а. 33 самом деле, при всех с б С, ц е А ~ С числа с и ц сравнимы, т.е, б > <гр Но соотношение ги < б < а невозможно, так как тогда ц е С. Итак, с < и3, откуда и видно., что С есть отрезок множества А и у < а. Кроме того, у есть первый элемент множества А ~ С. Итак, и < а и аналогично у < д. Прн атом случай 3 < а, Г < Ли невозможен, так как тогда мы имели бы у е А~С, у е В ~С, т.е.

с одной стороны, у ф С, с другой стороны, 3 Е А П В = С. Следовательно, возможны лишь случаи у=и3, а=А у=а, 3<и3, а<и3, у<а, у=и3, а>)3, т. е, а и и3 сравнимы. Теорема полностью доказана. Гл. Ь Элеменп>ы юеораь мнввкеев>в Каждому порядковому числу отвечает определенная мощность, а из сравнимости порядковых чисел следует, очевидно, н сравнимость соответствующих мощностей. Поэтому: Ьсли А и  — деа вполне упорядоченнык мнолсества, то либо они зквиаалентпны между собой (равнамощны), либо же мощность одного из ния больше, чем мощность другого (т.

е. вполне упорядоченные множества не могут иметь несравнимых мощностей). Рассмотрим совокупность всех порядковых чисел, отвечающих конечной или счетной мощности. Они образу>от вполне упорядоченное множество, Нетрудно убедиться в том, что само это множество уже несчетно. Действительно, обозначим в соответствии с общепринятой символикой через в» порядковый тип множества всех счетных трансфинитов. Если бы отвечающая ему мощность была счетной, то счетным было бы и множество, имеющее порядковый тип ь» +1. Вместе с тем число в>> следует, очевидно, за всеми транс- финитами, отвечающими конечной илн счетной мощности. Обозначим мощность, отвечающую порядковому трансфиниту», символом К>.

Легко видеть, что никаких мощностей т, удовлетворяющих неравенству КО < тп < К!. нет. Действительно, если бы такая мощность т существовала, то в множестве И'(в») всех порядковых трансфинитов, предшествующих ы>„имелось бы подмножество мощности тп. Это подмножество вполне упорядочено н несчетно. Но тогда его порядковый тип о предшествовал бы ь» и в то же время следовал за всеми счетными трансфинитами. Мы получили бы противоречие с определением ь». 7. Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения.

Сравнимость вполне упорядоченных множеств по мощности подсказывает следующую постановку вопроса: нельзя лн всякое множество вполне упорядочить каким- либо образом? Положительный ответ означал бы, в частности, что несравнимых мо>цностей вообще не существует. Такой ответ дал Цермело, доказав, что каждое множество может бытпь вполне упорядочено. Доказательство этой теоремы (мы не будем воспроязводить его здесь, см., например, (2)) существенно опирается на так называемук> аксиому выбора, состоящую в следующем.

Пусть А -- некоторое множество индексов ег и пусть для каждого а задано некоторое произвольное множество М . Тогда, как утверхсдает аксиома выбора, можно построитпь >рункцию ч> на А, отпноглщую кагюдому о ч А некоторый элемент та из соотаетстпвующего многюества М„. Иными словами, можно составить неко- 'З 4. Уоорлд»шшиме ми»»сею««а торов множество, выбрав из каждого ЛЛ по одному и только одному элементу.

Теория множеств в той форме, в которой мы ее излагаем, восходит к Кантору и Цермело н является «паниной» теорией множеств. Аксиома выбора, называемая также аксиомой Цермело, возникшая в рамках наивной теории множеств вместе с другимн вопросами,такими, как континуум-гипотеза, т.е, вопрос о совпадении моппюсти континуума с первой несчетной мощностью Км привела к многочисленным спорам и к длинной серии работ по математической логике н основаниям математики. Были построены аксиоматические теории множеств Геделя- Бернайса и Цермело-Френкеля. В рамках этих теорий была установлена непротиворечивость и независимость аксиомы выбора. Мы отсылаем читателя к специальным работам: А. Френкель и И. Вар-Хнллел. Основания теории множеств.

— Мз Ыир, 1966; П.Дж. Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. - Мэ Мнр., 1969. Заметим, что отказ от аксиомы выбора существенно обедняет теоретико-множественные посцюения. Вместе с тем критика наивной теории множеств н попытки обойтись без аксиомы выбора повели к созданию таких замечат» тьных теорий, как теория рекурсивных функций, н так ях понятий, как понятие вычис зпмого числа. Сформулируем некоторые предложения, каждое из которых эквивалентно аксиоме выбора (т. е.