А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 12

Какова бы ни была конечиан система множеств А»,..., А„, принадлежащих полукольцу Я, в Я найдется такая конечная система попарно непересекающихся множеств В», ..., Ве, что каждое Ал может быть предстаннено в виде суммы Ал= Ц В, »ем» некоторых из лпюжеств В,. Доказательство.

При и = 1 лемма тривиальна, так как достаточно положить $ = 1, В! —— А!. Допустим, что она справедлива для т! = т, и рассмотрим в Я некоторую систему множеств Ал,..., Л,и, Л„,.>». Пусть Вл,..., В! — множества из (5, удовлетворяющие условиям леммы по отношению к Ал,..., А,„. Положим В»! — Л»н+! ! ! В». В силу леммы 1 имеет место разложение д Л +, — 0 Вм О ).) В,', В„' б В, (1) в=! р=! а в силу самого определения полукольца имеет место разложение В» = .Вв! !.! . !.! В»У„В»1 б Я.

Легко видеть, что У. Аь = 0 0 В„, йв»1,..., ем»=! и что мне>жества В,, В' 1 а Н«гпмм« .««ожега« попарно нс пересекаются. Таким образом, множества В„, В' удо- влетворяют условиям леммы по отношению к Аы..., А„„А ч.ы Теорема 3. Если Г5 -- полукольцо, то Я(6) совпадает с систе- мой 3 множеств А, допускающих конечиыс разложения « А= ()Аа а=1 на множества Аь 6 б. Доказательство. Покажем, что система 3 образует кольцо. Если А и В --- два произвольных множества из 3, то имеют место разложения А = () А„В = () Вт, А, б ю,. Вз е Я. Так как 6 — — полукольцо, то множества С„= А; п В, тоже входят в (5.

В силу леммы 1 нмеют место разложения «, ч А, = () С„и () Р,ь; В, = 0С;, и 0 Етп г 1 1 (2) где Р,ь Ед б (5. Из равенств (2) вытекает, гго множества А О В и А а В допускают разложения АОВ=ЦС„, АаВ=()Рм00Е~ сь и, следователыю, входят в 3. Таким образом, 3 действительно пред- ставляет собой кольцо; его минимальность среди всех колец, содер- жащих 6, очевидна. 4. а-алгебры. В различных вопросах, в частности, в теории меры, приходится рассматривать суммы и пересечения не только конечного, но и счетного числа множеств.

Поэтому целесообразно, помимо понятия кольца множеств, ввести еще следукнцие понятия. 3. Кольцо, порожденное полукольцом. Мы уже видели в и. 1, что для каждой системы множеств сз существует гщипственное минимальное кольцо, .содержащее Б. Однако для произвольной системы ~5 фактическое построение кольца Я(Б) по Ь довольно сложно. Оно стапошится вполне обозримым в том важном случае, когда 15 представляет собой полукольцо. Это пос гроение лается следующей теоремой.

рм П Эвсмеииом илеоиии миомсессив 52 Определение 3. Кольцо множеств называется п-кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств Ал,... ...,А„,... содержит сумму Е=ИА„. и Определение 4. Кольцо множеств называется Б-кольллом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств Ал,. ..., А„,... содержит пересечелллле В =ПА„. и Естественно назвать и-алгеброй и-кольцо с единицей и б-алгеброй б-кольцо с единицей. Легко, однако, видеть, что эти два понятия совпадают: каждая и-алгебра является в то же время б-алгеброй, а каждая б-алгебра — о-алгеброй.

Это вытекает из соотношений двойственллости (см. 2 1) ЦЛи се Е1П(Е1Аи), ПАи = Е1) )(Е1А„). Простейшим примером и-алгебры является совокупность всех подмножеств некоторого множества А. Если имеется некоторая система множеств 6, то всегда существует хотя бы одна о.-алгебра, содержащая вту систему.

Действительно, положим Х= ЦА лей н рассмотрим систему З всех подмножеств множества Х. Ясно, что Ж есть сс-влгебра, содержащая б. Если Й вЂ” произвольная а-элгебра, содержащая 6, и Х вЂ” ее единица, то каждое А б Ь содержится в Х и, следовательно, Х = Ц Л С Х. Назовем Аеэ и-алгебру В непрнеодьмой (по отношению к системе ю), если Х = Ц А. Иначе говоря, неприводимая и-алгебра — это п-алгебра, Аеь не содержащая точек, не входящих ни в одно из А б Ь. Естественно в каждом случае рассмотрением только таких о-алгебр и ограничиваться. Длн неприводимых о-алгебр имеет место теорема, аналогичная теореме 2, доказанной выше для колец.

Теорема 4. Для лклбой непустой системы множеств Я сушествует неприводнмая (по отношению к этой системе) о-алгебра е Б. Саеюеми маоэкее1ае Ю(Ь), содержапгая Ь и содержащаяся в любой а-алгебре, содержа- щей Ь. Доказател ь ство проводится в точности тем же методом, что и доказательство теоремы 2; а-алгебра З(Я) называется минимальной а-алееброй иад системой Я.

В анализе важную роль играют так называемые барелееские миазееетеа, или Б-мнозесеетеа -- множества на числовой прямой, принадлежащие минимальной а-алгебре над совокупностью всех сегментов [а, 6]. 5. Системы множеств и отображения. Отметим ещедующие факты, которые нам понадобятся при изучении измеримых функций. Пусть у = У(к) — функция, определенная на множестве М и принимающая значения из множества Ф, и пусть 9Л вЂ” некоторая система подмножеств множества М.

Обозначим через Д9Л) систему всех образов ДА) множеств, принадлежащих 9Л. Пусгь, кроме того, % — некоторая система множеств, содержащихся в Ж, и 1 '(91)-- система всех прообразов )' '(А) множеств, входягдих в 91. Справедливы следующие утверждения, проверка которых предоставляется читателю: 1) Если 91 есть кольцо, то и 1 '(91) есть кольцо. 2) Если 91 есть алгебра, то и 1' ' (91) есть алгебра.

3) Если 91 есть а-алгебра, то и 1 1(91) есть а-алгебра. 4) 910 'Ф)) = У '(91Л)). б) В(У (З)) = У (З(91)). Останутся ли зти утверждения справгдаивымп, сгщи 1 ' заменить на У, а 91 — на 9Л? ГЛАВА П МЕТРИ«1ЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 'з 1. Понятие метрического пространства 1. Определение и основные примеры. Одной из важных операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до л1>угой. Многие фундаментальные факты анализа нс связаны г алгебраической природой действительных чисел (т.

е. с тем, что они образуют поле), а опиршотся лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства--одному нз важнейших понятий современной математики. Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств и их обобщения— топ ологическ их пространств. Результаты этой главы существенны для всего дальнейшего изложения. Определение.

Метрическим пространством называется па- ра (Х,р), состоящая из некоторою множества (пространства) Х элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицатель- ной, действительной функции р(х,у), определенной для;побых х и у из Х и подчиненной следующим трем аксиомам; 1) р(х, у) = 0 тогда и голько тогда, когда х = у, 2) р(х,у) = р(у,х) (аксиома симметрии), 3) р(х,х) < р(х,у) + р(у,э) (аксиома треугольника). Само метрическое пространство, т.е. пару (Х, р), мы будем обозначать,как правило, одной буквой: Л = (Х,р).

В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем зачастую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» Х. Приведем примеры метрических пространств. Некоторые из этих пространств играют в анализе весьма важную роль. 1 д Уаияшнг я!отроческого ирасшрансиша Х вЂ” (Х! ° ° Хи) У (У! ° ° ! Уи) 2 — (22; ° - Хи) тогда аксиома треугольника записывается в виде и и и (Хь — хь)2 < С(ул — хь)2 + ~ ~(2!. — Уь)2. (2) Ь=! Ь=! !.:;! ПолагаЯ Уг,. — Хл = аь„еь — Уь = Ьь, полУчаем 2!. †.гь = ал + Ьь, а неравенство (2) принимает при этом впд ж Ь и и и (аь + Ьь)2 < ~~! аг + ~ ~Ь2 Ь=! Ь=! л=! Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши— Буняковского' ) с и л 2 и и аьЬь) ( Саь ',~ Ьь Ь=! ! — -! Ь=-! (4) !) Неравенство Коши-Кгняковского вытекает ии тождества ( )- 2 ! аглл ) != ~ аг ~ Ьл — 2 ~ Я[ась! — Ьга!), е=! л=! к=! =!г=! которве проверяется непосредственно.

1. Положив для элементов произвольного множества О! если т=у, р(х,у) = 1, е!'ли хну, мы получим, очевидна, метрическое пространство. Его можно яа- знать пространством изолированных точек. 2. Множество действительных чисел с расстояниел! р(х,у) = )х — И образует метрическое простраяство К'. 3. Множество упорядоченных групп из п действительных чисел х = (хг,...,х„) с расстоянием р(х,у) = ~~! (уь — х!.)2 (1) Ь=! называется и-мерным арифметическим еоклидоемм пространст- вом Ки, Справедливостг* аксиом 1) и 2) для К" очевидна. Покажем, что в К" выполнена и аксиолга треугольнвка.

Пусть зь !'л. и, Меаираа вские и иаоиологичеекие ироеиарвиеиава Действитед!ьно, в силу этого неравенства имеем и и и и )~ (аь+ Ьь) = ~~а аье+ 2) аьЬь+ ~ ~Ьь ( ь=! Ф=! Ь=-1 Ь=1 аа и аа и / и и ( С а~ь + 2 ~~а а~~с ~ ~5~~ + ~~а Ь~ь — — ~~а аз + ~~а Ь! Ь=1 Ь вЂ” — 1 1 =-1 Ь=! Ь=1 Ь=-1 (6) тем самым неравенство (3), а следовательно, и (2) доказаны. 4. Рассмотрим то же самое л!ножество упорядоченных групп из и действительных чисел х = (я!а...,х„), но расстояние определим в нем формулой Р1(Ха У) = ~~а ]ХЬ вЂ” У1,.].

(5) Ь=! Справедливость аксиом 1) -3) здесь очевидна. Обозначим зто метри- ческое пространство символом К!. 5. Возьмем снова то же самое множество, что и в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами форму.лой Р,(Я,У) = !пах ]Уь — хь]. 1<в<и Справедливость аксиом 1) 3) очевидна. Это пространство, которое мы обозначим 51", во многих вопросах анализа не менее удобно, чел! евклидово пространство К" . Последние три примера показывают, что иногда и в самом де- ле важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.