А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа

Серия КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК основана в 2002 голу по иниииативе ректора МГУ им. М,В. Ломоносова акалемика РЛН В.Я. Саловничего и посвяшена 250-летию Московского университета Уважаемый читатель! Вы открыли одну из книг, изданных в серии «Классический университетский учебник», посвященной 250-летию Московского университета. Серия включает более !50 учебников и учебных пособий, рекомендованных к изданию Учеными советами факультетов и Редакционным советом серии. Московский университет всегда славился своими профессорами и преподавателями, воспитавшими не одно поколение студентов, впоследствии внесших заметный вклад в развитие нашей страны, составивших гордость отечественной и мировой науки, культуры и образования.

Юбилей Московского университета— выдающееся событие в жизни всей нашей страны и мирового образовательного сообщества. Высокий уровень образования в Московском университете в первую очередь обеспечивается высоким уровнем написанных выдающимися учеными и педагогами учебников и учебных пособий, в которых сочетаются как глубина, так и доступность излагаемого материала. В этих книгах собран бесценный опыт методики и методологии преподавания, который стал достоянием не только Московского университета, но и других университетов России и всего мира.

Издание серии «Классический университетский учебник» наглядно демонстрирует тот вклад, который внес Московский университет в классическое университетское образование в нашей стране. Решение этой благородной задачи было бы невозможным без активной помоши со стороны издательств, принявших участие в издании книг серии «Классический университетский учебник». Мы расцениваем это как поддержку имн позиции, которую занимает Московский университет в вопросах образования и науки. Ректор Московского университета академик РАН, профессор В. чий УДК 517.5 ББК 22.162 Кбо К о л м о г о р о в А.

Н., Ф о м и н С. В. Элементы теории функций н функционального анализа. — 7-е изд, — Мз ФИЗМАТЛИТ, 2004.— 572 с. — !ЯВИ 5-9221-0266-4. Содержит строгое систематизированное изложение основ функционального анализа и тонких вопросов теории функций действительного переменного. Основой явился курс функционального анализа !вначале «Анализ 11!э), читавглнйся академиком А, Н. Колмогоровым в течение ряда лет на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Х!омоносова. 6-е изд.

— 1989 г. Для студентов университетов, аспирантов, преподавателей, а также для научных работников в области математики и в смежных областях. Ил. 24. Виблиогр, 57 нвзе. !ЯВИ! 5-9221-0266-4 Ю ФИЗМАГЛИТ, 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к седьмому изданию. Предисповие к шестому издащпо . Предисловие к четвертому изданию. Предисловие к третьему изданию. Из предисловия ко второму изданию. Основньче обозначения . 14 ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕЕГГЫ ТЕОРИИ МНО2КЕСТВ 9 1. Понятие множества. Операции над множествами... 1. Основные определения (17).

2. Операции над множествами (17). 17 5 2. Отображения. Разбиения на классы.......,........ 1. Отображение множеств. Общее понятие функции (20). 2. Разбиение на классы. Отношения эквивалентности (23). 20 3 4. Упорядоченные множества. Трансфиннтныс числа............ 1. Частично упорядоченные множества (Зб). 2. Отображения., сохраняющие порядок (37). 3. Порядковые тины.

Упорядоченные множества (38). 4. Упорядоченная сумма упорядоченных множеств (39). 5. Вполне упорядоченные множества. Трансфинитные числа (40). 6. Сравнение порядковых чисел (42). 7. Аксиома выбора, теорема Цермело и другие эквивалентные им утверждения (44). 3. Трансфинитная индукция (46). з 5.

Системы множеств .. 1. Кольцо множеств (47). 2. Полукольцо множеств (49). 3. Кольцо, порожденное полукольцом (50). 4. о-взпебры (51). 5. Системы множеств и отображения (53). 'з 3. Эквивалентность множеств Понятие мощности множества.... 26 1. Конечные и бесконечные множества (26). 2. Счетные множества (27). 3. Эквивалентность множеств (29). 4.

Несчстность множества действительных чисел (31). 5. Теорема Кантора-Берюптейна (32). 6. Понятие мощности множества (ЗЗ). Оглавление ГЛАВА П МЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА э 1. Понятие метрического пространства.. 1. Определенно и основные примеры (54). 2. Непрерывные отображения метрических пространств Изометрия (61). э 2. Сходнмость Оз крытые и замкнутые множества 1. Предельные точки. Замыкание (63).

2. Схаднмость (64). 3. Плотныс подмножества (65). 4. Открытыс и замкнутые множества (66). 5. Открытые и замкнутые множества на прямой (69). з 3. Полные метрические пространства... 73 1 Определение и примеры полных метрических прогтранств (73). 2. Теорема о вложенных шарах (76).

3. Теорема Бара (77). 4. Пополнение простравютва (78). Принцип сжимакнцих отображений и его применения.....,.... 1 Принцип сжимающих отображений (81). 2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений (83). 3. Теоремы существования н единственности для дифференциальных уравнений (86). 4. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям (88). 91 5 5. Топологические пространства 1. Определение и примеры топологическнх пространств (91), 2.

Сравнение топологий (93). 3. Определяющие системы охрестностей. База. Аксиомы счетности (94). 4. Сходящиеся последовательности в Т (98). 5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм (99), б, Аксиомы отделимости (102). 7. Различные способы задания топологии в пространстве. Метризуемасть (105). з б. Компактность. 107 1, Понятие компактности (107). 2. Непрерывные отображения компактных пространств (109). 3. Непрерывные и полунепрерывные функции на компактных пространствах (110). 4. Счетная компактность (112).

5. Предкомпактные множества (115). 5 7. Компактность в метрических пространствах.......,........... 115 1. Полная ограниченность (115). 2. Компактность и полная ограниченность (117). 3. Предкомпактные подмножества в метрических пространствах (119). 4. Теорема Арцела (119). 5, Теорема Пеано (121). 6. Равномерная непрерывность. Непрерывные отображения лветричегкнх компактов (123).

7. Обобщенная теорема Арцела (124). 5 8. Непрерывные кривыг в метрических пространствах... Огввввенвг ГЛАВА !П НОРМИРОВАННЫЕ И ТОПОЛОГИт1ЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 130 '3 1. Линейные пространства 1. Основные определения и примеры линейных пространств (130). 2. Линейная зависимость (132). 3. Подпространства (133). 4. Фактор-пространства (134).

5. Линейные функционалы (135). (>. Геометрический смьпл линейного функционала (137). 5 2. Выпуклые множества н выпуклые функционалы. Теорема Хана-Банаха 139 1. Выпуклые множества и выпуклые тела (139). 2. Однородно-иыпуклые функционалы (142). 3. Функционал 54инковского (143). 4. Теорема Хана-Банаха (145). з. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве (148). '3 3.

Нормированные пространства . 150 1. Определение и примеры нормированных пространств (150). 2. Подпространства нормированного пространства (152) 3. Фактор-пространства нормиронанного пространства (153). 5 4. Евхлидовы пространства 1. Определение евклидовых пространств (155). 2. Примеры (157), 3.

Существование ортогонвльных базисов, ортогонализация (159). 4. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы (161). 5. Полные евклидовы пространства Теорема Рисса — Фипгера (165). 6. Гильбертово пространство. Теорема об изоморфизме (167). 7. Падпространства, ортогональные дополвсния, прямая сумма (170). 8. Характеристическое свойство евклидовых пространств (174). 9.

Комплексные евклидовы пространства (177). '3 5. Топологические линейные пространства...............,....... 179 1. Определение и примеры (179). 2. Локальная выпуклость (182). 3. Счетно-нормированные пространства (183). ГЛАВА 1Ъ' ЛИНЕЙНЬЖ ФЪгНКПИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЬЖ ОПЕРАТОРЫ 5 1. Непрерывные линейные функционалы......................... 188 1. Непрерывные линейные функционалы в топологических линейных пространствах (188). 2. Линейные функционалы на нормированных пространствах (189). 3. Теорема Хана Банаха в нормированном пространстве (192).

4. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве (19о). 5 2. Сопряженное пространство. . 196 1. Определение сопряженного пространства (196). 2. Сильная топология в сопряженном пространстве (197). 3. Примеры со- Оглавление пряженных пространств (199). страигтво (205). 4. Второе сопряженное про- 5 3. Слабая топология и слабая сходимость................,....... 207 1. Слабая топология и слабая сходнмость в линейном топологическом пространстве (207). 2. Слабан сходимость в нормированных пространствах (208).