А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа (1134953), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В Широков. В главах 1 и 1У сделаны некоторые перестановки и изменения, облегчшощие, на наш взгззяд, переход от более простых понятий к более сложным (например, от банаховых пространств к более общилг в гл. 1У). Довольно существенно переработано изложение теории меры (еш. У). В последние годы в курс «Анализ П1» часто включаются элементы теории банаховых влгебр и спектрального анализа. Поэтому мы сочли целесообразным включить в нашу книгу написанное В.
М. Тихомировым дополнение, посвященное этим вопросам. А. Колмогоров С. Фомин ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Первое издание «Элементов теории функций н функционального анализа» вышло двумя отдельными выпусками в 1954 и 1960 годах. Появление этих иыпусков бьщо связано с включением в конце 40-х годов в программу ьееханико-математического факультета МГУ курса «Анализ П1», объединявшего элементы теории меры и теории функций, интегральные уравнения, сведения нз функционального анализа, а позже и вариацнонное исчисление. Этот курс, читавпзийся в МГУ сперва А.Н. Колмогоровым, а потом и другими лекторами, в том числе С.В.
Фоминым, вошел в дальнейшем в программы и других университетов. В свое врелзя замена в МГУ отдельных курсов теории функций дейстнительного перелеенного, интегральных уравнений и вариационного исчисления единым хурсом «Анализ П1» вызвала большие споры. Перед курсом была поставлена задача приучить студентов к двойному зрению: с одной стороны, следить за внутренней логикой развития теории множеств, общей теории непрерывных отображений метрических и топологических пространств, линейных пространств и функционалов и операторов на них, чистой теории меры и интегрирования в общих «пространствах Из предисловия яо в1вораму изданию с мерой», с другой . не упускать из виду обслуживаемую этими более абстрактными областями математики проблематику к.пасснческого н даже прикладного анализа Прн решении этой задачи мы в планировке книги отдаем предпочтение абстрактной линии построения курса.
От обшей теории множеств (главв 1)можно перейти к метрическим и топологнческим пространстяам и их непрерывным отображениям (глава П)либо непосредственно к пространствам с мерой (без топологии) и интегрированию в них (глава У). В главах П! и 1У изучаются линейные пространства н линейные функционалы и операторы в них. От этих глав возможеа прямой переход к главе Х (нелинейные дифференцируемые операторы и функционалы). В главе НП изучаютсн линейные пространства суммирусмых функций. Лишь в главах У1 п 1ЧП ввимание, по существу, сосредоточено на функциях действительного переменного.
Хотя в первую очередь в нашей книге излагаются общие поннтия теории функций и функционального анализа, внимание к примыкающей сюда классической проблематике читатель может проследить почти во всех главах. Включение в книгу глав У1 (теорпя дифференцирования), УН1 (тригонометрические ряды и интеграл Фурье) и 1Х (линейные интегральные уравнения) приводит к тому, что сейчас наша книга охватывает всю программу принятого в МГУ курса «Анализ П1», кроме варнационного исчисления. Мы не включили этот раздел в нашу книгу, о!раннчнвшись лишь изложением в главе Х самых первых представлений о нелинейном функциональном анализе.
В новом издании, как п в первоначальном, значительное место занимает общая теория меры. В последнее время появилось довольно много изложений теории интегрирования, основанной на схеме Даниели, пе использующей аппарата теории меры. Мы полагаем, однако, что теория меры достаточно важна и сама по себе, независимо от введения понятия интеграла, .и заслуживает включения в унюзерснтетскнй курс. Включение новых глав заметно увеличило объем книги.
Старые главы тоже существенно переработаны и в них включены новые параграфы (например, о порядковых типах и трапсфпннтных числах, топологичсских пространствах, обобщенных функциях и др.). Перерабатывая нашу книгу и включая в нее новые разделы, мы старалисгь однако, сохранить в ней тот сравнительно элементарный стиль изложения, который был выдержан, хак нам кажется, в первом издании.
Мы надеемся, что она найдет свое естественное место в университетском преподавании наряду с другими руководствами, в частности, с книгой Г. Е. Шилова «Математический анализ, специальный курс», в которой более подчеркнута аналитическая сторона дела, а интерес к метрическим и топологичсским пространствам, мерам и т. д. как самостоятельным объектам культивируется в меньшей степени.
А, К»ям»я»ров С. Фомин ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОлКЕСТВ ~ 1. Понятие множества. Операпии над множествами 1. Основные определения. В математике встречаются сань>е разнообразные множества. Можно говорить о множестве гранко й лшогогранннка, точек на прямой, множестве натуратьных чисел и т.д. Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами: совокупность, собрание элементов и т.п. Роль, которую понятие множества играет в современной математике> определяется не только тем, что сама теория множеств стала в настоящее время весьма обширной и содержательной дисциплиной, но главным образом тем влиянием, которое теория множеств, возникшая в конце прошлого столетия, оказывала и оказывает на всю математику в целом.
Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение этой теории, мы здесь лишь введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейп>ем. Множества мы будем обозначать прописныьси буквами Л, В,..., в их элементы — малыми а,6,... Утверждение «элемент а принадлежит м>южеству .4» символически записывается так: а й А (илн А й о); запись а ф .4 (или А ~ а) означает, что элемент а не принадлежит А.
Если все элементы, из которых состоит Л, входят и в В (причем случай А = В не исключается), то мы называем Л подмноо>сесп>вом множества В и пишем Л С В. Например, целые числа образу>от подмножество в множестве всех действительных чисел. Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некое множество (например, множество корней данного уравнения) хотя бы один элемент. Поэтому целесообразно ввести понятие протеза множества.
т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Мы будем обозначать его символом >о. Любое множество содержит й> в качестве подмножества. Подмножества некоторого множества, отличные от него самого и от к>, называются собсп>оеннымн. Гл. Ь Элеметвы теории мнолсссте ьз 2. Операпии над множествами. Пусть А и  — — произвольные множества; их срммоб, или обоедпнением С = А О В называется множество, сои гоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В (рис. 1). А В С=АПВ Рис. 2 С = А О В Рис.
1 АОВ = ВОА, (АОВ) ОС = АО(ВОС), А П В = Л П А, (А П В) П С = А П (В О С). Кроме того, они взаимно дистрибутивны: (А О В) ОС = (АОС) О(ВО С), (А а В) и С = (А О С) и (В О С). (1) (2) Действительно, проверим, например, первое нз этих равенств' ). Пусть элемент х принадлежит множеству, стоящему в левой части 1) Равенство двух л~ножеств А = В понимается как тождественное равенство, т. е. оно оэкачает, что каждый элемент множества А принадлежит В, и наоборот.
иначе говоря, равенство А = В равносильно тому, что выполнены оба включени»: А С В и В С А. Аналогично определяется сумма любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А„— произвольные множества, то нх сумма О А„есть совокупность элементов, каждый из которых а принадлежит хотя бы одному из множеств А . Назовем пересе ~еииелс С = А О В множеств А и В множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (рис. 2).
Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся на три, состоит из всех целых чисел, делящихся без остатка на шесть. Пересечением л ю 6 о го (конечного или бесконечного) числа множеств Ао называется совокупность ПАо элементов, принадлежащих каждому из множеств А . Операции сложения и пересечения множеств по самому своему определению коммутативны и ассоциативны, т.е. 1 Ь Мцаа<еееп<ап. Операццв над мтаажесааами равенства (1), т.е.
х с (А О В) О С. Это означает, что х входит в С и, кроме того, по крайней мере в <щно из множеств А нли В. Но тогда х принадлежит хотя бы одному из множеств А« 'С плн В П С, т.е. входит в правую часть рассматриваемого равенства. Обратно, пусть х б (АПС) и(ВО С). Тогда х Е Аг<С или х С ВПС. Следовательно, х е С и, кроме того, х входит в А или В, т.е. х б А <з В. Таким образом, х е (А<зв) ОС.
Равенство (1) доказано. Аналогично проверяется равенство (2). А В С=А<В Рнс. 3 С=Ада Рис. 4 Определим для множеств операцию вычитания. Назовем разностью С = «1 1 В множеств А н В совокупность тех злемшпов из А, которые не содержатся в В (рис.,'3). При этом, вообще говоря, не предполагается, что А Э В. Вместо А 1 В иногда пишут А — В. Иногда (например, в теории меры) удобно рассматривать так называемую симметрическую рш<ностпь двух множеств Л и В, которая определяется как сумма разностей А << В и В << А (рнс. 4). Симметрическую разность С множеств А и В мы будем обозначать символом .4 <1 В. Таким образом, по определению, А а В = (А 1 В) и (В <, А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
