А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 7

Эквиеелеитииоетиь миелееетве. Ноиетие меитиееити соответствтие между всеми элементами всех множеств Аз, Ат, и всеми натуральными числами. Нанте утверждение доказана. Упражнения. 1. Доказать, что множество всех многочлевои с рацвовзльпыми коэффициентами счетно. 2. Число С назьщастся алгебраическим, если ово является корнем некоторого миогочленв с рациональными коэффициентами. Доказать, что лоюжество всех алгебраических чисел счетно. 3.

Дока»аз!и что множестве всех рациональных иитервапов (т.е. интервалов с рациональными концами) на примой счетно. 4. Доказать, что множество всех точек плоскости, имеющих рациональные координаты, счетно, Указание. Воспользоваться свойством 2. 3. Всякое бесконечное миозкестео содержитп счетное ттодмнозтсещпео.

Доказательство. Пусть М вЂ” -бесконечное множество. Выберем в нем произвольный элемент а!. Поскольку М бесконечно. в нем найдется элемент аа, отлн шый от ат, затем найдется элемент аз, отличный от а! и от аз и т.д. Продолжая этот процесс (который нс люжет оборваться из-за «нехватки» элементов, нбо Л1 бесконечно), мы получаем счетное подмножество А = (ат,...,аи, ) множества Л1. Предложение доказано. Это предложение показывает, что среди бесконечных множеств счетныс ятзляются «самымн маленькими». Ниже мы выясним, существуют ли несчетные бесконечные множества.

3. Эквивалентность множеств. Сравнивая тс или иные бесконечные множества с натуральным рядом, мы пришли к понятию счетного множества. Ясно, что множества можно сравнивать не только с множеством натуральных чисел; установление взаимно однозначного соответствия (бпекцпи) позволяет сравнивать между собой .чюбые два множества. Введем следующее, определение. Определение. Два лтножества, ЛХ и 2У, называются эквивалентными (обозначение М Лт), если между их элементами можно ут:тановить взаимно однозначное соответствие.

Понятие эквивалентности применимо к любым лтножествам как конечным, так и бесконечным. Два конечных множества экнивалентны между собой тогда (и только тогда), когда число элелтентов у них одинаково. Определение счетного множества можно теперь сформулировать следуиицим образом: мнетлсесплео иазываеплся 2-!224 !л. !. Элемевоаа теории миаакеата счетным, если оно эквивалентно мноэсеству наглуральных чисел. Ясно, что два множества, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой; в частности, любые два счетных множества эквивалентны между собой. Примеры. 1. Множества точек на любых двух отрезках (а,Ь] и [с, И) эквивалентны между собой.

Из рис. 5 ясно, как установить между ними биекцию. Именно, точки р и у соответствуют друг другу, если они являются проекциями одной и той же точки г вспомогательного отрезка е1. а р Ь а а а Рис. 5 Рис. б 2. Множество всех точек на расширенной комплексной плоскости эквивалентно множеству всех точек на сфере. Биекциго а +Ф г можно установить, например, с помощью стереографической проекции (рис. 6). 3. Множество всех чисел в интервале (О, 1) экнивалентно множеству всех точек на прямой, Соответствие можно установить, например, с помощью функции у = †„ агсскх + — . 1, 1 Рассматривая примеры, приведенные здесь и в и.

2, можно заметить, что иногда бесконечное множество оказывается эквивалентным своей истинной части. Например, натуральных чисел оказывается <столько же», сколько и всех целых или даже всех рациональных; на интервале (О, 1) «столько же» точек, сколько и на всей прямой, и т.д. Это явление характерно для бесконечных множеств.

Действительно, в п. 2 (свойство 3) мы показали, что из всякого бесконечного множества М можно выбрать счетное подмножество; пусть А = (аы..., о„,... ) такое подмножество. 1 3. Вкпипалентпоств лгноокеств. Нпнетое мопспостпи Разобьем его на два счетных подмножества Аг = (ог,оз,а;„...) и .4г = (ог,ол,ае,...) и установим межпу А и Аг взаимно однозначное соответствие.

Это соответствие можно затем продолжить до взаимно однозначного соответствия между множествами А О (М 1 А) = М и Аг 0 (М ~ А) = = М ~ Аг, отнеся каждому элементу из М 1 А сам этот элемент. Между тем множегтво М 1 А пе совпадает с М, т. е, является собственным подыножестволг для М. Мы получаевб таким образом, следующее предложение: Вглкое бесконечное множесепео экеивплептно некоторому своему собственному подмнолсестеу. Это свойство можно гйншять за определение бесконечного множества. Упражнение.

Доказатгч что если М вЂ” произвольное бесконечное множество и А счетно, то М М гг А. 4. Несчетность множества действительных чисел. В и. 2 мы привели примеры счетных множеств. Число этих нрилгеров можно было бы увеличить. Кроме того, как мы показали, сумма конечного или счетного числа с:четных множеств снова есть счетное множество.

Естественно возникает вопрос; а существуют лн вообще несчетные множества? Положительный ответ на него дает слелугощая теорема. Теорема 1. Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей,несчетно. Доказательство. Предположим, что дано какое-то счетное множество (всех или только некоторых) действительных чисел а, лежащих на отрезке [О, 1); аг = О, оыощогз ..ог„.. аг = О, ощоггогз...огп .. аз = О, озгозгозз...озп сео = О, пагипгопз...о„п .. Здесь ась — й-я десятичная цифра числа а,. Построим дробь (У = О,Ьгбг...Ь„... рм П Элимиииии тгирии миюхещии диагональной процедурой Кантора, в именно: за Ьэ примем произиольную цифру, не совпадающую с а1 м за 6з — произвольную цифру, не совпэлакицую с азг, и т.д.; вообще, за Ь„примем произвольную цифру, не совпадающую с а„„.

Эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне (1). Действительно, от а~ дробь р) отличается по крайней мере первой цифрой, от аз — второй цифрой и т, д.; вообще, так как Ь„;Е а„и для всех и, то дробь )3 отлична от любой из дробей а,, входящих в перечень (1).

Таким образом, никакое счетное множество действительных чисел, лежащих на отрезке [О, Ц, не исчерпывает этого отрезка. Приведенное доказательство содержит небольшой «обманы Дело в том, что некоторые числа (а именно, числа вида р/10г) могут быть записаны в виде десятичной дроби двумя способами: с бесконечным числом нулей или с бесконечным числом девяток:, например. 1 = 10 = 0,5000 . =. 0,4999... Таким образом, несовпадение двух десятичных дробей еще не гарантирует различия изображаемых ими чисел, Однако если дробь 13 строить осторожнее, так, чтобы она пе содержала ни нулей, ни девяток, полагая, например, Ьи т 2, если аи„= 1 и Ьи т 1, если а,т ф 1, то доказательство становится вполне корректным.

У ирам венке. Показать, что числа, обладающие двумя различными десятичными разложениями, образуют счетное множество. Итак, отрезок ]О, Ц дает пример несчетного множества. Приведем некоторые примеры множеств, эквивалентных отрезку ]О, Ц. 1. Множество всех точек любого отрезка ]а, 6] плп интервала (а, 6). 2.

Множество всех точек на прямой. 3. Множество всех точек плоскости, пространства, поверхности сферы, точек, лежащих внутри сферы, и т.д. 4. Множество всех прямых на плоскости. 5. Множество всех непрерывных функций одного или нескольких переменных. В случаях 1 и 2 доказательство не представляет труда (см. примеры 1 и 3 п. 3). В остальных случаях непосредственное доказательство довольно сложно.

Упражнение. Используя результаты этого пункта и упражнение 2 и. 2, доказать существование иэранспендгигинмх чисел, т, е. чвсшп не являющихся алгебраическими. б. Теорема Кантора — Бернштейна. Следующая теорема является одной из основных в теории множеств. 1 3, Эквиввлетпивгть мив»кевтв. Понятие мощи««щи Теорема 2 (Кантор-Бернпгтейн). Пусть А и  — — два произвольных множества. Если существуют взаимно однозначное отображение / множества А на подмножество Вг множества В и взаимно однозначное отображение д множества В на подмножество Аг множества А, то А и В эквивалентны. Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что А и В не пересекаются. Пусть х — произвольный элемент из А.

Положим х = хо и определим последовательность элементов 1хи,) следующим образом. Пусть элемент хи уже определен. Тогда, если и четно, то за х„+г примем элемент из В, удовлетворяющий условию д(хи+г) = хи 1если такой элемент существует), а если п почетно, то хпег -- элемент из А, УдовлетвоРЯющий Условию угх„+г ) = хи (еслгг он существует). Возможны два случал.

1'. При некотором и элемента ти+г, удовлетворяющего указанным условиям, нс существует. Число п называется порядком элемента х. 2'. Последовательность 1х„) бесконечна'). Тогда х называется элементом бесконечного порядка. Разобьем теперь А на три множества: Ае, состоящее из элементов четного порядка, Ао — — множество элементов нечетного порядка и Аг — множество всех элементов бесконечного порядка.

Разбив аналогичным образом множество В, заметим, что ~ отображает Аь на Во и Аг на Вг, а д ' отображает Ао на Вн. Итак, взаимно однозначное отображение гсг, совпадающее с 1 на Ак 0 Аг и с д ' на Ао, есть взаимно однозначное отображение всего А па все В. 6. Понятие мощности множества. Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного в того же числа элементов. Если же эквивалентные между собой множества М и гь' произвольны, то говорят, что М и гь' имеют одинаковую мощность. Таким образом, мощность — это то общее, что есть у любых двух эквивалентных между собой множес:тв.

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов множества. Мощность множества натуральных чисел (т.е. любого счетного множества) обозначается символом Ив (читается: «алеф ну.пь»). Про множества, эквивалентные множеству всех действительных чисел отрезка 10, 1], творят, что они имеют мтцность ) При »том число различим» влвмевтов к мож«т быть и конечно: оии могут «запяклвваться», образуя 6«сквиечирю пвв»вдов«те»ьив«тсь содержащую лиань к«печное число попарно раэлвчиык ильм«иков.