А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 6

)'л. ). Злемен>иы >нвормн мне»сесе>е Пусть М вЂ” некоторое множество и пусть некоторые из пар (а, 6) элементов этого множества являются «отмеченными»>). Если (а,6) — «отмеченная» пара, то мы будем говорнткч что элемент а снязвн с Ь отпо>пением )р, и обозначать это символом а 6. Например, если имеется в виду разбиение треугольников на классы равновеликих, то а Ь означает «треугольник а имеет ту же площадь, что н треугольник 6».

Данное отношение Ьо называется отношением зхоивалентностпи, если оно обладает следующими свойстнами. 1) Рефлексивностги а а для любого элемента а б М. 2) Симметричностгв если а-Ь, то 6 а. и 3) Транзигинность: если а Ь и Ь с, то а с. Эти условия необходимы и достаточны для того, чтобы отношь ние у (признак!) позволяло разбить множестно М на классы. В самом деле, и с я к о е разбнепие данного множества на классы опредс" лает между элементами этого множества некоторое отношение эквивалентности. Действительно, если а-6 означает «а находится в том же классе, что и 6», то отношение )о будет, как легко проверить, рефлексивным, сиыметричным и транзптивным. Обратно, пусть д — некоторое отношение эквивалентности между элементами множества М и К, — класс элементов х нз М, эквивалентных данному элементу а: х а. В силу свойства рефлексивности элемент и свм принадлежит классу К,.

Покажем, что два к.ласса К„и Кь либо совпадают, либо но перессквн>тся. Пусть некоторый элемент с принвдле>кит одновременно и К„, и Кь, т. е. с а и с 6. Тогда в силу симметричности а с и в силу транзитнвностн а Ь. Если теперь х — произвольный элемент из К, т. е. х а, то в силу (1) и свойства транзнтивностп х Ь, т.е. х Е Кь. Точно твк же доказывается, что всякий элемент 1> б Кь входит в К„. Таким образом, два класса К и Кь, плюющих хотя бы один общий элемент, совпадают между собой.

Мы получили разбиение множества М на классы по виданному отпошенпк> эквивалентности. Понятие разбиения множества на классы тесно связано с рассмотренным в предыдущем пункте понятием отображения. Пусть 1 — - отображение множества А в множество В. Собрав в один класс все элементы из А, образы которых в В совпадают, ') При этом элементы а и Ь берутся в определенном порядке, т.е. («,Ь) и )Ь. е) -- две, вооб>де говора, разливные нары. 1 2. Оисобрскиеенил. с.избиении на классы мы получим. очевидно, некоторое разбиение множества А. Обратно, рассмотрим произвольное множество А и некоторое его разбиение па классы.

Пусть В -- совокуспи>сть тех классов, па которые разбито множество А. Ставя в соответствие каждому элемеспу а б .4 тот класс (т, е, элемент из В), к которому а принадлежит, мы получим отображение множества А па множество В. Примеры. 1. Спроектируем п>соскость тр на ось:г. Прообразы точек оси х --- вертикальные прямые. Следовательно, этому отображению отвечает разбиение плоскости на парал.чельные прямыс. 2. разобьем все точксс трехмерного простршютва на классы, объединив в один класс точки, равноудаленпые от начала координат. Каждый класс представляет собой сферу некоторого радиуса.

Совокупность всех этих классов можно отождествить с множеством всех точек, лежащссх ца луче (О, со). Итак, разбиению трехмерного пространства на концентрические сферы отвечает отображение этого прсх:транства на полупрямую. 3. ОГ>ъединим в один класс все действительные числа с одинаковой дробной частьк>.

Этому разбиению отвечает отображение прямой линии на окружноссп единичной длины. Понятие эквивалентности является частным случаем более общего понятия бинарного отношения. Пусть ЛХ вЂ” произвольное множество. Обозначим через ЛХ х ЛХ пли Мз совокупность всех учюрядоченных пар (оь 6), где ас Ь б М. Говорят. что в М задало бы>сорное отношение сс>с если в ЛХз вылелгно произвольное подмножество Ли. Точнее говоря, мы скажем, что элемент а находится в отношении с> к элементу 6- — обозначение асс>6 — в том и только том случае, когда пара (а. 6) принадлежит Ли, Примером бинарного отношения может служить отношение тождества е; имещюс аеЬ в зол> н только том случае, если а = Ь; иначе говоря, это — - отношение, задаваемое диагонв.ныо ес в М х М, т.е. подмножеством пар вида (о,о).

Ясно, что всякое отнопинсие эквивалентности о в ссокоторолс множс*стае ЛХ есть бинарное отпав>ение, подчинешюе следующим условиям. 1) Диагональ с> принадлежит Л (рефлекгпв~осгь). 2) Если (а, 6) 6 Л„, то п (Ь, а) Е Ле (спмметрп >>>ость). 3) Если (а, 6) б Л„н (6,с:) й Л„, то и (а,с) й Л„(транзитивпость). Итак, эквивалентность — это бинарное отношение, удовлетворяющее условиям рефлекгивностис транзитивности и симметричности. В З 4 мы рассмотрим другой важный частный случай бинарного отнопюпия - — частичную упорядоченность. Гл. Ь Ваемеите п~еории множеств 'З 3.

Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества 1. Конечные н бесконечные множества. Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, множество всех молекул воды на Земле и т. д, Каждое из этих множеств содоржит конечное, хотя, быть может, и неизвестное нам число элементов.

С другой стороны, существуют множества, состоящие из бесконечного числа элементов. Таково, например, множество всех натуральных чисел, лшожество всех точек на прямой., всех кругов на плоскости, всех многочленов с рациональными коэффициентами и т.

д. При этом, говоря, что множество бесконечно, мы имеем в виду, что из него можно извлечь один элемент, два элемента и т.д., причем после каждого такого шага в этом множестве еще останутся элементы. Два конечных множества мы можем сравнивать по числу элементов и судить, одинаково это число или же в одном из множеств элементов болыпе, чем в другом. Спрашивается, можно ли подобным же образом сравнивать бесконечные множества? Иначе говоря, имеет ли смысл, например, вопрос о том, чего больше: кругов на плоскости или рациональных точек на прямой, функций, определенных на отрезке [О, Ц, или прямых в пространстве, и т.д.? Посмотрим, как мы сравниваем между собой два конечных множества.

Можно, например, сосчитать число элементов в каждом из ннх и, таким образом, зтн два множества сравнить. Но можно поступить и иначе, именно, попытаться установить биекцию, т.е. взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, иначе говоря, такое соответствие, при котором каждому элементу одного множества отвечает один и только один элемент другого, н наоборот. Ясно, что взаимно однозначное соответствие между двумя конечными множествами можно установить тогда и только тогда, когда число элементов в пих одинаково.

Например, чтобы проверить, одинаково ли число студентов в группе и стульев в аудитории, можно, не пересчитывая пи тех, пи других, посадить каждого студента на определеняый стул. Если мест хватит всем и не останется ни одного лишнего стула, т.е. если будет уставзвлена биекция между этими двумя множествами, то это и будет означать, что число элементов в них одинаково. 27 1 3.

И»о»»»лет»ность ми»ос»с»ос». Лон»тьс мосс»ос»со Заметим теперь, что если первый способ (подсчет числа элементов) годится лишь для сравнения конечных множеств, второй (установление взаимно однозначного соответствия) пригоден и для б е с к о н с ч н ы х. 2. Счетные множества. Простейпшм среди бесконечных множеств являет< я множество натуральных чисел. Назовем счетным множеством всякое множество. элементы которого можно бнективно сопоставить со всеми натуральными чнсщамн. Иначе говоря, счетное лсножество --- это такое множества, элементы которого можно занумаровать в бесконечную последавательпостьс пм..., пь,...

Приведем примеры счетных множеств. 1. Множеств»о всех целых чисел. Устанавпгв соответствие ъюжду всеми целыми и всеми натуральными числалси по следующей схаме: Π— 1 1 — 2 2 12345 вообще, неотрицательному числу п > О сопоставим нечетное число 2п+ 1, а отрицательному п < О четное число 2)н(: и ьь 2п+ 1 при и > О, и е+ 2(гс( при и < О.

2. Множество всех четных положительных чисел. Соответствие очевидно:и еэ 2п. 3. Множество 2, 4, 8,..., 2",... степеней число 2. Здесь соответствие также очевидно. Каждому числу 2" сопоставляется шола и. 4. Ршхмотрим более сложный пример, а именно, покажем, что множество осех рациональных чисел счетно. Каждое рациональное число однозначно записывается в виде несакратимай дроби а = р/в, о ) О. Назовем сумму )р)+ о вьссотой рационального числа а. Ясно, что число дробей с данной высотой и конечно. Например, высоту 1 имеет только число О/1, высоту 2 .. числа 1/1 и — 1/1., высоту 3— числа 2/1, 1/2, — 2/1 и — 1/2 и т.

д. Будем нумеровать все рациональные числа по возрастанию высоты, т. е. сперва выпишем числа высоты 1, потом — — числа высоты 2 и т. д, Прн этом всякое рациопвльное число получит некоторый номер, т.е. будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми натуральными и вселси рациональными числами. Бесконечное множество, не являнтщееся счетным, называется несчетным множеством. !л. !. Элементы сссории мноясссто Установим некоторые общие свойства счетных множеств. 1. Белков подленожество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство. Пусть А - счетное множество, а  — его подмножество. Занумеруем элементы множества А: аг,..., а„,... Пусть а„„ао,,... — те из них, которые входят в В. Если среди чисел я!, пг,... есть наибольшее, го В конечно, в противном случае В счетно, поскольку его члены аи,, а„„,... занумерованы числами 1,2,... 2. Сумма любого конечного или сне!нного множссгпва счетньет множетпо ещль снова т4ен4ное множество. Доказательство.

Пусть А4, Аг,... — сытные множества. Мы можем считать, что они попарно не пересекаются. так как иначе мы рассмотрели бы вместо них множества Аг, Аг '1 Аы Аз'1(А! 'с!Аг), . -- каждое из которых не более чем счетно, — — имеющие ту же самую сулему, что и множества Аг, Аг, .. Все элементы множеств Аг, Аг,... можно записать в виде следующей бесконечной таблицы: агг а!3 а44 о22 огз а24 а32 азз а34 а42 а43 а44 где в первой строке стоят элементы множества Аы во второй-- элементы множества Аг и т.д. Занумерусм теперь все этн элементы «по ДиагоналЯ34», т, е. за пеРвый элемент пРимем азы за втоРой агг, за третий аг! и т.д., двигаясь в порядке, указанном стрелками на следующей таблице: -Ф а!4 а24 аг! -4 огг а2! агг ам азг а41 а42 а34 а43 а44 Ясно, что при этом каждый элемент каждого из множеств получит определенный номер, т.е. будет установ.вено взаимно однозначное аы а21 аз! а4! а!3 г огг азз *З 3.