А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин - Элементы теории функции и функционального анализа, страница 5

У и р а ж в е н н е. Показать, что А 6 В = (А<А В) ~(А ПВ). Часто приходится рассматривать тот илн иной запас множеств, явля<ощихся подмножествами некоторого основного множе<'тва 5, например, различные множества точек на числовой прямой. В этом случае разность Я '1 «! называют дополнением множества А и обозначают СА или А'.

В теории множеств и ее приложениях весьма важную роль п<.рвет так называемый принцип двойственности, который основан на следующих двух соотношениях: 20 Гл. б енсиеиюи се«арии ми»ею«сто ?. Дополнение суммы равно пересечению допалнениул 5~(.) А. = П(5~ А.). (3) с а 2. Дополнение пересечения равна сумме дополнений: (4) 5~П 4. = (.)(5~.4.). а а Принцип двойственности состоит в том, что из любого равенства, относящегося к системе подмножеств фиксированного множества 5, совершенно автоматически может быть получено другое — двойственное — - равенство путем замены всех рассмсс триваемых множеств их дополнениями, сумм множеств — пересечениями, а пересечений — суммами, Примером использования этого принципа может служить вывод теоремы 3' из теоремы 3 2 2 гл. 1?.

Приведем доказательство соотношения (3). Пусть х б 5 ~ () А . Это означает., что х не входит в объединение () А, т.е. не входит пи в одно из множеств А„. Следовательно, х с принадлежит каждому из дополнений 5~А и потому х с П(5~А ). а Обратно, пусть х с ()(5 ~ А„), т.е.

х входит в каждое 5 ~ А,; тогда х не входит ни в одно из множеств А„, т. е. не принадлежит их сумме () А„а тогда х Е 5~() А . Равенство (3) доказано, Соотношение (4) с а доказывается аналогично. (Проведите доказательство.) Название «симметрическая разность» для операцнн А Ь В нс совсем удачно; эта операция во многом аналогична операции взятия суммы множеств А О В. Действительно, А 0 В означает, что мы связываем иеисключающим «или» два утверждения: «элемент принадлежит А» и «элемент принадлежит В», а А Ь В означает, что тс же самые два утверждения связываются исключающим «или»: элемент х принщссежцт А Л В тогда и только тогда, когда он принадлежит либо ге»лыса А, либо только В. Множество А Ь В можно было бы назвать «суммой по модулю два» множеств А н В (берется объединение этих двух множеств, ис элементы, которые при этом встречаются дважды, выбрасываются).

З 2. Отображения. Разбиения на классы 1. Отображение множеств. Общее понятие функции. В анализе понятие функции вводится следующим образом. Пусть Х -- некоторое множество на числовой прямой. Говорят, что на этом множестве определена функция ?, если каждому числу ! 2. Г>ъьь>бршн:свил.

Разбиеншь на к«а«ем 2! х е Х постанлепо в соответствие определенное число у = Г(х). При этом Х называется аблььсьпью определения двиной функции, а !' — совокупность всех значений, принимаемых этой функцией,— ее областью значений. Если же вместо числовых рассматривать множес> на какой угодно природы, то мы придем к самому общему понятию функции.

Пусть ЛГ и ьу — два произвольных множества. Говорят, что па М опредььпеььа функция Г', принимающая значения из Ль, если каждому элементу т 6 М поставлен в соответствие олин и только один элемент у из Ю. Для множеств произвольной природы (квк, впрочем. и в случае числовых множеств) вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображепие»ь говоря об отображении одного множества в другое. Г1ри специализации природы множеств М и Ф возникают специальные типы функций, которые носят особые названия «вектор-функция», «мера», «функционвл», «оператор» и т, д. Мы столкнемся с ними в дальнейшем.

Для обозначения функпии (отображения) из М в ьз' мы будем часто пользоваться записью Г: М -ь Ю. Если а -- элемент из Л1, то отвечающий ему элемент Ь = Г(а) нз Ль называется образом а (при отображешш Г). Совокупность всех тех элементов а из Мь образом которых является данный элемент Ь 6 ьь', называется прообразом (или, точнее, ььолнмль праабразоль) элемента Ь и обозначается 1' '(Ь). Пусть А --- некоторое множество нз ЛГ; совокупность (Г'(а): а Е А) всех элементов аида Г(а), где а Е А, называется образом А и обозначается /(А).

В свою очередь для каждого множества В из Л> определяется его (поли ьй() прообраз Г '(В), а их>свпо: Г '(В) ссп совокупность всех тех элементов из Лд. образы которых прппаллс. жат В. Может оказаться, что ни один элемент Ь цз В не имеет не- пустого прообраза, тогда и прообраз у' '(В) будет пустым мньгксством. Здесь мы ограничимся рассмотрением самых общих свойспь отображений. Введем следуюьцую терминологию.

Мы будем говорить, что Г есть оп>абра»жение, множества М «иа» множество ьг', если Г(ЛХ) = ььь':, такое отображение назывюот также сюръекцией. В обньель случае, т.е. когда > (ЛХ) С ьз', говорят, что Г есть атаабьрььзюение Л! «в» ьз'. Если для любых двух различных элементов хь н хг из М их образы уь = У(хь) и уь = У(хг) так>ко разлн шы. то Г называется инъекцивйг Отображение Г: М -+ Ж,которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется биекцисй или взаимно аднозиььчнььм саотвъпн твием мезьсду М и Ль. гуи !.

Эхемеимм теории миояоеегие Установим основные свойства отображений. Теорема 1. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов: (-'(А О В) = Х-'(А) О (-'(В). Док аз а тел ьст во. Пусть элемент х принадлежит множеству !' 'г(А О В). Это означает, что Дх) Е А О В, т.е. у(х) Е А или ! (х) Е В.

Но тогда х принадлежит по крайней иере одному из множеств у '(А) или / '(В), т.е. х Е у' '(А) О у '(В). Обратно, если х Е,! '(А) О,! '(В), то х принадлежит по крайней мере одному из множеств у '(А) и 1 '(В), т.е. 1(х) принадлежит хотя бы одному из множеств А или В, следовательно, 1(х) Е А О В, но тогда х Е у '(АОВ). Теорема 2.

Прообраз пересечения двух множеств равен пересе.чснию их прообразов: ,( '(АпВ) = ~ '(А) и,( '(В). Доказательство. Если х Е у '(А П В), то 1(х) Е А П В, т е. !(х) Е А и г(х) Е В, следовательно, х Е !" г(А) и х Е !" г(В), т.е. . е,! (А) г! !' '(В). Обратно, если х Е ! !(А) Пу г(В), т.е. х Е / '(А) и х Е ! '(В), то ~(х) Е А и г(х) Е В. Иначе говоря, у(х) Е А О В. Следовательно, хЕ ! (АПВ). Т е о р е м а 3. Образ суммы двух множеств равен сумме их абра!(А и В) = !'(А) О у(В). Доказательство. Если у Е у(А О В), то ото означает, что у =- ! (х), где х принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В. Следовательно, у = !'(х) Е !'(А) 0 з'(В). Обратно, если у Е г'(А) О ! (В), то у = !'(х), где х принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В, т.е.

х Е А О В и, следовательно, у =. 1(х) Е у(А О В). Теоремы 1, 2 и 3 остаются в силе для сумм и пересечений любого (коночного или бесконечного) числа множеств. Заметим, что обрез пересечения двух мнозгсееп!е, еообп!е говоря, не совподаегп е пересе и!ноем пх образов. Например, пусть рассматриваемое отображение представляет собой проектирование плоскости на ось х. Тогда отрезки 0(х.

(1, у=0, 0(х(1, у=1 не пересекаются, а в то же время их образы совпадают. 1 2. Осаабра:нссния. Разбнснвя на классы Упражнение. Докажите, что прообраз дополнения равен дополнению прообраза. Верно ли аналогичное утверждение ш1я образа дополнения? 2. Разбиение на классы. Отношения эквивалентности. В самых разли шых вопросах встречаютгя разбиения тех или нных множеств на попарно непересекающиеся подмножества. Например, плоскость (рассматриваемую как множество точек) можно разбить на прямые, параллельные оси я, трехмерное пространство можно представить как объединение концентрических сфер различных радиусов 1начиная с г = 0), жителей данного города можно разбить на группы по их году рождения и т. и. Каждый раз, когда некоторое множество И3 представлено тем плп иным способом как сумма попарно непересекающихся подмноже< тв, мы говорим о разбиении мнолсестпеа М на класси. Обычно приходится иметь дело с разбиениями, построенными на базе того или иного признака, по которому элементы множества М объединяются в классы.

Например, множество всех треугш~ьников на плоскости можно разбить на классы ранных между собой или на классы равновеликих треугольников, все функции от т можно разбить на классы, собирая в один класс функции, принимающие в данной точке одинаковые значения, и т.д. Признаки, по которым элементы множества разбиваются ца классы, могут быть самыми разнообразными. Но все же такой признак не вполне произволен.

Предположим, например, что мы захотели бы разбить все действительные числа на классы, вкл1очая число Ь в тот же класс, что н число а, в том и только в том случае, когда Ь > а. Ясно, что никакого разбиения действительных чисел на классы таким путем получить нельзя, так как есле Ь > и, т. е. если Ь следует зачислить в тот же класс, что и и, то а < Ь, т.е, число и нельзя включить в тот же класс, что и Ь. Кроме того, так как а пе болыпе, чем само а, то и, ис должно цапаешь в один класс с самим собой! Другой пример. Попробуем разбить точки плоскости на классы, относя две точки к одному классу в том и только том случае, когда расстояние между ними меньше 1.

Ясно, что добиться этого нельзя, так как если расстоиние от и до Ь меньн|е 1 н расстояние от Ь до с мепыпе 1, то это вовсе не означает, что расстояние от а до с меньше 1. Таким образом, зачисляя о в один класс с Ь, а Ь в один класс с с, мы получим, что в один и тот же класс могут попасть две точки. расстояние между которыми болыпе 1. Приведеннсае примеры подсказывают условия, при которых тот иди иной признак действительно позволяет разбить элементы некоторого множества на классы.