Написанные билеты, страница 6

Òàêèì îáðàçîì, ìû çàêëþ÷àåì: cp0 = E Ñîîòâåòñòâåííî, òóòæå âûëåçàþò íóæíûå íàì çàêîíûïðåîáðàçîâàíèÿ, òàê êàê êàê ïðåîáðàçóåòñÿ 4-âåêòîð èìïóëüñà õîðîøî èçâåñòíî. Äëÿ äâèæåíèÿ âäîëü îñè Õ:E − βcpx 0px − βE/c 0E0 = p; px = p, py = py , p0z = pz21−β1 − β2 òî æå âðåìÿ ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ñâÿçàíû ÷åðåç êâàäðàò ÷åòûðåâåêòîðà:pk pk = mc uk mc uk = (mc)2 uk uk = (mc)2 = E 2 /c2 − p~2 <=> E 2 = p2 c2 + m2 c4ìàññà ÷àñòèöû m âî âñåõ ýòèõ âûðàæåíèÿõ èìååò ñìûñë ìàññû ïîêîÿ: m = E0 /c23.1Óñðåäíåíèå ìèêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷èâàíèÿ ñðåäû, èõ ñâÿçü ñïëîòíîñòüþ ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ è òîêîâÌèêðîñêîïè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ìàêñâåëëà íàçûâàåòñÿ òî, ÷òî ìû ðàíüøå çâàëè ïðîñòî óðàâíåíèÿìè ìàêñâåëëà- òî åñòü ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ ïîâåäåíèå ëþáîé îòäåëüíîé çàðÿæåíîé ÷àñòèöû.

 âåùåñòâå, êîãäà ÷èñëî÷àñòèö ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò, ýòà ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ äëÿ ïðèìåíåíèå êàòàñòðîôè÷åñêè íåóäîáíîé(íà ñàìîì äåëåíåóäîáíûì ñòàíîâèòñÿ òîëüêî íàëè÷èå âåùåñòâà), â ñâÿçè ñ ÷åì âìåñòî íåå ðàññìàòðèâàåòñÿ óñðåäíåííàÿ ïî ýëåìåíòóîáúåìà-âðåìåíè ñèñòåìà. Ýòèì ýëåìåíòîì îáúåìà è âðåìåíè çà÷àñòóþ âûáèðàåòñÿ êàêàÿ-íèáóäü íàèìåíüøàÿ õàðàêòåðèñòèêà, íàâðîäå äëèíû âîëíû è ïåðèîäà òåïëîâûõ ôóëêòóàöèÿ â âåùåñòâå. Ãëàâíîå, ÷òîáû îíà áûëà ìíîãî ìåíüøåìàñøòàáîâ, êîòîðûå íàñ èíòåðåñóþò.  òàêîì ñëó÷àå îïåðàöèÿ óñðåäíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê:Z t0 +τZ11dtdV F (~r, t)< F > (~r0 , t0 ) =2τ t0 −τV (~r0 ) V (~r0 )Çàìåòèì, ÷òî:∂<F >1=∂t02V τZ(F (~r, t0 + τ ) − F (~r, t0 − τ ))dV ; <V∂F1>=∂t2V τZdV (F (t0 + τ ) − F (t0 − τ )) =V∂<F >∂t0Àíàëîãè÷íî äëÿ êîîðäèíàòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Òàêèì îáðàçîì, âñå äèôô.

îïåðàòîðû ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè ñ îïåðàöèåéóñðåäíåíèÿ. Ïðåâîñõîäíî, ìû ïî÷òè ãîòîâû.  âåùåñòâå ïðèñóòñòâóþò çàðÿäû äâóõ òèïîâ. Ðàçëè÷àþòñÿ îíè òåì, ÷òîçàðÿäû ïåðâîãî òèïà ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ ïî âåùåñòâó ñðàâíèòåëüíî ñâîáîäíî, íà ìàñøòàáàõ áîëüøå, ÷åì ÿ÷åéêàóñðåäíåíèÿ, à çàðÿäû âòîðîãî òèïà - íåò.

Ïåðâûå íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè, à âòîðûå - ñâÿçàííûìè. Ìû áóäåì äåëèòüïëîòíîñòè è ñâÿçàííûå ñ íèìè òîêè íà ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå òîæå. Ñèñòåìà ìèêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëàòîãäà ïèøåòñÿ â âèäå:div~h = 0div~e = 4πρf + 4πρb4π ~4π1 ∂~erot~h =jf + ~jb +ccc ∂t1 ∂~hrot~e = −c ∂tÓñðåäíÿÿ ýòè óðàâíåíèÿ ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèé:~~~ < ~h >= B;~ < ρb >= −divP~ ; div < ~jb > − ∂divP = 0 = div < ~jb > − ∂ P< ~e >= E;∂t∂t!∂ P~~= 0 =>< ~jb > −= c rotM∂t~ =0divB~ + 4π P~ = 4π < ρf >≡ 4πρdiv E~4π ~4π ∂ P~4π~ + 1 ∂ E <=> rot B~ + 4π P~~ − 4π M~ = 4π ~j + 1 ∂ E< jf > ++crotMcc ∂tcc ∂tcc ∂t~~ = − 1 ∂BrotEc ∂t~ =E~ + 4π P~ ; B~ =H~ + 4π M~ :Ââîäÿ íîâûå âåëè÷èíû: D~ =rotB~ =0divB~ = 4πρdivD~4π ~ 1 ∂ Dj+cc ∂t~~ = − 1 ∂BrotEc ∂t~~ îïðååäåëåíû íå îäíîçíà÷íî. ×òîáû ýòóÁèíãî.

Îäíàêî âåäåííûå íàìè âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè P è íàìàãíè÷åííîñòè Míåîäíîçíà÷íîñòü ñíÿòü, äàâàéòå ïîñìîòðèì íà òàêèå âåëè÷èíû, êàê ýëåêòðè÷åñêèé èëè ìàãíèòíûé äèïîëüíûé ìîìåíòñâÿçàííûõ çàðÿäîâ. Äëÿ ïåðâîãî:ZZZZZ ~~~~~~div(~a, ~r)P − P~a dV =~aP~ dVd=~rρb dV = −~rdivP dV => ~ad = −~a~rdivP dV = −~ =rotHVVVVVÏîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñäåëàíî â ñèëó Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà è ðàâåíñòâà íóëþ P~ íà ãðàíèöå íàøåãî îáúåìà, òàê êàêãðàíèöà ëåæèò âíå âåùåñòâà.  òàêîì ñëó÷àå, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà ~a:Z~d=P~ dVVÝòî è ôèêñèðóåò íàøó ïîëÿðèçàöèþ. Äëÿ ìàãíèòíîãî äèïîëüíîãî ìîìåíòà:ZZZ111~ ] => ~am~][~r, ~j]dV =dV [~r, rotM~ =dV ~a[~r, rotMm~ =2c V2 V2 Vhi~ ] = [~a, ~r]rotM~ = div M~ [~q, ~r] − M~ rot[~q, ~r] =>~a[~r, rotMZZ1~~m~~a=−dV M 2~q => m~ =dV M2 VV3.2Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïîëåé â ïîêîÿùåìñÿ âåùåñòâå.Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ íóæíû, êîãäà ìû íà÷èíàåì ïîäñ÷èòûâàòü ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ó ìàêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ìàêñâåëëà è ïîíèìàåì, ÷òî èõ òàì ñëèøêîì ìíîãî(12 ïðîòèâ 8 óðàâíåíèé).

Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ~ D~ ñ õàðàêòåðèñòèêàìè ñðåäû, âíåøíèìè ïîëÿìè è óñëîâèÿìè ýêñïåðèìåíòà.  ñàìîìïðèçâàíû ñâÿçàòü âåêòîðà H,îáùåì ñëó÷àå:~ = B(~ E,~ H,~ Si); D~ = D(~ E,~ B,~ Si)BÅñëè æå óñëîâèÿ ýêñïåðèìåíòà ïðàêòè÷åñêè íåèçìåííû ïî õîäó çàäà÷è, òî Si ïåðåñòàåò èãðàòü çíà÷èìóþ ðîëü è ìîæåò~ B~ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðíûìè àòîìàðíûìè íàïðÿæåííîñòÿìè, òî ýòèáûòü îòáðîøåíî.  òî æå âðåìÿ, åñëè E,ôóíêöèè, íà ñàìîì äåëå, ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿäû ïî âåêòîðàì ïîëåé, ïðè ÷åì îãðàíè÷èâøèñü òîëüêî ëèíåéíûìè÷ëåíàìè:Dα = aα + εαβ Eβ + ω αβ HβB α = bα + µαβ Hβ + sαβ EβÏîñëåäíèå äâà òåíçîðà õàðàêòåðèçóþò, ÷àùå âñåãî, äâèæåíèå âåùåñòâà, êîãäà äâèæóùèåñÿ ñâÿçàííûå çàðÿäû è òîêèíà÷èíàþò ãåíåðèðîâàòü ïåðåêðåñòíûå ïîëÿ.

Ïåðâûå æå äâà ÷ëåíà - îñòàòî÷íûå íàìàãíè÷åííîñòè è ïîëÿðèçàöèè.  ïîêîÿùåéñÿ èçîòðîïíîé ñðåäå áåç íàìàãíè÷åííîñòè ýòè óðàâíåíèÿ âûðîæäàþòñÿ, òåíçîðà ε, µ ñòàíîâÿòñÿ äèàãîíàëüíûìèè ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ:~ = εE~D~ = µH~B~ ñëó÷àå ïðîâîäÿùèõ ñðåä òàêæå ñëåäóåò èìåòü â âèäó çàêîí Îìà: ~j = σ E3.3Óðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ â îäíîðîäíîì ïîêîÿùåìñÿ âåùåñòâå. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Ðåøåíèÿ â âèäåçàïàçäûâàþùèõ ïîòåíöèàëîâ.Ïîëíàÿ ñîâîêóïíîñòü ìàêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñîäåðæèò 12 óðàâíåíèé è 12 íåèçâåñòíûõ.

Ýòî ñòðàõ è æóàñ,ïîýòîìó, ÷òîáû óìåíüøèòü èõ êîëè÷åñòâî, ñíîâà ââîäÿòñÿ ïîòåíöèàëû. Âûâîä èõ òî÷íî òàêîé æå, êàê è â âàêóóìå:!~~∂A1~ = −gradϕ − 1 ∂ A =>~ = 0 => B~ = rotA~ => rot E~+= 0 => EdivBc ∂tc ∂t~~ = 1B~ = 1 rotA~~ = εE~ = −εϕ − ε ∂ A ; HDc ∂tµµÎñòàâøèåñÿ äâà óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äàþò íàì:−∆εϕ −~ε ∂divAεµ ∂ 2 ϕ4π1 ∂= 4πρ <=> ∆ϕ − 2 2 = − ρ −c ∂tc ∂tεc ∂tÀíàëîãè÷íî:~−∆A~+divAεµ ∂ϕc ∂t~εµ ∂ 2 A4π ~~ + εµ ∂ϕ=−µj+graddivAc2 ∂t2cc ∂tÇàìåòèì, ÷òî ýòè óðàâíåíèÿ àáñîëþòíî àíàëîãè÷íû óðàâíåíèÿì ìèêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè ñ çàìåíàìè:√√c → c/ εµ; ρ → ρ/ε; ~j → µε~j .

Îäíàêî îáû÷íî áåðóò ~j → µ~j , îäíêà â òîêàîì ñëó÷àå íå ñîõðàíèò ôîðìó êîýôôèöèåíòïðè j . Ñîîòâåòñòâåííî, âñå ïðàâèëà îñòàíóòñÿ òåìè æå. Òå æå êàëèáðîâî÷íûå ñâîéñòâà, âûðàæåíèå äëÿ êàëèáðîâêèëîðåíöà, çàíóëÿþùåé ôèãóðíóþ ñêîáêó, à òàêæå ðåøåíèÿ â âèäå çàïàçäûâàþùèõ ïîòåíöèàëîâ:√Z ρ r~0 , t − εµ|~r−r~0 |cdV 0ϕ(~r, t) =ε|~r − r~0 |V√√ pεµ|~r −r~0 |Z ~j r~0 , t − R εµ√ Zµ/ε~j r~0 , t −µεccµ~ r, t) =A(~dV 0 =dV 00~cc VR|~r − r |V3.4Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ïîëåé â ïîêîÿùåéñÿ êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñðåäå.Äëÿ âûâîäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä ñî ñêà÷êîîáðàçíî ìåíÿþùèìèñÿ ýëåêòðè÷åñêèìè èëèìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè, íàì ïîíàäîáèòüñÿ íå èñïîëüçóþùàÿñÿ äî ñèõ ïîð èíòåãðàëüíàÿ ôîðìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà.Ñ ïîìîùüþ òåîðåì Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññà è Ñòîêñà ëåãêî ïîëó÷àåì:ZZZZZ~(D, ~n)dS =4πρdVSVZZ~ ~n)dS = 0(B,SIZZ~ ~l = − 1 ∂~ S~EdBdc ∂tLSZZZZI1 ∂4π~~~ S~~~jdS +DdHdl =cc ∂tSSL×òîáû âûâåñòè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, âûáåðåì âáëèçè êîíòóðà öèëèíäð ìàëîé âûñîòû è ðàäèóñà R äîñòàòî÷íî ìàëîãî, ÷òîáû ïîâåðõíîñòü ñ÷èòàëàñü ïëîñêîé.

Òî÷íî òàêæå - êîíòóð ìàëîé øèðèíû è äëèíû L, ÷òîáû ïîâåðõíîñòüñ÷èòàëàñü ïëîñêîé. Òîãäà, äëÿ öèëèíäðà è åãî îáõåìà â ïåðâûõ äâóõ è äëÿ êîíòóðà è íàòÿíóòîãî íà íåãî ïðÿìîóãîëüíèêà â ïîñëåäíèõ äâóõ óðàâíåíèÿõ èìååì:−→∗ ) − πR2 D (r~∗ ) + O(h) = 4πρ(r ∗∗ )hπR2πR2 Dn (r~+n −Çâåçäî÷êè õàðàêòåðèçóþò ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëàì òåîðåìû î ñðåäíåì â îáëàñòÿõ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé. Ïðàâàÿ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ â ïðåäåëå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå çàíóëÿåòñÿ, òàê êàê ïëîòíîñòü ìîæåò èìåòü ðàçðûâ â îáúåìåöèëèíäðà, à èìåííî - íà åãî ïîâåðõíîñòè. Ýòîò ðàçðûâ ñâÿçàí ñ íàëè÷èåì ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè çàðÿäîâ, à ñ èõó÷åòîì â ïðåäåëå:∂ϕ∂ϕ− ε1= 4πρsDn+ − Dn− = 4πρs = ε2∂n∂nÄàëüøå:πR2 Bn+ − πR2 Bn− = 0 <=> Bn+ − Bn− = 0 = µ1 Hn+ − µ2 Hn−Äàëüøå:1 ∂ ~BS → 0 => Eτ+ = Eτ−c ∂tÀíàëîãè÷íî äëÿ ïåðïåíäåêóëÿðíîãî âûáîðà êîíòóðà.

 ñóììå ýòî äàñò:Eτ+ L − Eτ− L + O(l) = −~ τ1 = E~ τ2EÈ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå äàñò:~1−H~ 2 ] = 4π ~js[~n, Hc×.ò.ï.3.5Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ýëåêòðîäèíàìèêå ïîêîÿùèõñÿ ñðåä.~ , à ÷åòâåðòîå - íà×òîáû ïîëó÷èòü äèôôåðåíöèàëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, óìíîæèì òðåòüå óðàâíåíèå íà H~E è âû÷òåì îäíî èç äðóãîãî. Òîãäà:~~~~ − Erot~~ = div[E,~ H]~ = −1H~ ∂B − 1 E~ ∂ D − 4π E~ ~j =>HrotEHc ∂tc ∂tci1 ∂ h~ ~4π ~ ~12 ∂µ2 ∂ε~~~~(E, j) ++H−div[E, H] =H B + ED −Ec2c ∂t2c∂t∂tÊîòîðîå â îòñóòñòâèå çàâèñèìîñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îò âðåìåíè ïåðåéäåò â äèôôåðåíöèàëüíûé çàêîíñîõðàíåíèÿ çàðÿäà:~D~ +H~B~c∂ E~ H]~ − (E,~ ~j)= − div[E,∂t8π4πÈíòåãðèðîâàíèå ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ äàñò èíòåãðàëüíóþ ôîðìó çàêîíà.3.6Ïîñòàíîâêà çàäà÷è(îñíîâíûå óðàâíåíèÿ è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ) äëÿ ýëåêòðîñòàòèêè êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñðåäû.Äëÿ ýëåêòðîñòàòèêå ñèñòåìà óðàâíåíèé ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè ïðèíèìàåò âèä:~ = 0; rotB~ =0divB~ = 4πρ; rotE~ =0divD~ =H~ = 0, E~ = −∇ϕ. Ïîñäòàíîâêà ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïðèâîäèò ê:Îòñþäà òóò æå ñëåäóåò B∆ϕ +∇ε∇ϕρ= −4πεεÏðè óñëîâèè îäíîðîäíîñòè ñðåäû âòîðîå ñëàãàåìîå ñëåâà çàíóëÿåòñÿ, è îñòàåòñÿ:∆ϕ = −Ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:4πρεEτ1 = −(~τ , gradϕ1 ) = Eτ2 = −(~τ , gradϕ2 ) => ϕ1 = ϕ2∂ϕ1∂ϕ2− ε1= 4πρ∂n∂nÝòî è åñòü äâà íàøèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ.

Íàïîìíèì, ÷òî â çàäà÷å î ïîòåíöèàëå äâîéíîãî ñëîÿ ïîêàçûâàëîñü, ÷òîïîòåíöèàë íà ïîâåðõíîñòè òåðïèò ðàçðûâ, à íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü.Dn1 − Dn2 = 4πρs = ε23.7Ñèëû â ýëåêòðîñòàòèêå äèýëåêòðèêîâ.Ýì. Íó, âû÷èñëèì ýíåðãèþ â ýëåêòðîñòàòèêå:ZE=VZZZZ~~D~11−∇ϕDdV E~~div(ϕD) − ϕdivD =dV =dV = −ϕ4πρdV =ρϕdV8π8π8π V2 VVV 8πÈç ýòîãî èíòåãðàëà ìîìåíòàëüíî ñëåäóåò ôîðìóëà äëÿ ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ îñòðîâíîé ñèñòåìû çàðÿäîâ:ZZEint =ρ1 ϕ2 dV =ρ2 ϕ1 dV = U = −LVVÏîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà ñäåëàíî â ñèëó ñòàòè÷íîñòè çàäà÷è è çàíóëåíèè êèíåòè÷åñêîé ÷àñòè. Âòàêîì ñëó÷àå, ïî îïðåäåëåíèþ, ñèëû â ýëåêòðîñòàòèêå äèýëåêòðèêîâ:Z∂Eint∂∂L=−=−ρ1 ϕ2 dVFl =∂ql∂ql∂ql V êà÷åñòâå äîïîëíåíèÿ ðàññìîòðèì äåéñòâèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ íà äèýëåêòðèêè.

Îáúåìíûå ïëîòíîñòè ñèëýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç:ZF~ δ~rdVδE = −VÀ ÷òîáû íàéòè èõ âèä, áóäåì ìó÷èòü ýíåðãèþ:1E=2ZV1ρϕdV =8πZV#Z "~D~E~D~ =ρϕ −EdV =>8πV#Z "~2εEδE =ϕδρ + ρδϕ − δdV8πVδ~2~ E~εEE22Eδ~ E~ = −Dδ∇ϕ~~~ =>=δε + ε=> εEδ= −div(Dδϕ)+ δϕdivD8π8π8π"#Z~E21divD~δE =δε +div(Dδϕ)− δϕdV ϕδρ + ρδϕ −8π4π4πVÍåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ñîêðàùàåò âòîðîå â ñèëó óðàâíåíèÿ ìàêñâåëëà, à ïðåäïîñëåäíèå óõîäèò íàíîëü â ñèëó îñòðîãðàäñêîãî Ãàóññà.

Îñòàåòñÿ ðàçîáðàòüñÿ òîëüêî ñ âàðèàöèÿìè ïëîòíîñòè è äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè. È òà è äðóãàÿ ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïî äâóì ïðè÷èíàì - â ñèëó ñìåùåíèÿ íà âåòêîð δ~r èëè æå â ñèëó ðàñòÿæåíèÿýëåìåíòà îáúåìà, õàðàêòåðèçóþùóþñÿ òåì æå âåêòîðîì. Ðàçáèâàÿ âàðèàöèè íà òàêèå äâå ÷àñòè, èìååì:δρ1 = ρ(~r − δ~r) − ρ(~r) = −∇ρδ~rÇíàê ìèíóñ òóò ñòîèò ïîòîìó, ÷òî ïðè ñìåùåíèè íà δ~r âïåðåä â ó÷àñòêå ñ êîîðäèíàòàìè ~r îêàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòü èç~r − δ~r.

×òî è îòðàæåíî â íàøåé ôîðìóëå.δq = 0 => ρbef ore V = ρaf ter (V + δV )IδV =S~=δ~rdSZdivδ~rdV = V divδ~r => δρ2 = ρaf ter − ρbef ore = ρ(~r)VV− 1 = −ρdivδ~rV + δVÑîâåðøåííî àíàëîãè÷íû ðàññóæäåíèÿ äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè. Çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî âàðèàöèÿ îáúåìà òàì ñâÿçàíà ñ ïðîíèöàåìîñòüþ ÷åðåç ïëîòíîñòü âåùåñòâà τ :δε1 = −∇εδ~r∂ε∂ε(−τ divδ~r) = −τ divδ~r∂τ∂τÏîäñòàíîâêà âñåãî ýòîãî äîáðà îáðàòíî äàåò, ñ ó÷åòîì ρdivδ~r + ∇ρδ~r = divρδ~r:"!#"# 2ZE~2 ∂εE ∂εE2∇εδ~r + divτ δ~rτδE =− δ~r∇dV −ϕdiv(ρδ~r) +8π8π ∂τ8π ∂τVδε2 =Îïÿòü çàíóëÿÿ òðåòüå ñëàãàåìîå îñòðîãðàäñêèì-Ãàóññîì è ïðåîáðàçóÿ ïåðâîå ÷åðåç äèâåðãåíöèþ ïðîèçâåäåíèÿ è çàíóëÿÿ îáùóþ äèâåðãåíöèþ Î-Ã: 2ZE2E ∂εδE =dV ρ∇ϕ +∇ε − ∇ τδ~r8π8π ∂τVÑðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ èñõîäíèêîì: 22~ − E ∇ε + ∇ τ E ∂εF = ρE8π8π ∂τ3.8Ýíåðãèÿ ñèñòåìû ïðîâîäíèêîâ.

Ñèëû â ýëåêòðîñòàòèêå ïðîâîäíèêîâ.Âíóòðè ïðîâîäíèêîâ íàõîäèòñÿ ìíîæåñòâî ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ, êîòîðûå â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ âûíóæäåíû ïðåðàñïðåäåëèòüñÿ òàê, ÷òîáû âíåøíåå ïîëå êîìïåíñèðîâàòü. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âíóòðè ïðîâîäíÿêà íàïðÿæåííîñòüè èíäóêöèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàíóëÿåòñÿ, à ïîòåíöèàë âñåõ òî÷åê ïðîâîäíèêà áóäåò îäèíàêîâûì.  òàêîì ñëó÷àå,äëÿ ñèñòåìû ïîìåùåííûõ â äèýëåêòðèê ïðîâîäíèêîâ ñ çàðÿäàìè qPi , îáúåìàìè Vi , ïîâåðõíîñòÿìè Si è ïîòåíöèàëàìèϕi áóäåì èìåòü, åñëè ïðîèíòåãðèðóåì ýíåðãèþ ïîëÿ â îáúåìå: V − Vi :ZZ~dV −∇ϕD~ + ϕdivD~dV =−div(ϕD)E=8πV 8πV~ = 0.Èíòåãðàë îò âòîðîãî ñëàãàåìîãî îáíóëèòüñÿ, òàê êàê âíóòðè äèýëåêòðèêà íåò ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ è ïîòîìó divDÏåðåïèñûâàÿ îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë ÷åðåç ïîâåðõíîñòíûé âèäèì, ÷òî èíòåãðàë ïî âíåøíåé îáùåé ïîâåðõíîñòè, êàêîáû÷íî, çàíóëÿåòñÿ.