Написанные билеты, страница 8

Ïîòåðè íà èçëó÷åíèåâ êâàçèñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå ïðåíåáðåæèìî ìàëû, òî åñòü èíòåãðàëîì îò âåêòîðîì ïîéíòèíãà ïîìæíî ïðåíåáðå÷ü.Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïåðåïèøåì â âèäå:X ~ji~jj X~~ = (j −E~ ñòîð )~j =~ j ñòîð~j E~ji E−λλijijÈíòåãðèðîâàíèå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ïî îáúåìó ëèíåéíûõ ïðîâîäíèêîâ äàåò íîëü âñåõ ñëàãàåìûõ â ñóììå, êðîìå ñëàãàåìûõ ñ i = j .

Ñ ó÷åòîì íàïðàâëåíèÿ òîêîâ ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèå ìîæíî ïðîñòî ñíèìàòü è:IIiLiI~ji d~ldl= Ii2≡ Ri Ii2λLi λi SiÈíòåãðèðîâàíèå âòîðîãî ñëàãàåìîãî òîæå ãîâîðèò íàì, ÷òî âàæíû òîëüêî òå íàïðÿæåííîñòè ñòîðîííèõ ñèë, êîòîðûåäåéñòâóþò â êàæäîì îòäåëüíîì ïðîâîäíèêå. Äëÿ íèõ:IZZI~~~ i d~li ≡ Ii i (t)Ei dliji dSi = IiELiÑîáèðàÿ âñå âìåñòå:SLi XX∂ 1X∂qi ∂qjSij qi qj + Lij+Ri Ii2 −Ii (t) = 0∂t 2 ij∂t ∂tii∂S∂LÏðåäïîëàãàÿ, ÷òî ãåîìåòðèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íå ìåíÿåòñÿ, òî åñòü ∂tij = 0, ∂tij = 0:2XX∂ qjIi Sij qj + Lij 2 + Ri Ii − i (t) = 0∂tijÈ, â ñèëó òîãî, ÷òî òîêè â ðàçíûõ ïðîâîäíèêàõ ìîãóò áûòü âûáðàíû íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, ïîëó÷àåì ñèñòåìó Nóðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà qi :X∂ 2 qjSij qj + Lij 2 + Ri Ii = i (t)∂tjÈõ îáû÷íî äîïîëíÿþò 2N íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè - çíà÷åíèÿìè òîêîâ è çàðÿäîâ â ïðîâîäíèêàõ â êàêîé-òî íà÷àëüíûéìîìåíò âðåìåíè.3.15Óðàâíåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè â êîâàðèàíòíîì âèäå.Êîâàðèàíòíûé âèä íàì ìîæåò ïîíàäîáèòüñÿ òîëüêî ê ïåðåõîäó èçó÷åíèÿ ýëåêòðîäèíàìèêè äâèæóùèõñÿ ñðåä.

Ïðèâûâîäå ìû ìîãëè èñïîëüçîâàòü ïîêîé ñðåäû, òàê ÷òî íåïëîõî áûëî áû ïðîâåðèòü, ÿâëÿþòñÿ ëè íàøè óðàâíåíèÿìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðäèíàìèêè êîâàðèàíòíûìè è åñëè äà, òî õîðîøî áû èõ â êîâàðèàíòíîì âèäå è çàïèñàòü. Äëÿýòîé ïðîâåðêå îáðàòèìñÿ ê âûâîäó ýòèõ óðàâíåíèé èç ãàðàíòèðîâàííî êîâàðèàíòíûõ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ. Êëþ÷åâûõìîìåíòîâ ó íàñ ÿâëÿëîñü óñðåäíåíèå ïî îïðåäåëåííûì îáúåìàì è ïðîìåæóòêàì âðåìåíè, óäîâëåòâîðÿþùèì íåêèìíåðàâåíñòâàì:α lo l; τ t0 tÏðè ïåðåõîäå ê äâèæóùèìñÿ ñèñòåìàì îòñ÷åòà äåôîðìàöèè èíòåðâàëîâ âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâà íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû ýòèõ èíòåðâàëîâ.

Ýòî çíà÷èò, ÷òî âñå íåðàâåíñòâà ïî-ïðåæíåìó îñòàíóòñÿ â ñèëå è âñå íàøè èíòåðâàëû áóäóòïî-ïðåæíåìó ïîäõîäèòü â ëþáîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ â ëþáûõ ñ.î. çàïèñûâàåòñÿ îäèíàêîâî,ðàâíî êàê è äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî îïåðàöèÿ óñðåäíåíèÿ ïî-ïðåæíåìó êîììóòèðóåò ñî âñåìèäèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàöèÿìè. Îñòàëñÿ ïîñëåäíèé øòðèõ - ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè.

Ìû ââîäèëè âåêòîð ïîëÿðèçàöèè òàê, ÷òîáû:< rhob >= −divP~Íó, â âûáîðå òàêîé âåëè÷èíû P íèãäå íå âõîäèò äâèæåíèå ñðåäû, òàê ÷òî åå ìîæíî âûáðàòü âñåãäà. ×.ò.ï. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé Ýëåêòðîäèíàìèêè ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê êîâàðèàíòíîìó âèäó. Ýòèì è çàéìåìñÿ.Ïîéäåì îò êîâàðèàíòíîãî âèäà ìèêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé:4π k4π k∂f ki=jsum =jf + jbki∂xcc∂fkn∂fik∂fni++=0∂xk∂xi∂xnÓñðåäíåíèå ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ïðèâîäèò ê î÷åâèäíîìó óðàâíåíèþ:∂Fni∂Fkn∂Fik++=0∂xk∂xi∂xn0ExEyEz −Ex0−BBzyF = −Ey Bz0−Bx−Ez −By Bx0Äëÿ óñðåäíåíèÿ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî ââåñòè àíàëîã ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷åííîñòè. Òàê êàê ÷åòûðåõâåêòîðòîêà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ:∂j i∂miki=0=>j=c, mik = −mki∂xi∂xkÎòêóäà òóò æå:∂ F ki − 4πmki∂F ki4π∂mki∂Qki4π kk=j +c<=>≡=jiii∂xc∂x∂x∂xicÏðè ýòîì:0 Pxm= PyPz×.ò.ï.∂m0ij0∂m0α= b = ρb ==> m0α = −P α + >i∂xc∂xα−Px −Py −Pz0 −Dx −Dy Dx0Mz −My 0−Hz => Q =  Dy Hz−Mz0Mx 0My −Mx0Dz −Hy Hx−DzHy −Hx 03.16Ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ äâèæóùèõñÿ äèýëåêòðèêîâ.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé çàïèøåì èõ â ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìå îòñ÷åòà:~ 0 = εE~ 0; B~ 0 = µH~ 0 ; j~0 = λE~0DÀ çàòåì âîñïîëüçóåìñÿ îáðàòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïîëåâûõ âåêòîðîâ:~ + 1 ~v , H]~~ 0 ⊥ = D⊥~ 0k = D~kp cDD1 − β21~~~ 0k = B~k~ 0 ⊥ = B⊥p− c [~v , E] BB1 − β21~~~ 0 ⊥ = E⊥p+ c [~v , B] E~ 0k = E~kE1 − β21~~~ 0 ⊥ = H⊥p− c [~v , D] H~ 0k = H~ k =>H1 − β2Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñîïóòñòâóþùåé ÑÎ:~~~ ⊥ + 1 [~v , H]~ ⊥ + 1 [~v , B]DE~ k = εE~kp c=ε p c; D221−β1−β~~~ ⊥ − 1 [~v , E]~ ⊥ − 1 [~v , D]BH~ k = µH~kp c=µ p c; B1 − β21 − β2Îòëè÷íî.

Îñòàëîñü ðàçðåøèòü ýòè óðàâíåíèÿ. Òóò 6 óðàâíåíèé è 12 íåèçâåñòíûõ, òàê ÷òî õîðîøî áû âûáðàòü èìåííî~ B~. Èòàêèå íåèçâåñòíûå, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè. Òàêèì ïðè ëþáûõ óñëîâèÿõ ÿâëÿþòñÿ âåêòîðà E,ìû ñðàçó âûáåðåì èõ â êà÷åñòâå òåõ, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ áóäåì ðàçðåøàòü. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî âûáîð â êà÷åñòâå~ E~ ïðèâîäèò ê íåðàçðåøèìîñòè ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ.

Âûðàæàÿ èç âòîðîé ïàðû óðàâíåíèé H~,òàêîé ïàðû H,èçáàâëÿÿñü îò êîðíåé è ïîäñòàâëÿÿ åãî â ïåðâîå:~ = 1B~ − 1 [~v , 1 E~ − D];~ =>Hµcµ~ = εE~ + 1 [~v , εB~ − H]~ = εE~ + 1 [~v , εB~ − 1B~ + 1 [~v , 1 E~ − D]]~ =Dccµcµ~ + ε [~v , B]~ − 1 [~v , B]~ + 1 (~v (~v , E)~ − Ev~ 2 ) − 1 (~v (~v , D)~ − Dv~ 2 ) =>= εEcµcµc2c22v2εµ − 1v2 ~v2 ~~ 1− v~~ => D~ k = εE~ k =>D+D=εE1−+ 2E[~v , B]kk+222ccµεcµcµcv2v2v 2 1 − µε ~εµ − 1~~~ <=>D 1 − 2 = εE 1 −+Ek +[~v , B]22cµεccµµc 22n2 − 1 1~ = εγ E~ 1− v~ v + n − 1 [~v , B]~D−(~v,E)~n2 c2n2 c2n2 cÑîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì: 2 22n2 − 1~ = γ B~ 1− n v~~ + n − 1 [~v , E]H+~v(~v,B)µc2c2cÓñëîâèå äëÿ òîêà ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòî èç ïðåîáðàçîâàíèé 4-âåêòîðà ïðè óñëîâèè ðàâåíñòâà íóëþ ïëîòíîñòè òîêà âñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìå: ρ = 0 =>~jk = pj~0 k~ 0kλE~ 0⊥=p; ~j⊥ = j~0 ⊥ = λE1 − β21 − β2ρ=~jk = p~kλE1 − β2~ 0 , ~v )(j~0 , ~v )λ(Ep= p=>c2 1 − β 2c2 1 − β 2; ~j⊥ = λ~~~ ⊥ + 1 [~v , B]~ + 1 [~v , B]EEp c<=> ~j = λ p c1 − β21 − β2ρ=×.ò.ï.~ ~v )λ(E,p1 − β2c23.17Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷èâàíèÿ â äâèæóùåéñÿ ñðåäå.Ýì.

Íó, êàê áû, ìû çíàåì, êàê ïðåîáðàçóåòñÿ òåíçîð mik :m0nm =Òàê êàê:∂x0k∂xk∂x0n ∂x0m ikm∂xi ∂xk= γ;∂x0k∂x0= γβ∂x00∂x00= βγ;=γ∂xk∂x0∂x0⊥= 1 =>∂x⊥Íåíóëåâûå êîìïîíåíòû ïðîèçâîäíûõ äàþò:m00k = γ 2 m0k + γ 2 β 2 mk0 = m0km00⊥ = γm0⊥ + γβmk⊥ =m0⊥ + βmk⊥p1 − β20m0⊥kÎòñþäà òóò æå ñëåäóåò(èç âèäà òåíçîðà m):m0⊥⊥ = m⊥⊥m⊥k − βm0⊥= γm⊥k + βγm⊥0 = p1 − β2Pk0 = Pk ; Mk0 = Mk~]P⊥ − 1c [~v , Mp1 − β2M⊥ + 1 [~v , P~ ]0M⊥= p c1 − β2P⊥0 =×.ò.ï.3.18Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé æèäêîñòè.Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè âûâîäÿòñÿ èç:à) ñèñòåìó ìàêðîñêîïè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â ïðåäïîëîæåíèè ìàëîñòè òîêîâ ñìåùåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñòîêàìè ïðîâîäèìîñòè.~ = 4πρdivD~ =0divB~~ = − 1 ∂BrotEc ∂t4π~ =~jrotHc~ H~ :á) ìàòåðèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ âåêòîðîâ D, 22n2 − 1 1~ = εγ E~ 1− v~ v + n − 1 [~v , B]~D−(~v,E)~n2 c2n2 c2n2 c 2 22n2 − 1~ = γ B~ 1− n v~ + n − 1 [~v , E]~H+~v(~v,B)µc2c2câ) Çàêîíà Îìà â äâèæóùåéñÿ ñðåäå â íåðåëÿòèâèñòñêîì γ ≈ 1 ïðèáëèæåíèè:~ + 1 [~v , B]~~j = λ Ecã) Ñèñòåìû ðåëÿòèâèñêèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ è íåïðåðûâíîñòè:τd~v= −∇P + f~dtdτ∂τ∂τ+ τ div~v =+ (~v ∇)τ + τ div~v =+ div(τ~v ) = 0dt∂t∂tä) À òàêæå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ æèäêîñòè:P = P (τ, T )Âíóøèòåëüíî.

Íà÷íåì óïðîùàòü. Ìû èñïîëüçóåì ñëó÷àé èäåàëüíî ïðîâîäÿùåé æèäêîñòè, ò.å. λ → ∞. ×òîáûóðàâíåíèå (â) ïî-ïðåæíåìó âûïîëíÿëîñü îòñþäà íåîáõîäèìî:~~ = − 1 [~v , B]Ec òàêîì ñëó÷àå òðåòüå óðàâíåíèå îäíîçíà÷íî äàåò B è ÷åòâåðòîå òåðÿåò ñâîé ñìûñë. Ïîýòîìó ÷åòâåðòîé ñòàíîâèòñÿâñïîìîãàòåëüíûì óðàâíåíèåì, îïðåäåëÿþùèì òîê ïî èçâåñòíîìó çíà÷åíèþ íàïðÿæåííîñòè:~~j = c rotH4πÒðåòüå æå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:~~1~ = − 1 ∂ B <=> ∂ B = rot[~v , B]~− rot[~v , B]cc ∂t∂t~ â ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ (á) äàåò(ó íàñ â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî v/c µ, ε ≈ 1):Ïîäñòàíîâêà E~ = − 1 [~v , B]~ = − 1 [~v , B]~Dcc~ =B~HÈñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå îáúåìíîé ñèëû ñèëó ëîðåíöà:~ = − ρ [~v , B]~ + 1 [~j, B]~ = 1 [~j − ρ~v , H]~ = 1 [rotH,~ H]~ − ρ [~v , H]~~ + 1 [~j, B]f~ = ρEcccc4πc ïðåäïîëîæåíèè ýëåêòðîíåéòðàëüíîñòè:τ1 ~d~v~= −∇P −[H, rotH]dt4π ïðåäïîëîæåíèè ñòàöèîíàðíîñòè òåìïåðàòóðû ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ïåðåñòàåò çàâèñåòü îò ïîñëåäíåé è ìîæíîïðîñòî íàïèñàòü:P = P (τ )Ïîäâåäåì èòîã.

Âñå óðàâíåíèÿ ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè â íàøèõ ïðèáëèæåíèÿõ èäåàëüíîé æèäêîñòè ñóòü:~∂H~= rot[~v , H]∂t1 ~d~v~= −∇P (τ ) −[H, rotH]dt4π∂τ+ div(~v τ ) = 0∂tÈíîãäà óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äîáàâëÿþò ê ýòèì òðåì óðàâíåíèÿì. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî óñëîâèå ìàëîñòè òîêîâñìåùåíèÿ:~∂EvH|~j| || <=> j ∂tct0τ~ þ t0 - õàðàêòåðíûé ïåðèîä èçìåíåíèÿ ïîëåé è ñêîðîñòåé.

 òî æå âðåìÿ, èíà÷å~ = − 1 [~v , H]Òóò ìû ïðèìåíèëè EcH∂~vτv~vertf | ≈ j 4πc ; |τ ∂t | ≈ t0 => èç óðàâíåíèÿ êèíåìàòèêè4πτ vcvHH2|~j| ≈<=> τ c2Ht0ct04πÒî åñòü ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìíîãî ìåíüøå ýíåðãèè ïîêîÿ æèäêîñòè.3.19"Âìîðàæèâàíèå"ìàãíèòíîãî ïîëÿ â äâèæóùèéñÿ èäåàëüíûé ïðîâîäíèê.Äëÿ âûâîäà ýôôåêòà âìîðàæèâàíèÿ íàì ïîòåðáóþòñÿ äâà èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè:~∂H~ = (H,~ ∇)~v − Hdiv~~~ − (~v ∇)H~ = (H,~ ∇)~v − Hdiv~~~= rot[~v , H]v + ~v divHv − (~v ∇)H∂t∂τ1 ∂τ+ τ div~v + (~v ∇)τ => div~v = −+ (~v , ∇)τ =>∂tτ ∂t~~ ∂τ∂HH~~= (H, ∇)~v ++ (~v , ∇)τ − (~v , ∇)H∂tτ∂tÐàçäåëèâ ýòî óðàâíåíèå íà τ è ïåðåíåñÿ âñå ñëàãàåìûå, êðîìå ïåðâîãî, â ëåâóþ ÷àñòü:~1 ∂H~ +H~ ∂ 1 + H(~~ v , ∇) 1 = 1 (H,~ ∇)~v =>+ (~v , ∇)Hτ ∂t∂t τττÑâîðà÷èâàÿ ñëàãàåìûå â ëåâîé ÷àñòè ïî äâîå:~~~Hd H∂ H/τ+ (~v , ∇) ==∂tτdt τ!~H, ∇ ~vτÏîêàæåì, ÷òî òî÷íî òàêîìó æå óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿåò ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áëèçêèì ÷àñòÿìè èäåàëüíîé æèäêîñòè.

Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äâå áëèçêèå ÷àñòè: ~r, ~r + ~l. È íàéäåì:~l(t + ∆t) − ~l(t)d~l= lim=dt ∆t→0∆tÒåïåðü ó÷òåì, ÷òî òàê êàê íàøè êóñî÷êè æèäêîñòè ïåðååäóò â áëèçêèé ìîìåíò âðåìåíè íà âåêòîðà ~v (~r)∆t è ~v (~r + ~l)∆tñîîòâåòñòâåííî, òî â ñèëó ìàëîñòè âåêòîðà ~l ìîæíî íàïèñàòü:(~l∇)~v ∆t−~v (~r)∆t + ~l + ~v (~r + ~l)∆t − ~l= lim= (~l, ∇)~v∆t→0∆t→0∆t∆t= lim~×.ò.ï. Òî åñòü, åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò îáåñïå÷èòü ðàâåíñòâî ~l = ν Hτ , òî ýòî ðàâåíñòâî ñîõðàíèòñÿ è â ïîñëåäóþùèåìîìåíòû âðåìåíè, òàê êàê çàêîíû ýâîëþöèè áóäóò îäíèìè è òåìè æå.

×.ò.ï.3.20Äèñïåðñèÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè äëÿ ðàçðåæåííûõ ãàçîâ èç íåéòðàëüíûõ àòîìîâ èëè ìîëåêóë.Ðàçðåæåííûé ãàç èç íåéòðàëüíûõ ÷àñòèö âî âíåøíåì ïîëå ïðèîáðåòàåò ïîëÿðèçàöèþ, ñâÿçàííóþ ñ ïîëÿðèçàöèåéåãî ÷àñòèö. Ýòó ïîëÿðèçàöèþ ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü äèïîëüíûì ìîìåíòîì êàæäîé ìîëåêóëû d~. Òîãäà ïîëÿðèçàöèÿåäèíèöû îáúåìà:~P~ = N d(t)×òîáû íàéòè d~ èñïîëüçóåòñÿ ëèíåàðèçîâàííàÿ ìîäåëü îñöèëëÿòîðà äëÿ îïèñàíèÿ âîçäåéñòâèÿ ïîëÿ íà ÷àñòèöó:~˙ H]~~˙ + ω02 m(R~ −R~ 0 ) = F~ (R)~ = eE(~ R)~ + 1 [R,~¨ + γmRmRc~~ −R~ 0 è ïðåäñòàâëÿÿ ïîëÿ â âèäå ïëîñêèõ êîìïëåêñíûõ âîëí: E~ = E~ 0 0 e−i(ωt−~kR)~ =Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ: ~r = R,H~~−i(ωt−kR)~ 00eH:~ 0 0 e−i~kR~ 0 e−i(ωt−~k~r) + 1 [~r˙, H~ 0 0 e−i~kR~ 0 ]e−i(ωt−~k~r)m~r¨ + γm~r˙ + ω02 m~r = e Ec ïðåäïîëîæåíèè äîðåëÿòèâèñêèõ ñêîðîñòåé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ìàãíèòíîé ñîñòàâëÿþùåé ñèëû ëîðåíöà, òàê êàê â~ 0 | = |H~ 0 |.