Написанные билеты (1135404)
Текст из файла
1.1Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà è èõ ôèçè÷åñêîå îáîñíàâàíèå. Ñèëà Ëîðåíöà.Äëÿ âûâîäà íàì ïîòðåáóåòñÿ ÷åòûðå ñ ïîëîâèíîé ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèÿ, óñòàíîâëåííûõ îïûòíûì ïóòåì:~ = qQ3R~ , R~ = ~r − r~0 . ~r ñîîòâåòñòâóåò çàðÿäó q , à r~0 ,a) Çàêîí Êóëîíà, â ìàòåìàòè÷åñêîì âèäå îòðàæåííûé: F~ = q ERñîîòâåòñòâåííî, çàðÿäó Q.b) Çàêîí Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà. Îí îïèñûâàåò ïðàâèëî, ñîãëàñíî êîòîðîìó ñîçäàþòñÿ òîêàìè â ïðîñòðàíñòâå~~ r − r~0 , è ~r ñîîòâåòñâóåò òî÷êå, â êîòîðîé~ = I[d~l,3R]ìàãíèòíûå ïîëÿ è â ìàòåìàòè÷åñêîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ êàê: HcR , R = ~ìû õîòèì óçíàòü âåëè÷èíó ïîëÿ, à r~0 - íàïðàâëåíèþ íà ýëåìåíò ëèíèè òîêà.r ,t)c) Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.
À èìåííî: dρ(~= 0, òî åñòü îòñóòñòâèå âîçíèêíîâåíèÿ èçáûòêàdtêàêèõ-ëèáî çàðÿäîâ íà ïóñòîì ìåñòå.d) Çàêîí Ôàðàäåÿ, êîòîðûé ñâÿçàûâàåò ýëåêòðè÷åñêóþ èíäóêöèþ ñ èçìåíåíèåì ïîòîêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ:RRH∂~ S~ = −c Ed~ ~lHd∂tSLe) Áóäåò óêàçàíî òàì, ãäå îíî èñïîëüçóåòñÿ.Òàêæå íàì ïîòðåáóåòñÿ ïàðà-äðóãàÿ âåêòîðíûõ òîæäåñòâ. Âî-ïåðâûõ, òåîðåìû Ñòîêñà è Îñòðîãðàäñêîãî-Ãàóññàäëÿ âåêòîðíûõ ïîëåé:RRH ~ r~0 )dS~0 =~ d~l1) Ñòîêñ: S rotr0 A(A,L RRRRR~ r~0 dS~0 =~ r~0 )dV 02) Îñòðîãðàäñêèé-Ãàóññ: S AdivA(VÂñå îíè ñôîðìóëèðîâàíû äëÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé, ãäå Î-à òðåáóåò çàìêíóòîñòè S , à Ñòîêñ - çàìêíóòîñòè L. Òàêæå ïàðî÷êà òîæäåñòâ íà äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû:~ ≡ divgradA~ − ∆A~rotrotA~ ≡ 0, divrotA~≡0rotgradA∆1|~r − r~0 |= −4πδ(~r − r~0 )Ñî âñåì ýòèì â çàïàñå, ïðèñòóïèì. Äëÿ íà÷àëà âûâåäåì óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.
Äëÿ ýòîãîðàññìîòðèì ëþáîé îáúåì V è îãðàíè÷èâàþùóþ åãî çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü S . Òîãäà ñóòü (c) ñâåäåòñÿ ê òîìó, ÷òîèçìåíåíèå ïîëíîãî çàðÿäà Q â îáúåìå V ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî çà ñ÷åò ïåðåíîñà ýòîãî çàðÿäà ÷åðåç ïîâåðõíîñòüS , à èìåííî:!ZZZZZZZZZ~0 (t), t)~0 , t) X ∂ρ ∂xiddρ(r∂ρ(rd000Q≡ρ(r~ , t)dV =dV =+dV 0 =dtdtdt∂t∂x∂tiVVVi!!ZZZZZZ∂ρ(r~0 , t)∂ρ(r~0 , t)0=+ div~v ρ dV ≡+ div~j(r~0 , t) dV 0∂t∂tVVÎòñþäà, ñîãëàñíî íàøåìó çàêîíó:ZZZV!∂ρ(r~0 , t)∂ρ(r~0 , t)+ div~j(r~0 , t) dV 0 = 0 =>+ div~j(r~0 , t) = 0∂t∂t∂ρ(r~0 , t)+ div~j(r~0 , t) = 0∂tÒåïåðü ïðåîáðàçóåì çàêîí Êóëîíà.
Äëÿ ýòîãî ñîâìåñòèì íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ çàðÿäîì q è ðàññìîòðèìïîòîê îò ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S , îãðàíè÷èâàþùóþ îáúåì V , ãäå íàõîäÿòñÿ âñå íàøè çàðÿäû:ρ(r~0 )(~r − r~0 ) 0dV|~r − r~0 |3VZZZZ ZZZρ(r~0 )(~r − r~0 ) 0 ~~EdS=dV dS|~r − r~0 |3SSV~ r) =E(~ZZZÐàññìîòðèì ïîâíèìàòåëüíåå ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå, ïîìåíÿâ ìåñòàìè èíòåãðàëû è òåïåðü èíòåãðèðóÿ òîëüêîïî S:ZZZ Z ρ(r~0 ) ~r − r~0 , ~nρ(r~0 )(~r − r~0 )dS =dS =R3|~r − r~0 |SS~ ~n)dS = RdSsph(R,~Ïîñëåäíåå åñòü áåñêîíå÷íî ìàëûé ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè ñ íîðìàëüþ ïî íàïðàâëåíèþ RR íà ðàññòîÿíèè R. Òàêîé ýëåìåíòìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ó÷àñòêîì ñôåðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, åñëè ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû îòñ÷èòûâàòü îò íóëÿ~ , à èìåííî:âåêòîðà R~ ~n dS = RdSsph = R3 dθdϕ sin θ ≡ R3 dΩR,dΩ - ýëåìåíò òåëåñíîãî óãëà.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî îáðàòíî â èíòåãðàë:ZZ=Sρ(r~0 ) 3R dΩ = 4πρ(r~0 )R3Ïîñëåäíåå ñäåëàíî â ñèëó îäíîñâÿçíîñòè è çàìêíóòîñòè íàøåé ïîâåðõíîñòè. Òàêèì îáðàçîì:ZZZZZZZZ~~EdS= 4πρ(r~0 )dV 0 =divEdVSVVÏîñëåäíåå â ñèëó (2). Ïåðåîáîçíà÷èâ âî âòîðîì èíòåãðàëå ïåðåìåííûå è ïåðåíåñÿ âñå â îäíó ÷àñòü:ZZZ ~ r) − 4πρ(~r) dV = 0 =>divE(~V~ r) = 4πρ(~r)divE(~Çäåñü ìû è ïðèìåíèì (å) - ïîñòóëàò, ñîãëàñíî êîòîðîìó ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè:~ r, t) = 4πρ(~r, t)divE(~(1)Òåïåðü áóäåì ïðèñòàëüíî âãëÿäûâàòüñÿ â çàêîí áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íåêèé î÷åíü òîíêèéêîíòóð ñ òîêîì L0 è åãî ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì S 0 . Òîãäà äëÿ íåãî, ïåðåïèñûâàÿ ïîëíûé òîê êàê:ZZ~~j(r~0 )dS 0 : [Id~l ≡ dlI]I~ =S0~ r) =H(~Ihi~dl0 ~j(r~0 ), RZZL0cR3S0Çàìåòèì, ÷òî:dS 0 =V0ih~~j(r~0 ), RR3 ñàìîì äåëå:ex~j(r~0 )∂rotr= xjx|~r − r~0 |= rotrcR3dV 0~j(r~0 )|~r − r~0 |hihi~ ~jez~jjz Ry − jy Rz∇R,R,1∂z = − 2 jx Rz − jz Rx = −=−RR2R3jzjR−jRyxxyRey∂yjyRRhi~~j(r~0 ), RZZZÎòëè÷íî.
Òåïåðü âîçüìåì ðîòîð îò íàïðÿæåííîñòè:~ =1rotr HcZZZZZZ~j(r~0 ) 01rotr rotrdV =RcV0V0=1cZZZ∇r divrV0~j(r~0 )~j(r~0 )∇r divr− ∆rRR!dV 0 =~j(r~0 ) Z Z Z~j(r~0 ) 0−∆rdVRRV0Ðàçáåðåì êàæäîå ñëàãàåìîå ïî îòäåëüíîñòè.~j(r~0 )=−divrRPi ji (xi −R3x0i )Ñ äðóãîé ñòîðîíû:divr0~j(r~0 )=−RP~0 )(x0 − xi ) − R2 divr0~j(r~0 )~j(r~0 )1i= −divr+ divr0~j(r~0 )3RRRi ji ( rÏðåêðàñíî.
Òîãäà, ïî óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè:divr0~j(r~0 ) = −∂ρ(r~0 )=0∂tÒ.ê. ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñòàöèîíàðíûå ïåðåìåùåíèÿ. Òîãäà:ZZZZZZZ Z ~j(r~0 ), ~n~j(r~0 ) 0~j(r~0 ) 0∇r divrdV = −∇rdivr0dV = −∇rdSRRRV0V0SÏîâåðõíîñòü S - áåñêîíåí÷î óäàëåííàÿ, òàê êàê îíà âûðàæàåò ãðàíèöó îáúåìà, â êîòîðîì æèâóò íàøè òîêè. Ñ äðóãîéñòîðîíû, áåñêîíå÷íî äàëåêî íèêàêèõ òîêîâ áûòü íå äîëæíî, òàê ÷òî ~j = 0 => çàíóëÿåòñÿ âñå ïåðâîå ñëàãàåìîå. ×òîäî âòîðîãî, òî òóò íàì ïðèãîäèòñÿ óðàâíåíèå íà äåëüòà-ôóíêöèþ:ZZZ∆rV0ZZZ~j(r~0 ) 00~~j(r~0 )4πδ(R)dVdV = −= −4π~j(~r)RV0Òàêèì îáðàçîì:~ = 4π ~j(~r)rotr HcÅñëè ìû âîçüìåì äèâåðãåíöèþ îò ýòîãî óðàâíåíèÿ, òî ïîëó÷èì:0=−4π ∂ρc ∂tÎ÷åâèäíî, ÷òîáû ïåðåéòè ê ñëó÷àþ íåñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèÿ íàì ïîòðåáóåòñÿ ìîäèôèöèðîâàòü íàøå óðàâíåíèÿ,ââåäÿ òàê íàçûâàåìûé òîê ñìåùåíèÿ:~ = 4π ~j + ~jdisrotr Hc∂ρ∂ divE1 ∂E~Ïðè÷åì: divjdis === div, îòêóäà òóò æå äîñòàòî÷íî:∂t∂t4π4π ∂t~ =rotB4π ~ 1 ∂Ej+cc ∂t(2)Îñòàëîñü ïîñëåäíåå óðàâíåíèå.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû åãî ïîëó÷èòü, ïðèìåíèì òåîðåìó ñòîêñà!ZZIZZ ~1 ∂H~ = (Ed~ ~l) =~ dS~ =>−dSrotEc ∂tSLSIL~~ + 1 ∂HrotEc ∂t!d~l = 0 =>~1 ∂H=0c ∂tÏîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, âçÿâ äèâåðãåíöèþ îò òðåòüåãî. Òîãäà:~+rotE(3)∂~ =0divH∂tÒàê êàê âåêòîð íàïðÿæåííîñòè â îáùåì ñëó÷àå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî îòñþäà:~ =0divHÏîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé:~rotH~rotE~divE~divH(4)~ 1 ∂E= 4πc j + c ∂t~1 ∂H= − c ∂t= 4πρ= 0Ïëîòíîñòü æå ñèëû Ëîðåíöà äàåòñÿ æå âûðàæåíèåì:hi~ r) + 1 ~j(~r), B(~~ r)f~(~r) = ρ(~r)D(~c1.2Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ìèêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.Âåêòîð Ïîéíòèíãà.~ , âòîðîå - íà H~ è âû÷òåì îäíî èç äðóãîãî:Äîìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ìàêñâåëëà íà E~ ~~ ~~~ − Hrot~~ = 4π E~ ~j + E ∂ E + H ∂ HErotHEcc ∂tc ∂tËåâóþ ÷àñòü ìû ïðåîáðàçóåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû äëÿ ðîòîðà îò âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, à ïðàâóþ - ñ ïîìîùüþïðîèçâîäíîé îò êâàäðàòà:~ E]~ = 4π E~ ~j + 1 ∂ (E 2 + H 2 ) <=>rot[H,c2c ∂t22∂ E +H~ ~j + rot c [E,~ H]~ =0+E∂t8π4πÊàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòèõ âûðàæåíèé? Ñðåäíåå ñóòü ìîùíîñòü äæîóëåâà òåïëà, à èìåííî - èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íàøèõ ÷àñòèö.
Îñòàëüíûå äâà ñëàãàåìûõ - òîëüêî õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ.  òàêîì ñëó÷àå ñîïîñòàâèìïåðâîìó ïëîòíîñòü ýíåðãèè, à òðåòüåìó - ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïî÷åìó ýòî ôèçè÷åñêèî÷åâèäíî ñòàíåò ïîíÿòíî èç èíòåãðàëüíîé ôîðìû ýòîãî çàêîíà.  ñàìîì äåëå, îáîçíà÷èâ:w=E2 + H 24π ~ ~, ~σ =[E, H] =>8πc∂w~ ~j = 0+ rot~σ + E∂tZZZZZZZZZZdd(Ef + Ekin )~~=0~~ωdV ++~σ dS +~σ dSE jdV = 0 =dtdtVSSV~σ - Âåêòîð Óìîâà-Ïîéíòèíãà èëè âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
w - ïëîòíîñòü ýíåðãèèýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.1.3Ïîòåíöèàëû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Âûâîä óðàâíåíèé äëÿ ïîòåíöèàëîâ ïðèêàëèáðîâêå Ëîðåíöà.Ïîòåíöèàëû ââîäÿòñÿ, ÷òîáû ïîíèçèòü ÷èñëî óðàâíåíèé íàíåèçâåñòíûå, ïîâûñèâ èõ ïîðÿäîê. Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ îò 8 çàâèñèìûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ïåðåéòè ê ÷åòûðåì óðàâíåíèÿì âòîðîãî ïîðÿäêà. ×òîáû âûâåñòè~ = 0 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð H~ ÿâïîòåíöèàëû, ïîñìîòðèì íà ìàãíèòíóþ ïàðó óðàâíåíèé ìàêñâåëëà. Èç óñëîâèÿ divHëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì âñåãäà, òî åñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ðîòîð îò íåêîåãî äðóãîãî âåêòîðà, èìåíóåìîãî~ = rotA~ .
 òàêîì ñëó÷àå ýòî óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà âûïîëíèòñÿ òîæäåñòâåííî, à äðóãîå äàñò:âåêòîð-ïîòåíöèàëîì: H"#~~1 ∂A1 ∂A~~=> rot E +=0rotE = −rotc ∂tc ∂tÎòêóäà òóò æå, â ñèëó åãî âûïîëíåíèÿ âñþäó:~~ + 1 ∂ A = −gradϕ =>Ec ∂tÍàøè ïîòåíöèàëû~ = rotA~H~~ = −gradϕ − 1 ∂ AEc ∂tϕ íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïîòåíöèàëîì. Ïîòåíöèàëû, íå îòðàæàÿ â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè, ÿâëÿþòñÿ íåîäíîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè. Ïðåäåëû ýòîé íåîäíîçíà÷íîñòè çàäàþòñÿ òàê íàçûâàåìûìèêàëèáðîâî÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè.  ñàìîì äåëå, âåêòîð-ïîòåíöèàë ìîæíî èçìåíèòü íà:~0 = A~ + gradf (~r, t) => H~ 0 = rotA~ 0 = rotA~=H~AÀ äðóãîå óðàâíåíèå äàñò íàì:~0~~ 0 = −gradϕ0 − 1 ∂ A = −grad ϕ0 + 1 ∂f − 1 ∂ AEc ∂tc ∂tc ∂t~ íåîáõîäèìî:Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñîõðàííîñòè Eϕ0 = ϕ −È êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ:1 ∂fc ∂t~0 = A~ + gradfA1 ∂fc ∂tÎòëè÷íî.
Òåïåðü ïîëó÷èì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ âî âòîðóþ ïàðóóðàâíåíèé Ìàêñâåëëà:~1 ∂A∂−gradϕ−c ∂t~ = 4π ~j + 1rotrotAcc∂t!~1 ∂Adiv −gradϕ −= 4πρ =>c ∂tϕ0 = ϕ −2~~ − ∆A~ = 4π ~j − grad 1 ∂ϕ − 1 ∂ AgraddivAcc ∂tc2 ∂t2~1 ∂A−∆ϕ − div= 4πρ =>c ∂t~1 ∂2A4π ~1 ∂ϕ~~~A ≡ 2 2 − ∆ A =j − grad divA +c ∂tcc ∂t1 ∂ 1 ∂ϕ~+ divAϕ = 4πρ +c ∂t c ∂tÎòëè÷íî. Ýòè óðàâíåíèÿ õîòåëîñü áû óïðîñòèòü. È îíè ñèëüíî óïðîùàþòñÿ, åñëè âûðàæåíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. ×òîáû äîñòè÷ü ýòîãî, âîñïîëüçóåìñÿ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ. Ñíà÷àëà ïîêàæåì,÷òî óðàâíåíèÿ íå ìåíÿþòñÿ ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ:~=A~ 0 − gradf ; ϕ = ϕ0 + 1 ∂fAc ∂t2 2 0~ 0 + 1 ∂ϕ − grad −∆f + 1 ∂ f =>~ 0 − gradf = 4π ~j − grad divAAcc ∂tc ∂t20~ 0 = 4π ~j − grad divA~ 0 + 1 ∂ϕ + gradf − gradfAcc ∂tÎ÷åâèäíî, grad = grad è âñå ó íàñ õîðîøî.
Âòîðîå óðàâíåíèå:1 ∂1 ∂ 1 ∂ϕ01 ∂1 ∂2f00~ϕ + − ∆f =>f = 4πρ ++ divA +c ∂tc ∂t c ∂tc ∂t c2 ∂t21 ∂ 1 ∂ϕ0~ 0 + 1 ∂ f − 1 ∂ fϕ0 = 4πρ ++ divAc ∂t c ∂tc ∂tc ∂tÈ ÷.ò.ï. Òåïåðü, ìîæíî ëè âûáðàòü òàêóþ êàëèáðîâêó, ÷òîáû çàíóëèòü âûðàæåíèå â ñêîáêàõ? Ïîñìîòðèì:21 ∂ϕ0~ 0 = 0 = 1 ∂ϕ − 1 ∂ f + divA~ + ∆f = F (~r, t) − f+ divA2c ∂tc ∂tc ∂t2Ãäå F - ñòàðîå çíà÷åíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ. Î÷åâèäíî èç êóðñà ÌÌÔ, ÷òî óðàâíåíèÿ âèäà f = F èìåþò ðåøåíèå âñåãäà. òàêîì ñëó÷àå, ÷.ò.ï.
Óñëîâèå, êîãäà çàíóëÿåòñÿ ýòà ôèãóðíàÿ ñêîáêà íàçûâàåòñÿ êàëèáðîâêîé Ëîðåíöà. Îòìåòèì,÷òî Ëîðåíö íåîäíîçíà÷åí. Òàê, äàëüíåéøèå êàëèáðîâêè ñ f 0 = 0 íå ñíèìàþò Ëîðåíöåâó êàëèáðîâêó.  ëîðåíöåóðàâíåíèÿ èìåþò âèä:~ = 4π ~jAcϕ = 4πρ1.4Ðàçëîæåíèå ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ïî ìóëüòèïîëÿì äî êâàäðóïîëÿ âêëþ÷èòåëüíîÄëÿ íà÷àëà ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ.  òàêìî ñëó÷àå òîêîâ íåò, à ìåñòå ñíèìè - íè÷åãî ìàãíèòíîãî, è âñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ìàêñâåëëà ñâîäèòñÿ ê:~ = 4πρ; rotE~ =0divEÏîñëåäíåå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî ñ ââåäåíèåì ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà, à ïåðâîå ïðèíèìàåò âèä óðàâíåíèÿ ïóàññîíà:∆ϕ = −4πρÝòî óðàâíåíèå ìû ðåøàåì ìåòîäîì ôóíêöèè Ãðèíà. Ïî îïðåäåëåíèþ:Zϕ(~r) =G(~r, r~0 )ρ(r~0 )dV 0VÍàéäåì ÿâíûé âèä ôóíêöèè Ãðèíà ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè: ϕ →r→∞ 0.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
