Написанные билеты, страница 3

Åñëè æåòóò ñòîèò ïëþñ - òî îïåðåæàþùèì. Îïåðåæàþùèé ïîòåíöèàë íå óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó ïðè÷èííîñòè, â íåãî âíîñÿòâêëàä ñîñòàâëÿþùèå, êóäà âîëíà äîéòè åùå íå óñïåëà, òàê ÷òî îí ñ÷èòàåòñÿ ôèçè÷åñêè íåàäåêâàòíûì. Ðåøåíèå:S(t, R) = t −Zϕ(~r) =Vρ(r~0 , t −|~r −|~r −r~0 |c )dV 00~r|1.9Ïîòåíöèàëû Ëèåíàðà-ÂèõåðòàÏîòåíöèàëîì Ëèåíàðà-Âèõåðòà íàçûâàåòñÿ ðåøåíèÿ ñ çàïàçäûâàþùèì ïîòåíöèàëîì äëÿ òî÷å÷íîé ÷àñòèöû. Âñàìîì äåëå, íà÷íåì:ρ(~r, t) ≡ qδ(~r − ~r0 (t))Ñäåëàåì òåïåðü ñëåäóþùóþ çàìåíó:ρ(~r, t −Z Zϕ(~r, t) =VTR)=cZ∞ρ(~r, t0 )δ(t − t0 −−∞R 0)dt =>cZ ZRqδ(r~0 − ~r0 (t0 ))Rρ(r~0 , ~t0 )00 0δ(t − t − )dV dt =δ(t − t0 − )dV 0 dt0 =RcRcV T0Z δ t − t0 − |~r−~r0 (t )|c=qdt00|~r − ~r0 (t )|TÐàññìîòðèì ôóíêöèþ:F (t0 ) = t − t0 −dF(~r − ~r0 (t0 ), ~v0 (t0 ))|~r − ~r0 (t0 )|=> 0 = −1 −cdt|~r − ~r0 (t0 )|cÒàê êàê v0 < c, òî âòîðàÿ äðîáü ñòðîãî ìåíüøå åäèíèöû, à ïîòîìó ïðîèçâîäíàÿ âñþäó îòðèöàòåëüíà.

 òàêîì ñëó÷àåêîðåíü, åñëè îí è åñòü, áóäåò òîëüêî îäèí. À îí åñòü, òàê êàê íà ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè F áóäåò ïîëîæèòåëüíîé.  òàêîìñëó÷àå, ïî ñâîéñòâó äåëüòà ôóíêöèè:δ(t0 − τ )δ(F (t0 )) = dF=>| dt0 |t=τ |ϕ(~r, t) =Àíàëîãè÷íî:q|~r − ~r0 (τ )|cqc=~ ~v0 (τ ))~r − ~r0 (τ ) |~r − ~r0 (τ )|c + (~r − ~r0 (τ ), ~v0 (τ ))R(τ )c + (R(τ,~ r, t) = ~v0 (τ ) ϕ(~r, t)A(~cÃäå τ (t, ~r) = t −|~r −~r0 (t0 )|c×.ò.ï.1.10Ôèçè÷åñêèå óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè ìóëüòèïîëüíîãî ðàçëîæåíèÿ â çàäà÷å îá èçëó÷åíèèÐàññìîòðèì ïîòåíöèàëû â çàäà÷å îá èçëó÷åíèè.

Ïî íàøèì ôîðìóëàì ÷åðåç çàïàçäûâàþùèå ïîòåíöèàëû:Z ρ r~0 , t − |~r−r~0 |cdV 0ϕ(~r, t) =0~|~r − r |VZ ~j r~0 , t − |~r−r~0 |c1~ r, t) =A(~dV 0c V|~r − r~0 |Ýòè âûðàæåíèÿ, êîíå÷íî, íèõðåíà íîðìàëüíî íå èíòåãðèðóþòñÿ â áîëüøèíñòâå èíòåðåñíûõ ñëó÷àåâ, òàê ÷òî äëÿèõ âû÷èñëåíèÿ ïîòðåáóåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ, â ÷àñòíîñòè - ðàçëîæåíèÿ ïî ìàëûì ïàðàìåòðàì,êîòîðîå ïðåâðàòèòñÿ â èòîãå â ìóëüòèïîëüíîå ðàçëîæåíèÿ. îäíàêî, î÷åâèäíî, ÷òî â ñèëó çàâèñèìîñòè ρ, ~j îò r~0 ïðîâåñòèýòî ðàçëîæåíèå áóäåò êóäà ñëîæíåå, íåæåëè â ñëó÷àå ýëåêòðîñòàòèêè.

Ââîäÿ ìàëûé ïàðàìåòð:Lr0≤ = α1 1 :rr"#11(~r, r~0 )+ ...=1+Rrr2sRrτ0 ==cc#"(~r, r~0 )r(~r, r~0 )r021−+ ...1+ 2 −2 2 =rrcr2 îòëè÷èå îò ýëåêòðîñòàòèêè, íàì õâàòèò ñóùåñòâåííî ìåíüøåãî ÷èñëà ÷ëåíîâ.  çàäà÷àõ îá èçëó÷åíèè íàñ áóäóòèíòåðåñîâàòü òîëüêî òå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ, êîòîðûå âíîñÿò âêëàä â ïåðåíîñ ýíåðãèè îò ñèñòåìû íà áåñêîíå÷íîñòü.Ýòîò ïåðåíîñ çàäàåòñÿ âåêòîðîì Ïîéíòèíãà:~ = (~σ , ~n)dS = (~σ , ~n)r2 dΩdI = ~σ dSÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð σ äîëæåí óáûâàòü íå áûñòðåå, ÷åì r12 , â òî æå âðåìÿ èç âûðàæåíèé äëÿ ïîòåíöèàëîâñëåäóåò, ÷òî íàøè ïîëÿ óáûâàþò íå ìåäëåííåå, ÷åì 1r .  òàêîì ñëó÷àå îñòàåòñÿ ëèøü îäèí âàðèàíò: îñòàèâòü òîëüêîòå ÷ëåíû, êîòîðûå óáûâàþò êàê 1r . Îòñþäà:"#1r(~r, r~0 )10= , τ =1−Rrcr2 ïîñëåäíåì ÷ëåíå äàëüíåéøèå ñëàãàåìûå áóäóò äàâàòü:rcOr 02r2≈r0rïðåíåáðå÷ü ïî ñðàâíåíèþ ñ îñòàâøèìñÿ ðàíåå tprop , âåäü îòíîøåíèåÏîäñòàâëÿÿ ýòè ÷ëåíû â ôîðìóëû äëÿ ïîòåíöèàëîâ:1ϕ(~r, t) =rZ~ r, t) = 1A(~crZVVr0 r0r cr0r tprop≤ α1 tprop .

Òî åñòü èìè ìîæíîñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè óõîäå íà áåñêîíå÷íîñòü.r (~r, r~0 )ρ r~0 , t − +crc~j=!r (~r, r~0 )r~0 , t − +crcdV 0!dV 0Îäíàêî èíòåãðèðîâàíèå è ýòèõ âûðàæåíèé òîæå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíà÷èòåëüíóþ òðóäíîñòü, òàê êàê â ðàçíûõ òî÷êàõïðîñòðàíñòâà ïëîòíîñòè íà÷èíàþò áðàòüñÿ â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè èç-çà âõîæäåíèÿ r~0 âî âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü.,r~0 ).

Îáîçíà÷èâ τ = t − rc : ñâÿçè ñ ýòèì ìû ñíîâà ðàñêëàäûâàåì ýòè âûðàæåíèÿ, íî ïîêà ïî ðàçìåðíîìó ïàðàìåòðó: (~rrc(~r, r~0 )ρ r~0 , τ +rc~j!∂ ~0= ρ(r~0 , τ ) +ρ(r , τ )∂τ(~r, r~0 )r~0 , τ +rc!∂~j= ~j(r~0 , τ ) +∂τ(~r, r~0 )rc!1(~r, r~0 )rc!1 ∂ 2 ~0+ρ(r , τ )2 ∂τ 21 ∂ 2~j+2 ∂τ 2(~r, r~0 )rc(~r, r~0 )rc!2+ ...!2+ ...Äëÿ ïðèìåíèìîñòè òàêîãî ðàçëîæåíèÿ íàì íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü ýòèõ ðÿäîâ.

Äëÿ ýòîãî: ~0 n!(~r ,r )∂n∂nρ1ρ∂τ nrcfn1 ∂τ n(~r, r~0 )n!= ~0 n−1 = ∂ n−1 ρ1n−1fn−1n n−1rcr ,r )(n−1)! ∂ n−1 ρ (~∂τ∂τrc òî æå âðåìÿ∂nρ∂τ n≈ ω n ρ, ãäå ω - íåêîòîðàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ â ñèñòåìå.  òàêîì ñëó÷àå:!fnω (~r, r~0 )ωr0L=≈<fn−1nrccλλ - Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ äëèíà âîëíû èçëó÷àåìîé ñèñòåìû. Íàì áóäåò äîñòàòî÷íî L λ, òî åñòü ìàëîñòè ðàçìåðîâñèñòåìû ïî ñðàâíåíèþ ñ èçëó÷àåìîé åé äëèíîé âîëíû, èíûìè ñëîâàìè, ÷òîáû ïàðàìåòðû ñèñòåìû ìåíÿëèñü ìåäëåííåå,ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðèîäîì ýòîé âîëíû.

 òàêîì ñëó÷àå, äëÿ ïîòåíöèàëîâ, ñ ó÷åòîì çàïèñàííûõ ñëàãàåìûõ, âîçíèêàþòñëåäóþùèå ìóëüòèïîëè:Z1ρ(r~0 , τ )dV 0ϕ0 (~r, t) =r V!Z~0 , ~r)1 ∂(rϕ1 (~r, t) =ρ(r~0 , τ )dV 0r ∂τ Vrc1 ∂2ϕ2 (~r, t) =2r ∂τ 2Zρ(r~0 , τ )V(r~0 , ~r)rc!2dV 0Z1~~j(r~0 , τ )dV 0A0 (~r, t) =rc V!Z(r~0 , ~r) (~j(r~0 , τ ), ~r) ~01 ∂0~~~j(r , τ )r dV 0−A1 (~r, t) =2rc ∂τ Vrccr!Z~0 , ~r) (~j(r~0 , τ ), ~r)1 ∂(r00~~~~j(r , τ )A2 (~r, t) =r dV 0+2rc ∂τ VrccrÒåïåðü áóäåì àíàëèçèðîâàòü ýòè âûðàæåíèÿ è ñâîäèòü èõ ê ìóëüòèïîëÿì. Òî÷êà îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî τ .

Äëÿ íàñ:ϕ0 =Q(τ )Q= , â ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäàttϕ1 =~ ), ~r)~˙ ~r)~˙(d,(~nd)1 ∂ (d(τ= 2 =r ∂τrcr ccrrα rβ Q̈αβ11 ∂ 2 1/3rα rβ Qαβ== 2 nα nβ Q̈αβ222322r ∂τr c6r c6c r×òîáû ïîñ÷èòàòü òå æå âåëè÷èíû îò òîêîâ, áóäåì èçâðàùàòüñÿ. Ðàññìîòðèì, äëÿ íà÷àëà, çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà:ϕ2 =∂ρ(r~0 , τ )+ divr0~j(r~0 , τ ) = 0∂τZZ∂˙r~0 ρ(r~0 , τ )dV 0 = −r~0 divr0~jdV 0d~ =∂τ VVZZZ˙0000~~~~~~~~~~~j~adV 0~ar divr0 j = divr0 (~ar )j − j~a => (~a, d) = − (~a, r )jdS +j~adV =SVVÏîñëåäíåå ñäåëàíî â ñèëó îáíóëåíèÿ òîêîâ íà äîñòàòî÷íî äàëåêîé ïîâåðõíîñòè.  òàêîì ñëó÷àå:ZZ˙~jdV 0 = 0∀~a => d~˙ =~jdV =>~a, d~ −VV~˙~0 = dArciihih hZ ~r ~j(r~0 , τ ), r~0m,~˙ ~n∂∂−[~r,2cm(τ~)]1~1 =AdV 0 ==2rc ∂τ Vrc∂τ2(rc)2rcZZZ∂∂ρQαβ = 3x0α x0β ρ(r~0 , τ )dV 0 =>Qαβ nβ = 3nβx0α x0β dV 0 = −3nβx0α x0β divr0~jdV 0 =∂τ∂τVVVZZZZ ~ 0~jx0α x0β + 3nβ~jgrad(x0α x0β )dV 0 = 3nβ~j(~eα x0β + ~eβ x0α )dV 0 = 3 1jα (~r, r~0 ) + x0α (~j, ~r) dV 0 =>= −3nβdSr VSVV∂αβαβ~ 2 (~r, t) = 1 ∂ 1 ~eα r ∂τ Q nβ => Aα (~r, t) = Q̈ nβA22rc ∂τ rc36rc2Ôèçè÷åñêèå óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè:Lrλ 1, Lλ 1; r 11.11Ýëåêòðè÷åñêîå äèïîëüíîå èçëó÷åíèå.

Ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü, óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå, ïîëÿðèçàöèÿ.Ïîñâÿòèìñÿ èçó÷åíèþ ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êàê ìû óæå ïîíÿëè, äëÿ íåãî:ϕ(~r, t) =~˙(~n, d)rc~˙~ r, t) = dA(~rcÑîîòâåòñòâóþùåå ìàãíèòíîå ïîëå:#"~˙~˙1 ~˙1d~¨~˙ = [− ~r , d]~˙ + 1 [gradτ, d]~¨ = − [~n, d] − 1 [~n, d]~ = rotA~ = ∇,= [∇ , d]H+ [∇, d]rcrcrcr3 crcr2 crc2Ïåðâîå ñëàãàåìîå íå èìååò íóæíîé àññèìïòîòèêè íà áåñêîíå÷íîñòè è ïîòîìó îòáðàñûâàåòñÿ. Àíàëîãè÷íî äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà:¨~¨ − ~n~˙(~n, d)d˙α gradnα + nα d¨α gradτ1 ∂ ~1 d~~n(~n, d)d˙α 1~nc~E=−−x−+A=−−~e−=>ααrccr2c ∂trcrc rr2c rch hiih hii~¨~¨ ~n¨¨hi~n,~n,d~n,d,~~~~ r, t) = ~n(~n, d) − d ==−= − ~n, HE(~222rcrcrc~¨[~n, d]~H=− 2rcÏðè ýòîì âîëíà áóäåò ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé, òàê êàê ðàçðåøåíèå óðàâíåíèé íà τ = const ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì ñôåðû.

 òî æå âðåìÿ âåêòîðà ïîëåé îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó è íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, òî åñòüîáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó. Èíòåíñèâíîñòè â ýëåìåíò òåëåñíûõ óãëîâ:dIcr2 ~ ~ cr2 ~ ~cr2 2cr2 2=|E||H| =E =H~n[E, H] =dΩ4π4π4π4πÍàïðèìåð:~¨ 2~¨cr2 [~n, d][~n, d]dI==dΩ4π c4 r24πc3Èëè, íàîáîðîò:~¨2~¨ 21 dI~¨ 2 + d~¨2 − 2(~n, d)~¨ 2 = d − (~n, d)=(~n,d)dΩ4πc34πc3Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü äàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî òåëåñíîìó óãëó:Z I=ΩdIdΩdΩ =14πc3Z V¨¨d~2 − 31 d¨22d~2¨d~2 − nα nβ d¨α d¨β dΩ ==c33c3¨Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëÿðèçàöèÿ öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ âåêòîðà d~ îò âðåìåíè.

Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèåèçëó÷åíèÿ èìååò âèä âîñüìåðêè â ëþáîé ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåêòîð âòîðîé ïðîèçâîäíîé äèïîëüíîãî ìîìåíòà1.12Ìàãíèòíîå äèïîëüíîå èçëó÷åíèå. Ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü, óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå, ïîëÿðèçàöèÿ. ýòîì ïðèáëèæåíèè ñêàëÿðíîå îïëå âîîáùå îáíóëÿåòñÿ, îñòàâëÿÿ òîëüêî âåêòîð-ïîòåíöèàë:~˙ ~n]~ r, t) = [m,=>A(~rc~¨ ~n]~ = − 1 [m,Ec rchhii−~n, m,~¨ ~n¨ ~n]][∇τ,[m,~~ =~H== [~n, E]rcrc2Òî åñòü âåêòîðà ïîëÿ ñíîâà îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó.

 òàêîì ñëó÷àå, îïÿòü:2¨ − ~n(~n, m)¨m~~222¨cr 2cr[m,~ ~n]m~¨ 2 + (~n, m)~¨ 2 − 2(~n, m)~¨ 2m~¨ − (~n, m)~¨ 2dI=E =H2 ====dΩ4π4π4πc34πc34πc34πc3À ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü:I=14πc34π m~¨ 2 −4π ¨ 2m~3=2m~¨ 23c3Êàê âèäíî, âñå ôîðìóëû àíàëîãè÷íû çàìåíîé ýëåêòðè÷åñêîãî íà ìàãíèòíîå ïîëå.1.13Ýëåêòðè÷åñêîå êâàäðóïîëüíîå èçëó÷åíèå. Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå è ïîëíàÿ èíòåíñèâíîñòü. êâàäðóïîëüíîì ïðèáëèæåíèè ïîòåíöèàëû ïîëåé äàþòñÿ â âèäå:nα nβ Q̈αβ6c2 rϕ=αβ~ α = Q̈ nβA6rc2Îäíàêî ÷òîáû ãðàìîòíî ñ ýòèì ðàáîòàòü, ìû ïðîâåäåì êàëèáðîâêó ýòèõ ïîòåíöèàëîâ ïðè ïîìîùè âñïîìîãàòåëüíîéQ̇ννôóíêöèè f : f = 18cr:1 ∂f ~ 0~ + gradfϕ0 = ϕ −; A =Ac ∂t!nα nβ 3Q̈αβ − δαβ Q̈αβαβνnnQ̈1Q̈nα nβ D̈αβα βνϕ0 =−=≡226c rc 18cr6c r6c2 r!αβαβ3Q̈n−δQ̈nναββαβαnαD̈αβ nβ~ 0α = Q̈ nβ + Q̈ν−=A≡226rc18crc6c r6c2 rÑîîòâåòñòâåííî, ñâÿçàííûå ñ íèìè ïîëÿ:...αβ~ n][~n,~eD̈[D~n]αβ~ =H=−≡6c2 r6c3 r6c3 r .........~...αβ...αβ~n ~n, D~ n, ~n)~ n − D(~nα nβ D ~n 1 D nβ ~eα(~n, D)~~~E=−=== −[~n, H]6c3 rc 6c2 r6c3 r6c3 rñîîòâåòñòâåííî, ôîðìóëû äëÿ èíòåíñèâíîñòè àíàëîãè÷íûå:h∇τ, ~eα D̈αβ nβi.........2~ 2~ ~n]2~ − (~n, D)Dcr2 2cr2 2[D,dI=E =H ===>dΩ4π4π144πc5144πc5Z ...αβ ...αγ...αβ...γδ1I=nn−nnnndΩ =DDDDβγαβδγ144πc5 Ω...αβ ...αγ ...αβ ...γδ 4π14π−=δ(δδ+δδ+δδ)=D DDβγ Dαβ γδαγ βδαδ βγ144πc5 315...αβ ...αβ 1 ...ββ ...γγ ...αδ ...αδ ...αβ ...βα 1=−++=>DDDDDDDD108c55Èñïîëüçóåì:...αα...αβ ...βαD = 0, D = D...αβ ...D DαβI=180c5×.ò.ï.1.14Ñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè.Óðàâíåíèÿ äèíàìèêè Íüþòîíà íå ó÷èòûâàþò ïîòåðè óñêîðÿþùåéñÿ ÷àñòèöåé ýíåðãèè íà ðàäèàöèîííîå èçëó÷åíèå.

Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû äîëæíû ââåñòè åùå îäíó ñèëó â ýòè óðàâíåíèÿ, ÷òîáû ñîãëàñîâàòü èõ ñ ýëåêòðîäèíàìèêîéìàêñâåëëà. Ýòó èñëó íàçûâàþò ñèëîé ðàäèàöèîííîãî èëè ëó÷èñòîãî òðåíèÿ:m~a = F~ + F~raddE= (F~ , ~v ) + (F~rad , ~v )dt×òîáû îïðåäåëèòü ñèëó ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ, íàì íåîáõîäèìî ïðèðàâíÿòü ñîçäàâàåìûå åþ ïîòåðè ýíåðãèè íà èçëó÷åíèå â åäèíèöó âðåìåíè ê èõ ðåàëüíîìó çíà÷åíèþ, òî åñòü ê ìèíóñ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ:m(F~rad , ~v ) = −IÎäíàêî ýòî óðàâíåíèÿ íåðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî F , òàê êàê â I âõîäÿò ïðîèçâîäíûå î÷åíü áîëüøèõ ïîðÿäêîâ(êâàäðàòóñêîðåíèÿ è âûøå).

 òàêîì ñëó÷àå ïðèõîäèòüñÿ èçâðàùàòüñÿ. Âìåñòî ðàâåíñòâà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ïðàêòèêóåòñÿ ðàâåíñòâî "â ñðåäíåì"çà êâàçèïåðèîä. Äëÿ íåãî:Z t2 2Z t2Z t22q 2Idt = −(F~rad , ~v )dt = −r̈ dt =3t1 3ct1t1Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî çàïèñàíî â äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèè äëÿ òî÷å÷íîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû. Èíòåãðèðîâàíèå ïî÷àñòÿì äàåò:Z t2 22q2q 2 t2(~v , ~a˙ )dt= − 3 ~a~r|t1 +33ct1 3cÑ ó÷åòîì êâàçèïåðèîäè÷íîñòè äâèæåíèÿ ïåðâîå ñëàãàåìîå îáíóëÿåòñÿ.