Написанные билеты, страница 5

Çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîòåíöèàëîâ.Ïîòåíöèàëû, êàê è ëþáûå ÷åòûðåõâåêòîðíûå âåëè÷èíû, ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè ëîðåíöå òàêæå, êàê ïîêàçàíî â 2.5.Òîëüêî â êà÷åñòâå ôèçè÷åñêîãî îáîñíàâàíèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ÷åòûðåõäèâåðãåíöèè èñïîëüçóåòñÿ êàëèáðîâêà Ëîðåíöà:i1 ∂ϕ~ = 0 = ∂A+ divAc ∂t∂xi2.7Òåíçîð ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Êîâàðèàíòíàÿ çàïèñü óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ ïîëåé â âàêóóìå.∂AikÒåíçîðîì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà: Fik = ∂A∂xi − ∂xk . Î÷åâèäíî, ýòî òåíçîð âòîðîãî ðàíãà. Èñ åãî ïîìîùüþ çàïèñü óðàâíåíèé ìàêñâåëëà ïðèíèìàåò ÷óäåñíûé âèä. ×òîáû ïîíÿòü êàêîé, äëÿ íà÷àëà ïðåîáðàçóåìïîëÿ ÷åðåç òåíçîð ý/ì ïîëÿ:~~ = −gradϕ − 1 ∂ A = − ∂ϕ + ∂Aα ~eα = −Fα0~eαEc ∂t∂xα∂x0~ = rotA~ = 1 ~eα εαβγ ∂Aγ − ∂Aβ = 1 ~eα εαβγ FγβH2∂xβ∂xγ2Ïîëíûé æå òåíçîð ý/ì ïîëÿ âûãëÿäèò êàê:0 −ExF = −Ey−EzEx0Hz−HyEy−Hz0HxEzHy −Hx 0Òåïåðü ïåðåéäåì ê óðàâíåíèÿì ìàêñâåëëà:j04π 0∂F0α∂Fα0= 4π =j =α∂xcc∂xα~ = 1 ~eα εαβγ ∂Eγ − ∂Eβ = 1 ~eα εαβγ ∂F0γ − ∂F0β = − 1 ∂~eα εαβγ Fγβ <=> εαβγ ∂Fβγ − ∂F0γ − ∂F0βrotE=02∂xβ∂xγ2∂xβ∂xγ2∂x0∂x0∂xβ∂xγ 2X ∂ 2 Aα∂ Aβ∂ 2 Aα∂4π α∂F0α~eα~ = graddivA~ − ∆A~ = ~eβ ∂ ∂Aα −rotH~e=~e−= ~eα β Fαβ ==>j ~eα +ααβαβ2αβββ∂x ∂x∂x∂x x∂x x∂xc∂x0~ =−divEβ∂Fαβ4π α ∂F0α=j +∂xβc∂x0~ = εαβγ ∂Fβγ = 0divH∂xαÎ÷åâèäíî, ÷òî ïåðâîå è òðåòüå ïðåêðàñíî ñîâìåùàþòñÿ äðóã ñ äðóãîì çàìåíîé èíäåêñà α íà i òàê êàê F00 = 0.

 òàêîìñëó÷àå:∂Fiα4π i ∂F0i∂Fij4π i=j +<=>=jα0j∂xc∂x∂xcÄëÿ ñîâìåùåíèÿ äðóãèõ óðàâíåíèé ïîñìîòðèì íà âòîðîå. Î÷åâèäíî, ÷òî â íåì èíäåêñ α íå ìîæåò áûòü ðàâåí β èëèγ , èíà÷å ýòî ñëàãàåìîå çàíóëèòüñÿ.  òàêîì ñëó÷àå äëÿ ëþáûõ β, γ åñòü òîëüêî äâà ñëàãàåìûõ â çàïèñàííîé ñóììå: ∂Fγβ∂F0γ∂F0β∂F0β∂F0γ∂Fγβ∂F0γ∂F0β∂Fβγ−−−+−=2−−= 0 <=>∂x0∂x0∂xβ∂xγ∂xγ∂xβ∂x0∂xβ∂xγ∂Fγβ∂F0β∂F0γ=−0γ∂x∂x∂xβÀíàëîãè÷íî äëÿ ÷åòâåðòîãî óðàâíåíèÿ ðàñêðûâàåòñÿ ñóììà ïî β, γ äëÿ êàæäîãî α, êîèõ âîçìîæíî òðè øòóêè:∂Fβγ∂Fαβ∂Fγα∂Fγβ∂Fαβ∂Fαγ++= 0 <=>=−∂xα∂xγ∂xβ∂xα∂xγ∂xβÒî åñòü òîæå ñîâìåùàåòñÿ ñ ïðåäûäóùèì ïðè çàìåíå α íà i:∂Fγβ∂Fiβ∂Fiγ∂Fγβ∂Fiγ∂Fβi=−<=>++=0∂xi∂xγ∂xβ∂xi∂xβ∂xγÍåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû è β çàìåíèòü íà j íóæíî:∂Fγ0∂Fiγ∂F0i∂Fiγ∂F0γ∂F0i++= 0 <=>=−i0γ0i∂x∂x∂x∂x∂x∂xγÒî åñòü òî æå ñàìîå óðàâíåíèå, ÷òî è ðàíüøå, íî ñ çàìåíîé i íà γ è γ íà β .

Àíàëîãè÷íî äëÿ òðåòüåãî èíäåêñà.  èòîãåîñòàåòñÿ òîëüêî äâà óðàâíåíèÿ:∂Fjk∂Fij∂Fki++=0∂xi∂xk∂xj4π i∂Fij=jj∂xc×.ò.ï.2.8Çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ ïîëÿ. Èíâàðèàíòû ý/ì ïîëÿÏîñêîëüêó òåïåðü íàøè âåêòîðà âûðàæåíû ÷åðåç òåíçîðíûå âåëè÷èíû, ìû ëåãêî ìîæåì ïîëó÷èòü çàêîí èõ ïðåîáðàçîâàíèÿ. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà ïðåîáðàçóåì ñàì òåíçîð ý/ì ïîëÿ.

Äëÿ ýòîãî íàïîìíèì ïðîèçâîäíûå â ïðåîáðàçîâàíèÿõËîðåíöà:∂x0∂x0= γ; 01 = βγ;00∂x∂x1∂x1∂x=βγ;=γ∂x00∂x01∂x2∂x3=1=∂x02∂x03∂xk ∂xmFkm =>∂x0i ∂x0j= (βγγF01 + γβγF10 ) = F00 = 0Fij0 =000F22= F33= 0; F1100F23= −F32= F23 ;0000F12= γF12 + βγF02 ; F02= γF02 + βγF12 => F13= γF13 + βγF03 ; F03= γF03 + βγF13F01 = γγF01 + βγβγF01 = γ 2 F01 (1 − β 2 ) = F01 = −F10Ïåðåâîäÿ ýòî íà ÿçûê ïîëåé:Ex0 = Ex ; Ey0 = γ(Ey − βHz ); Ez0 = γ(Ez + βHy )Hx0 = Hx ; Hy0 = γ(Hy + βEz ); Hz0 = γ(Hz − βEy )Ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïðîñòî ïåðåïèñûâàþòñÿ â âåêòîðíîì âèäå:~ , H])~~ 0 ⊥ = γ(E~ ⊥ + 1 [VEk0 = Ek ; Ec~ 0 ⊥ = γ(H~ ⊥ − 1 [V~ , E])~Hk0 = Hk ; HcÈíâàðèàíòàìè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íàçûâàþòñÿ ñêàëÿðû, ïîëó÷åííûå ñâåðòêîé òåíçîðîâ ñëåäóþùåãî âèäà:(N )IN = Fi1 iN +1 g i1 iN +1 = Fi1 i2 F i2 i3 ....FiN iN +1 g i1 iN +1Èç ñîîáðàæåíèé ÷åòíîñòè, F (N ) áóäåò íå÷åòíûì ïî ñâîèì èíäåêñàì ïðè íå÷åòíîì N , â ñâÿçè ñ ÷åì ñâåðòêà ñ ñèììåòðè÷íûì ìåòðè÷åñêèì òåíçðîîì åãî óáüåò.

 òàêîì ñëó÷àå èíâàðèàíòû íå ðàâíû òîæäåñòâåííîìó íóëþ òîëüêî äëÿ÷åòíûõ ñòåïåíåé N .  òî æå âðåìÿ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäè áåñ÷èñëåííîãî ìíîæåñòâà èíâàðèàíòîâ ìîæíî âûäåëèòüòîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ, ïðè÷åì äëÿ ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà - ñòîëüêî, ñêîëüêî ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà, à äëÿ àíòèñèììåòðè÷íîãî - ïîïîëàì îò ýòîé âåëè÷èíû. Ðàçìåðíîñòü íàøåãî ïðîñòðàíñòâà ðàâíà 4, à òåíçîðý/ì ïîëÿ - àíòèñèììåòðè÷íûé, ñëåäîâàòåëüíî, åñòü âñåãî äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòà, êîòîðûå ðàçóìíååâñåãî âûáðàòü êàê I2 è I4 :I2 = Fij F ij ; I4 = Fij F jk Fkm F miÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî:I2 = 2(E 2 − H 2 ); I4 = 2(E 2 − H 2 )2 + 4(EH)2 =I22+ 4(EH)22Îòñþäà âèäíî, ÷òî ìîæíî åùå áîëåå óïðîñòèòü èõ, ââåäÿ èíâðàèàíòû:J1 = E 2 − H 2 ; J2 = (EH)2×.ò.ï.2.9Èíâàðèàíòíîñòü ôàçû.

Çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷àñòîòû è âîëíîâîãî âåêòîðà.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ óðàâíåíèé âîñïîëüçóåìñÿ èíâàðèàíòíîñòüþ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ â èíåðöèàëüíûõñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Òîãäà, ðàññìîòðèì ïëîñêóþ âîëíó:~ =E~ 0 cos(ωt − ~k~r), H~ =H~ 0 cos(ωt − ~k~r)E ñèëó ôîðìèíâàðèàíòíîñòè, îáùèé âèä ýòîé âîëíû îñòàíåòñÿ íåèçìåííûì â øòðèõîâàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà:~0 = E~ 0 0 cos(ω 0 t0 − k~0 r~0 ), H~0 = H~ 0 0 cos(ω 0 t0 − k~0 r~0 )EÍî ìû âûøå ïîëó÷àëè ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ïîëåé, òàê ÷òî íàøè âåêòîðû ñâÿçàíû êàê:~ 0k cos(ωt − ~k~r) = E~ 0 0k cos(ω 0 t0 − k~0 r~0 )E~ 0k cos(ωt − ~k~r) = H~ 0 0k cos(ω 0 t0 − k~0 r~0 )H1 ~ ~0~0~ 0⊥ cos(ωt − ~k~r) = E 0⊥p− c [V , H 0 ] cos(ω 0 t0 − k~0 r~0 )E1 − β21 ~ ~0~0~ 0⊥ cos(ωt − ~k~r) = H 0⊥p+ c [V , E 0 ] cos(ω 0 t0 − k~0 r~0 )H1 − β2Òàê êàê ýòè ñîîòíîøåíèÿ äîëæíû áûòü âûïîëíåíû âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, òî âèä ôóíêöèé äîëæåí áûòü îäíèì è òåìæå, òî åñòü àðãóìåíòû íàøèõ ôóíêöèé äîëæíû ñîâïàäàòü.

Ýòî ïðèâîäèò ê:ωt − ~k~r = ω 0 t0 − k~0 r~0 = ϕ = ϕ0 = invÒî åñòü ôàçà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì.  òàêîì ñëó÷àå, ÷òîáû íàéòè çàêîíû ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷àñòîòû è âîëíîâîãî âåêòîðà,ïîäñòàâèì Ëîðåíöà â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ âûøå, íàïðàâèâ ñêîðîñòü ïî îñè, ñêàæåì, õ:1 x0 − βxx − βx0ωt − ~k~r = ω 0 p− kx0 p− ky0 y − kz0 zc 1 − β21 − β2Òàê êàê ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ âî âñå ìîìåíòû âðåìåíè â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, òî ìû äîëæíûïðèðàâíÿòü ìíîæèòåëè ïðè îäèíàêîâûõ ñëàãàåìóõ è ïîëó÷èòü:kx0 + βω 0 /cω 0 /c + βkx0ω; kx = p; ky0 = ky ; kz0 = kz= pc1 − β21 − β2Òî åñòü ìû âèäèì, ÷òî ÷àñòîòà è âîëíîâîé âåêòîð ïðåîáðàçóþòñÿ êàê åäèíûé ÷åòûðåõ-êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîð ñïîíÿòíî êàêîé íóëåâîé êîìïîíåíòîé. Ñîîòâåòñòâåííî, ñâÿçàííûé ñ íèì êîâåêòîð:ωki =, −~kc×.ò.ï.

Îòìåòèì, ÷òî êâàäðàò âîëíîâîãî âåêòîðà â âàêóóìå:ki k i = ω 2 /c2 − ~k 2 = 02.10Àñòðîíîìè÷åñêàÿ àáåððàöèÿ è ýôôåêò ÄîïïëåðàÇíàíèÿ çàêîíà ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷àñòîòû è âîëíîâîãî âåêòîðà ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ðÿä àñòðîíîìè÷åñêèõ ÿâëåíèé.Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äâå èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû, îäíà èç êîòîðûõ äâèæåòñÿ âäîëü îñè Õ îòíîñèòåëüíî äðóãîé èðàññìîòðèì íåêîòîðûé èçëó÷àòåëü âîëí, ÷åé âîëíîâîé âåêòîð ñîñòàâëåÿåò óãîë θ ñ îñüþ Õ è ëåæèò â ïëîñêîñòè ÎÕÓ.Òîãäà:kx = k cos θ; ky = k sin θ; kx0 = k 0 cos θ0 ; ky0 = k 0 sin θ0 ;Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ïðåîáðàçîâàíèå, ïîìíÿ, ÷òî k = ω/c; k 0 = ω 0 /c:kx − β ωcω − βckxkx0 = p; ky0 = ky ; ω 0 = p=>1 − β21 − β2k 0 cos θ0 =ω/c cos θ − βω/cωωω 1 − β cos θpp= γ (cos θ − β) ; k 0 sin θ0 = k sin θ = sin θ0 ; ω 0 /c =ccc1 − β21 − β21 − β cos θω0 = ω p1 − β2cos θ − βω 0 cos θ0 = ω p1 − β2ω 0 sin θ0 = ω sin θÏåðâàÿ èç ýòèõ ôîðìóë îïèñûâàåò ýôôåêò äîïïëåðà. Åñëè ω 0 = ω0 - ðåàëüíàÿ ÷àñòîòà èçëó÷àòåëÿ, òî åãî èçìåðÿåìàÿ÷àñòîòà:p1 − β2ω = ω01 − β cos θ ñëó÷àå ïðîäîëüíîãî äâèæåíèÿ θ = 0, π :s1+β≥ ω01−βs1−β≤ ω01+βω = ω0ω = ω0Ýòî òàê íàçûâàåìûé ïðîäîëüíûé ýôôåêò Äîïïëåðà.

Ïðè θ = π/2 ïîëó÷àåì åùå è ïîïåðå÷íûé, íå èìåþùèé ìåñòà âêëàññè÷åñêîé ôèçèêå è ñóùåñòâåííî ðåëÿòèâèñòñêèé.Àñòðîíîìè÷åñêóþ àááåððàöèþ ìû ïîëó÷èì, ïîäñòàâèâ ïåðâîå èç ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷àñòîòû è óãëàâî âòîðîå è òðåòüå:1 − β cos θcos θ − β1 − β cos θcos θ0 = ω p, ω psin θ0 = ω sin θ =>ω p1 − β21 − β21 − β2pcos θ − β1 − β20sin θ = sin θ; cos θ0 =1 − β cos θ1 − β cos θÈ îáðàòíûå ê íèì:psin θ = sin θ01 − β2;1 + β cos θ0cos θ =cos θ0 + β1 + β cos θ0Òî åñòü îäèí è òîò æå ëó÷ ñâåòà áóäåò â ðàçíûõ ÑÎ âèäåí ïîä ðàçíûìè óãëàìè.2.11Ïðèíöèï ñòàöèîíàðíîãî äåéñòâèÿ â ýëåêòðîäèíàìèêå.

Îñíîâíûå ïîñòóëàòû.Ïðèíöèï ñòàöèîíàðíîãî äåéñòâèÿ, áîëåå èçâåñòíûé êàê ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â óòâåðæäåíèè, ÷òî ñðåäè âñåõ âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé ~q(t) â îáîáùåííîì êîîðäèíàíòíîì ïðîñòðàíñòâå ó íåêîé ôèçè÷åñêîéñèñòåìû ñ äåéñòâèåì S , íà ïðàêòèêå, òî åñòü â ðåàëüíîñòè, áóäåò ðåàëèçîâàòüñÿ òàêàÿ òðàåêòîðèÿ, êîòîðàÿ äîñòàâëÿåòýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëó äåéñòâèÿ. Òî åñòü âàðèàöèÿ êîòîðîãî íà ýòîé òðàåêòîðèè ðàâíà íóëþ.Äðóãîé ïðèíöèï, òîæå îñíîâíîé, íî ñóùåñòâåííî áîëåå î÷åâèäíûé, ãëàñèò, ÷òî äëÿ ëþáîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìûìîæíî íàéò èôóíêöèþ ëàãðàíæà è ñâÿçàòü ñ íåé ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ.Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà, êàê ÷ðåçâû÷àéíî ïîëåçíàÿ øòóêà, â òàêîì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:∂Ld ∂L=0−dt ∂ q̇i∂qi∂L∂L= Pi ;= Fi∂ q̇i∂qiÒàêæå ñëåäóåò óïîìÿíóòü ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, òî åñòü ïåðåõîä íîâîé òåîðèè â ñòàðóþ, êîãäà ìû âîçâðàùàåìñÿ âîáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ïîñëåäíåé.

Ýòî îçíà÷àåò ïðåäåëüíûé ïåðåõîä íàøåãî ëàãðàíæèàíà â ëàãðàíæèàí êëàññè÷åñêîéíåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè:emv 2~− eϕ + (~v , A)L=2cÍà ôóíêöèþ Ëàãðàíæà òàêæå ÷àñòî íàêëàäûâàþò öåëûé ðÿä îãðàíè÷åíèé, ÷òîáû ïîëó÷èòü íóææíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ýòî òðåáîâàíèå íà âåùåñòâåííîñòü, íà êîâàðèàíòíîñòü(òî åñòü èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèéËîðåíöà, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ïðèíöèïó ðàâíîïðàâèÿ âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì).

Êîâàðèàíòíîñòü ïðèâîäèò ê òîìó,÷òî ëàãðàíæèàí äîëæåí áûòü ñêàëÿðîì(ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà - ïëîòíîñòüþ ñêàëÿðà) âåñà +1.2.12Ëàãðàíæèàí äëÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû âî âíåøíåì ý/ì ïîëå. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà. Èíòåãðàëûäâèæåíèÿ.Òàê êàê Ëàãðàíæèàí ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé îò ïåðåìåííûõ ïîëÿ, òî âõîäèòü â íåãî ìîãóò òàêæå òîëüêîñêàëÿðíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ïîëåé, ñêîðîñòåé è óñêîðåíèé. Îäíàêî áîëüøèíñòâî èç íèõ íàì íå ïîäîéäóò, òàê êàêëèáî áóäóò çàíóëÿòüñÿ, ëèáî áóäóò äàâàòü óðàâíåíèÿ áîëåå, ÷åì âòîðîãî ïîðÿäêà, ëèáî áóäóò íåêîâàðèàíòíû, ëèáîâíîñèòü íåëèíåéíîñòè â óðàâíåíèÿ ïîëÿ.

Òàê ÷òî ìû ìîæåì ñîñòàâèòü íå òàê óæ è ìíîãî âàðèàíòîâ, à èñïîëüçîâàòüáóäåì òîëüêî ýòîò:Z BS=f ds; f = α0 + α1 Ai uiAÏîä ui ïîäðàçóìåâàåòñÿ îáûêíîâåííûé ÷åòûðå-âåêòîð ñêîðîñòè ui =dxids .Ýòî óðàâíåíèå ñâÿçàíî ñ ëàãðàíæèàíîì êàê:!rppp~v 21~v~ pf ds = f 1 − 2 cdt = Ldt => L = f 1 − β 2 c = α0 1 − β 2 c + α1 c ϕ p−A1 − β 2 =>c1 − β2c 1 − β2L = α0p1 ~mv 2e ~1 − β 2 c + α1 c ϕ − (A~v) →− eϕ + ~v Ac2cÐàñêëàäûâàÿ âûðàæåíèå ñëåâà â ðÿä òåéëîðà äî âòîðîãî ÷ëåíà è èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ íàõîäèì:peee~α1 = − ; α0 = −mc => f = −mc − Ai ui => L = −mc2 1 − β 2 − eϕ + A~vcccÓðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà äàþò, ñ ó÷åòîì ~q = ~r :d ∂L∂Ld ~−= 0 <=>P − gradL = 0dt ∂ q̇i∂qidt1 −2β 1 ~ve~m~ve~∂L= −mc2 p c v + A=p+ A=>P~ =∂~v2 1 − β2cc1 − β2!de~m~ve~ =0p+ A + egradϕ − grad(~v , A)dtcc1 − β2h hiii~~~~ h~ − (~v , ∇)A~ = ~v , ∇, A~ ; (~v , ∇)A~ = dA − ∂ A => grad(~v , A)~ = dA − ∂ A + ~v , rotA~ =>grad(~v , A)dt∂tdt∂t!!hi~~e~e dA edm~v1 ∂A~ =0p+ A−~v , H−− e −gradϕ −2dtcc∂tc dtc1−β!hihidpm~v~ − e ~v , H~ = 0 <=> d~~~ + e ~v , Hp− eE= eEdtcdtc1 − β2Òî åñòü åäèíñòâåííûì îòëè÷èåì îò íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ âèä äëÿ ôóíêöèè èìïóëüñà.

 êëàññèêå â ëåvâîé ÷àñòè ñòîÿëî áû m d~dt . ×òî äî èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ, òî îíè ñèëüíî îïðåäåëÿþòñÿ âèäîì ôóíêöèé äëÿ ïîòåíöèàëîâ.Íå î÷åíü ïîíÿòíî, ÷òî èìåííî ïðî íèõ ïèñàòü.2.13Ñâÿçü ìåæäó ýíåðãèåé, èìïóëüñîì, ìàññîé è ñêîðîñòüþ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû. Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè èèìïóëüñà ÷àñòèö.Âåêòîð ÷åòûðåõèìïóëüñà:kp =0p =pmc1 − β2, p~ = pm~v1 − β2!= mcuk = mcdxkds íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ïåðâîå ñëàãàåìîå áóäåò ñîäåðæàòü âíóòðè ñåáÿ íåðåëÿòèâèñòñêóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþè ìàññó ïîêîÿ ÷àñòèöû.