Написанные билеты, страница 2

Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì èíòåãðàëàôóðüå è ôèçè÷åñêèì ñìûñëîì ôóíêöèè Ãðèíà:∆r G(~r, r~0 ) = −4πδ(~r − r~0 )Z1~G(~r, r~0 ) =G(~k, r~0 )eik~r dK(2π)3 KÑ ó÷åòîì ðàçëîæåíèÿ äåëüòà-ôóíêöèè â èíòåãðàë ôóðüå:ZZ11~~02 i~k~r0~~∆r G =G(k, r )(−k )e dK = −4πeik(~r−r ) dK =>(2π)3 K(2π)3 KZ 1~−i~kr~02G−4πeeik~r dK = 0 =>k(2π)3 K ñèëó åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ Ôóðüå:4π ~ ~0G(~k, r~0 ) = 2 e−ikrkÎòëè÷íî. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ïðåäñòàâëåíèå Ôóðüå:G(~r, r~0 ) =1(2π)3ZK4π i~k(~r−r~0 )edKk2×òîáû åãî ïðîèíòåãðèðîâàòü, äàâàéòå ââåäåì â ôàçîìî ïðîñòðàíñòâå ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òîáûïîëÿðíàÿ îñü ñîâïàëà ñ ~r − r~0 .

Òîãäà:Z +∞Z 2πZ π4π1~02kdΦeik|~r−r | cos Θ sin ΘdΘ =G(~r, r~0 ) =dk(2π)3 0k2 00=22πZ+∞Zdk0πZ ∞−dk|~r − r~0 | cos Θ1dk=−e−ikR + eikR =k|~r − r~0 |π|~r − r~0 | 0 kZ ∞sin kRsgn(R)2dk ==kRπ|~r − r~0 | 0~0eik|~r−r | cos Θ0È, òàêèì îáðàçîì:Zϕ(~r) =Vρ(r~0 )dV 0|~r − r~0 |Òóò è âñòóïàþò â äåëî íàøè ìóëüòèïîëè. Äåéñòâèòåëüíî, ðàçëîæèì â ðÿä òåéëîðà çíàìåíàòåëü ýòîé ôóíêöèè ïîêîìïîíåíòàì r~0 . Ñîîòâåòñòâåííî, ìû ïîëàãàåì, ÷òî ýòè êîìïîíåíòû ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèÿìè íà êîòîðûõìû ðàáîòàåì, òî åñòü ìû èçó÷àåì ïîòåíöèàë äàëåêî îò íàøåé ñèñòåìû.  òàêîì ñëó÷àå:~ = f (~r) +f (R)k1 ~1 ~(R − ~r)∇ f (~r) + ... +(R − ~r)∇ f (~r) + ..1!k!Ñ ó÷åòîì:~ =f (R)1~ − ~r = −r~0 =>=> R~|R|∞11 X (−1)k ~0 k 1= +(r ∇)Rrk!rk=12~rr~0 ~01 ~03(~r, r~0 )2r~00~= 3 5 r ~r − 3 r ∇(~rr ) =− 3rrr5r"#11 (r~0 , ~r) 1 3(r~0 , ~r)2(r~0 , r~0 )= ++−+ ..35Rrr2rr31r~0~rxi xr~0 ∇ = − 3 , r~0 ∇ − 3 irrr0Ïîäñòàíîâêà ýòîãî îáðàòíî â èíòåãðàë äàåò:R"#RR~0 ρdV 0 , ~r0rρdVV1 rα rβ V 3rα rβ − r02 δαβ dV 0Vϕ(~r) =+++ ...rr32r5Ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëû íàçûâàþòñÿ ìóëüòèïîëÿìè.

Ïåðâûé - ìîíîïîëåì èëè çàðÿäîì, âòîðîé - äèïîëåì,òðåòèé - êâàäðóïîëåì è ò.ï.1.5Ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëüíûé ìîìåíò. Ïîòåíöèàë è íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ äèïîëÿ â ñòàòèêå.Ýíåðãèÿ äèïîëÿ âî âíåøíåì ïîëå.RÝëåêòðè÷åñêèé äèïîëü, êàê óæå ïèñàëîñü âûøå: d~ = V ρ(r~0 )r~0 dV 0 . Äèïîëè ñòàíîâÿòñÿ íóæíû, êîãäà â ñèñòåìåðàâíÿåòñÿ íóëþ ïîëíûé çàðÿä, è íà äèïîëè ñâàëèâàåòñÿ íîøà ðåøàþùåãî ÷ëåíà â ðàçëîæåíèè.

Åãî ïîòåíöèàë, êàêìû âûÿñíèëè, â 1.4: ~ ~r ~r − r2 d~~ ~r3 d,d,~ = −gradϕ ==>Eϕ1 (~r) =r3r5Ïî àíàëîãèè ñ ïîëó÷åíèåì ôîðìóëû äëÿ êâàäðóïîëÿ. Ýòî ïîëå íå ñîíàïðàâëåíî ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì, òî åñòü íå öåíòðàëüíî. Óáûâàåò íà áåñêîíå÷íîñòè êàê êóá. Îòìåòèì, ÷òî òðàíñëÿöèè â ïðîñòðàíñòâå ~r = ~r − ~a ïðåîáðàçóþò äèïîëüíûéìîìåíò êàê:Zd~0 =ρ0 (~r)~rdV ; ρ0 (~r) = ρ(~a + ~r) => ρ0 (~r) = ρ(~a + ~r − ~a) = ρ(~r) =>Vd~0 = d~ − ~aQÒî åñòü åñëè çàðÿä Q íå ðàâåí íóëþ, òî äèïîëüíóþ ìîìåíò, âîîáùå ãîâîðÿ, î÷åíü ñèëüíî çàâèñèò îò âûáîð íà÷àëàñèñòåìû êîîðäèíàò. Îñòàëàñü òîëüêî ýíåðãèÿ. Ïîëó÷èì äëÿ íåå âûðàæåíèå ñïåðâà â îáùåì âèäå.

Äëÿ ýòîãî:ZE=VE2dV = −8πZVZZZ~EgradϕdV ϕ ~ ~ 1~ − ϕdivE~ =−div(Eϕ)dV = −EdS +dV ρϕ8π2 VV 8πS 8πÏåðâûé èç ýòèõ èíòåãðàëîâ çàíóëÿåòñÿ âûáîðîì äîñòàòî÷íî äàëåêîé ïîâåðõíîñòè ñ ïîîìîùüþ E ≈Îñòàåòñÿ òîëüêî:Z1ρϕdVE=2 V1~r2 , ϕ≈1r.Ýòî è åñòü ýíåðãèÿ ñèñòåìû çàðÿäîâ. Âçàèìîäåéñòâèå ñî âòîðîé ñèñòåìîé äàåò:ϕ = ϕ1 + ϕ2 , ρ = ρ1 + ρ2 =>Z1(ρ1 ϕ2 + ρ2 ϕ1 ) dVE = E1 + E2 +2 VÍåòðóäíî âèäåòü, ïîäñòàâèâ îïðåäåëåíèå ϕ, ÷òî äâà ñëàãàåìûõ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ðàâíû ìåæäó ñîáîé, à âçàèìîäåéñòâèå äàåòñÿ:ZEin =ρ1 ϕ2 dVVÅñëè ñèñòåìû ìíîãî äàëüøå äðóã îò äðóãà, ÷åì èõ ðàçìåðû, òî, åñëè ~r - âåêòîð öåíòðà ìàññ â ïåðâîé ñèñòåìå:1ϕ2 (~r + r~0 ) = ϕ2 (~r) + r~0 ∇ϕ2 + ...

+ (r~0 ∇)k ϕ2 + ... =>k! ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïåðâàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ:ZXXX~E~ 2 ) + ... = Qϕ2 (~r) − (d,~ 2 (~r)) + ...Ein =ρ1 (~r + r~0 )ϕ2 (~r + r~0 )dV =qi ϕ2 (~r + r~0 i ) =qi ϕ(~r) +qi r~0 i (−EViÎ÷åâèäíî, âòîðîå ñëàãàåìîå ïðåêðàñíî âûðàæàåò ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ äèïîëÿ ñ âíåøíèì ïîëåì.1.6Ýíåðãèÿ è ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ óäàëåííûõ ñèñòåì çàðÿäîâ.

Ìîìåíò ñèëû âîïðîñå 1.5 ìû óæå ïîäðîáíî ðàñïèñàëè, íà ñàìîì äåëå, âûâîä. Ðåçóëüòàòû: ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ñèñòåì:ZZEin =ρ1 ϕ2 dV =ρ2 ϕ1 dVVVRR~ 1 ρ2 dV . Ìîìåíò ñèëû: M~ 12 =~ 1 ρ2~rdVÑóììàðíàÿ ñèëà, ñ êîòîðîé ïåðâàÿ ñèñòåìà äåéñòâóåò íà âòîðóþ: F~12 = V EEVÏóñòü âòîðàÿ ñèñòåìà ëîêàëèçîâàíà â íåêîòîðîé îáëàñòè V 0 . Òî åñòü ðàâíà íóëþ âåçäå âíå íåå.  òàêîì ñëó÷àå~ 1 (~r) = −∇ϕ1 (~r0 + r~0 ). Åñëè ñèñòåìû óäàëåíû, òî r~0 ìîæíî ñ÷èòàòü ìàëûì ïî ñðàâíåíèþ ñ âåêòîðîìρ(~r) = ρ(~r0 + r~0 ), Eíà öåíòð ìàññ r~0 è ïðèìåíèòü ðàçëîæåíèå ϕ1 ïî ìóëüòèïîëÿìè. Òîãäà:Z~E~E~~ 1 (~r0 )) + ... = E~ 1 Q − ∇(d,~ 1)F12 =(−∇)(ϕ1 (r~0 ) − (r~0 ∇)ϕ1 (r~0 ) + ...)ρ2 (~r0 + r~0 )dV = −∇ϕ1 (r~0 )Q − ∇(d,V0Àíàëîãè÷íî äëÿ ìîìåíòà ñèëû:~ 12 = [~r0 , F~12 ]M1.7ìàãíèòíûé ìîìåíò òîêîâ.

Âåêòîðíûé ïîòåíöèàë è ïîëå ìàãíèòíîãî äèïîëÿ.×Òî ïèñàòü ïðî ìàãíèòíûé ìîìåíò?Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ìàãíèòîñòàòèêè:~ =0divH4π ~jcÇàìåòèì, äëÿ íà÷àëà, ÷òî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ïðè âçÿòèè äèâåðãåíöèè ñëåäóåò:~ =rotHdiv~j = 0Òî åñòü òîêè â ìàãíèòîñòàòèêå îáÿçàíû áûòü ñîëåíîèäàëüíûìè.  òàêîì ñëó÷àå, ââîäÿ âåêòîð-ïîòåíöèàë:~ = rotA~ => graddivA~ − ∆A~ = 4π ~jHc ìàãíèòîñòàòèêå, êîãäà çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè îòñóòñòâóåò, êàëèáðîâêà Ëîðåíöà ïðåâðàùàåòñÿ â êàëèáðîâêó êóëîíà,~ = 0 =>òî åñòü divA~ = − 4π ~j∆AcÄëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñíîâà ïðèìåíÿåòñÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà, ïîêîìïîíåíòíî, ïðè÷åì îäèíàêîâàÿ äëÿ âñåõ êîìïîíåíò. Âûðàæåíèÿ äëÿ íåå èùåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì è äàåò òîò æå îòâåò, ÷òî è â ýëåêòðîñòàòèêå, à èìåííî:~=1AcZV~j(r~0 )dV 0|~r − r~0 |Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà øòóêà óäîâëåòâîðÿåò êàëèáðîâêå ëîðåíöà.

 ñàìîì äåëå:~=divA1cZ ~ ~0~j~j~j(~r − r~0 )j(r )(~r − r~0 )divr0~j∂ 1= −divr0 += −divr0 =>dV =>= −ji 0∂xi RRRR|~r − r~0 |3|~r − r~0 |3V~ = −1divAcZZ ~jdV = 0RS ïîñëåäíåì ïåðåõîäå ìû âîñïîëüçîâàëèñü êîíå÷íîñòüþ îáëàñòè ëîêàëèçàöèè òîêîâ, à âûøå - èõ ñîëåíîèäàëüíîñòüþ.×.ò.ï.Ïðåæäå, ÷åì ïðèñòóïèòü ê ðàçáîðó ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ, äîêàæåì äâà ñâîéñòâà, ñëåäóþùèõ èç ñîëåíîèäàëüíîñòèòîêîâ. Äëÿ ïåðâîãî èç íèõ âñïîìíèì ïðî âûðàæåíèå:div~jf = f div~j + ~jgradf => div(~jf ) = ~jgradf =>ZZZZ~=0~jgradf dV =~~jf dSdiv(jf )dV =VVSÏîñëåäíåå ñäåëàíî â ñèëó òîãî, ÷òî ïîâåðõíîñòü S ìîæåò ëåæàòü áåñêîíå÷íî äàëåêî, ãäå îáðàùàåòñÿ â íîëü íàø òîê.Âûáèðàÿ ôóíêöèþ f = x, y, z ïîëó÷àåì:Z~jdV = 0VÀ âûáèðàÿ: f = ~r(r~0 , ~r) â ñèëó òîæäåñòâ: gradi f = ri r~0 + ei (r~0 , ~r) => ~jgradf~ = (~j~r0 )~r + ~j(~r, ~r0 ) =>Z nZ n oo~~(j~r0 )~r + j(~r, ~r0 ) dV = 0 <=>r~0 ~r, ~j(r~0 ) + (~r, r~0 )~j(r~0 ) dV 0 = 0VVÒåïåðü ìîæíî ïðèñòóïàòüñÿ ê ìóëüòèïîëüíîìó ðàçëîæåíèþ:~=A~0 + A~ 1 + ...

=AX Z (−1)k~j(r~0 ) 0(r~0 ∇)kdVck!rVk~0 =AZVZ~j10~jdV 0 = 0dV =crcr VÒî åñòü â ìàãíèòîñòàòèêå ìîíîïîëè îòñóòñòâóåò ñîâñåì è âåçäå. Äëÿ äèïîëÿ:~1 = 1AcZV(r~0~r)~j1dV 0 = − 3r3crZV~1 =(~j, ~r)r~0 dV 0 => A12cr3Z hVi(r~0 , ~r)~j − (~j, ~r)r~0 dV 0 ==Z h hZ hiii11~ ~r] ; m~ =~r, ~j(r~0 ), r~0 dV 0 ≡ 3 [m,r~0 , ~j dV 0r2c VV12cr3Ýòî è íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì äèïîëüíûì ìîìåíòîì.  òàêîì ñëó÷àå, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî m~ - ïîñòîÿííûé âåêòîð:~r~r~ = rotA~ = −(mgrad)+ mdiv~H~r3r3 òî æå âðåìÿ ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, â ÷åì ìîæíî óáåäèòüñÿ ïðîñòîé ïðîâåðêîé, çàíóëÿåòñÿ âåçäå, êðîìå íóëÿ.  íàøåìïðåäïîëîæåíèè ~r âåëèê ïî ñðàâíåíèþ ñ íàøåé ñèñòåìîé, òî åñòü òåì áîëåå âåëèê ïî ñðàâíåíèþ ñ íóëåì.

Çíà÷èò ýòîñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ. Ðàñêðûòèå æå ïåðâîãî ãðàäèåíòà äàåò:~ ~r) = r2 m~~ = 3~r(m,Hr5×òî è òðåáîâàëîñü.1.8Óðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ è èõ ðåøåíèÿ â âèäå çàïàçäûâàþùèõ ïîòåíöèàëîâ.Óðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ â îáùåì âèäå â êàëèáðîâêå Ëîðåíöà:ϕ = −4πρ4π ~jcÈñêàòü èõ ðåøåíèå ôóíêöèåé ãðèíà óðàâíåíèÿ ïóàññîíà áåññìûñëåííî, òàê êàê íå ïðîêàòèò.

Îäíàêî ìû íå áóäåìñóùåñòâåííî ìîäèôèöèðîâàòü ôîðìóëû è ïîïðîáóåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå:~=−AZϕ=Vρ(r~0 , S(t, ~r, r~0 ))dVRÎòìåòèì, ÷òî ìû áóäåì ïîëó÷àòü ðåøåíèå òîëüêî äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà, à âòîðîé âûïèøåì ïðîñòî ïî àíàëîãèè. òàêîì ñëó÷àå, ïðîäîëæèì. Ôóíêöèÿ S íå ìîæåò çàâèñåòü îò ~r, r~0 îáðàçîì áîëåå ñëîæíûì, ÷åì ~r − r~0 .  ñàìîì äåëå,èíà÷å ïðè òðàíñëÿöèÿõ: S(t, ~a +~r, ~a + r~0 ) 6= S(t, ~r, r~0 ), òî åñòü ïëîòíîñòü ìåíÿëàñü áû ïðè ñìåùåíèè íà÷àëà îòñ÷åòà, ÷òîáûëî áû íåôèçè÷íûì íîíñåñîì. Êðîìå òîãî, â ñèëó èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà ïëîòíîñòü òàêæå íå äîëæíà çàâèñåòüîò îðèåíòàöèè ñèñòåì êîîðäèíàò, òî åñòü ôóíêöèÿ S = S(t, R) .

Îòëè÷íî. Áóäåì òåïåðü ñ÷èòàòü äàëàìáåðòèàí îòíàøåãî èíòåãðàëà. Äëÿ ýòîãî:ρ(r~0 , S(t, R))11 ∂ρ ∂Sgradr= ρgrad +gradR;RR R ∂S ∂Rρ1∂ρ ∂S11 ∂ρ ∂S∆ = ρ∆ +gradRgrad +∆R+RR ∂S ∂RR R ∂S ∂R!2∂ρ ∂S1∂ 2 ρ ∂S11 ∂ρ ∂ 2 S+gradRgrad +gradR +gradR =∂S ∂RR ∂S 2 ∂RRR ∂S ∂R21 ∂ρ ∂S∂ρ ∂S 1(gradR)2 +∆R+∂S ∂R R2R ∂S ∂R!2∂ρ ∂S 11 ∂ 2 ρ ∂S1 ∂ρ ∂ 2 S+ −++(gradR)2∂S ∂R R2R ∂S 2 ∂RR ∂S ∂R2~ −= −4πρδ(R)Äîáàâèì òåïåðü âðåìåííóþ ÷àñòü è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè:gradR =ρ~ + ∂ρ = 4πρδ(R)R∂S 2~R2 ∂2∂ 2 ρ ∂S∂ρ ∂ 2 S, ∆R =+ρ=:22RR ∂t∂S∂t∂t ∂t2∂S 22 ∂S1 ∂2S1 ∂2S 1−−+∂R R2R2 ∂R R ∂R2c2 ∂t2 R~ + ∂ρ 1−4πρδ(R)∂S R1 ∂2S∂2S−c2 ∂t2∂R2∂2ρ 1+∂S 2 R∂2ρ+∂S 21c21c2∂S∂t2∂S∂t∂S∂t2−∂S∂R211−R R !∂S∂R2 !=2Ñîîòâåòñòâåííî:Zϕ(~r) = −4πρ(~r, S(t, 0)) +V1dVR(∂ρ∂S1 ∂2S∂2S−22c ∂t∂R2∂2ρ+∂S 21c2−∂S∂R2 !)= −4πρ(~r, t)òî åñòü äëÿ ðåøåíèÿ íàì äîñòàòî÷íî: S(t, 0) = t è çàíóëåíèÿ îãðîìíîãî èíòåãðàëà.

 ñèëó íåçàâèñèìîñòè ïåðâîé∂ρîò âòîðîé, ñîãëàñíî îñíîâíîé ëåììå âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ýòî äàåò íàì äâà óðàâíåíèÿ íà S :ïðîèçâîäíîé ∂S1 ∂2S∂2S−=022c ∂t∂R2 2 2∂S1 ∂S−=0c2 ∂t∂RÏåðâîå - âîëíîâîå óðàâíåíèå, èç-çà êîòîðîãî: S(t, R) = f1 (t −Rc)+ f2 (t +Rc ).Ïîäñòàíîâêà âî âòîðîå óðàâíåíèå äàåò:11 022(f1 + f20 ) − 2 (−f10 + f20 ) = 0 => f10 f20 = 02ccÒî åñòü ëèáî îäíà ôóíêöèÿ ðàâíà êîíñòàíòå, ëèáî âòîðàÿ. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, òîëüî ïåðâóþ êîìïîíåíòó.S(t, R) = f1 (t −RRR) + C0 => S(t, 0) = f1 (t) + C0 = t => f1 (z) = z − C0 => f1 (t − ) = t − − C0 =>cccRcÐåøåíèå, ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ òàêîé ôóíêöèè S íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñ çàïàçäûâàþùèì ïîòåíöèàëîì.