Написанные билеты, страница 4

À äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî íàì äîñòàòî÷íîïîòðåáîâàòü:2q 2 ...F~rad = 3 ~r3cÅñëè æå äâèæåíèå ïåðåñòàåò áûòü êâàçèïåðèîäè÷íûì, òî âíåèíòåãðàëüíîå ñëàãàåìîå ïåðåñòàåò çàíóëÿòüñÿ è ðåàëüíàÿñèëà ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïåðåñòàåò ñîâïàäàòü ñ íàøèì âûðàæåíèåì. Ýòî ïðèáëèæåíèå èñïîëüçóåòñÿ äàæå â ñëó÷àå,êîãäà äâèæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ êâàçèïåðèîäè÷íûì. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî ïðèâîäèò ê íîíñåíñàì, íàïðèìåð, ê áåñêîíå÷íîìó óñêîðåíèþ ÷àñòèö â îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë.

Ñ äðóãîé, òàêèå íîíñåíñû ñëó÷àþòñÿ òîëüêî òàì, ãäå íå âûïîëíÿåòñÿF Frad . Ïåðåïèøåì ýòî íåðàâåíñòâî ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ:˙q 2 2F~F~2q 2 ~˙q 2 2ω F~q 2 4π F~r0F=~r¨ ≈=> F~rad ≈≈=≈ F~3222m3mcmc 3cmc 3cmc 3 λλ2qro = mc2 ; Òî åñòü íàì äîñòàòî÷íî: r0 λ. Ýòî âûïîëíÿåòñÿ â î÷åíü øèðîêîì äèàïîçîíå ÷àñòîò, âïëîòü äî ðåíòãåíà,ãäå èòàê óæå íà÷èíàþò ïðîÿâëÿòüñÿ ñóùåñòâåííî êâàíòîâûå ýôôåêòû.1.15Ðàññåÿíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí íà èçîòðîïíîì ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå.Ðàññìîòðèì ïëîñêèå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûå âîëíû:~ =E~ 0 cos[ωt − ~k R]~E~ =H~ 0 cos[ωt − ~k R]~HÈ óðàâíåíèå îñöèëëÿòîðà, êîòîðîå ñ ó÷åòîì ðàäèàöèîííîãî òðåíèÿ ïðèíèìàåò âèä:1 ~˙ ~2e2 ...¨2 ~~~~~mR + mω0 (R − R0 ) = e E + [R, H] + 3 Rc3c2 ...e ~1 ~˙ ~2¨~~~ 0 ] + 2e ~r~r = R − R0 => ~r + ω0 ~r =E0 + [R, H0 ] cos[ωt − ~k~r + ~k Rmc3mc3Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíèå, êîãäà âîëíà íåäîñòàòî÷íî ñèëüíàÿ, ÷òîáû ðàçîðâàòü îñöèëëÿòîð, òî åñòü êîãäàâîçâðàùàþùàÿ ñèëà ïðåâîñõîäèò âñå îñòàëüíûå.

Òîãäà ~r¨ ≈ −ω02~r è ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ìîæíî ñóùåñòâåííî ïîíèçèòü.Êðîìå òîãî, òàê êàê â ïëîñêîé âîëíå E0 = H0 , vc 1 => ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ìàãíèòíîé ñîñòàâëÿþùåé ñèëû ëîðåíöàïî ñðàâíåíèþ ñ ýëåêòðè÷åñêîé. Âñå ýòî äàåò:2e2 ω02 ˙e~ 0]~r¨ +~r + ω02~r = E~0 cos[ωt − ~k~r + ~k R3mc3mÍî ýòî óðàâíåíèå íàì òîæå ïîêà íå î÷åíü íðàâèòñÿ, òàê êàê â ïðàâîé ÷àñòè ïîä êîñèíóñîì åñòü ~r. Îäíàêî ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî kr = 2πrλ 1, òî åñòü ñìåùåíèå îñöèëëÿòîðà ìíîãî ìåíüøå äëèíû âîëíû.

 òàêîì ñëó÷àå ïîëó÷àåììèëàøíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà:2e2 ω02 ˙e~ 0]~r + ω02~r = E~0 cos[ωt + ~k R~r¨ +3mc3mÅãî ðåøåíèå äàåòñÿ ñóììîé îäíîðîäíîãî çàòóõàþùåãî ðåøåíèÿ è ÷àñòíîãî íåîäíîðîäíîãî ðåøåíèÿ. Çàòóõàåìûì ðåøåíèåì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, èññëåäóÿ òîëüêî óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì êîëåáàíèé, à ïîèñê ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âûïîëíèòü ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñèôèêàöèè ïðàâîé ÷àñòè è ïîñëåäóþùåãî âçÿòèÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè:~02e2 ω02 ˙eE~ 0 )]; ~r = ~r0 exp[i(ωt + ~k R~ 0 )] =>~r¨ +~r + ω02~r =exp[i(ωt + ~k R33mcm−ω 2~r +~02e2 ω02eE~ 0 )] =>iω~r + ω02~r =exp[i(ωt + ~k R33mcm~0eE~r =m −ω 2 +È ðåøåíèå:+ ω02~ 0 )] exp[i(ωt + ~k R~0eE~r =r(ω 2m22e2 ω02e2 ω023mc3 iω−ω02 )2+ω22e2 ω023mc3~~2 cos[ωt + k R0 − Ψ]ω3mc3Ψ = arctan −ω2 +ω 2 .

Òàê êàê â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ ìàëîé, òî íàì0õâàòèò ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ.~0e2 ω 2 E¨d~ = e~r¨ = − rmdI=dΩ(ω 2 −ω02 )2+ ω22e2 ω023mc3~~2 cos[ωt + k R0 − Ψ]~ 0 ]2e4 ω 4 [~n, E2~ 0 − Ψ] 2 2 2 cos [ωt + ~k R2eω4πc3 m2 (ω 2 − ω02 )2 + ω 2 3mc30Èç-çà òîãî, ÷òî ýòà èíòåíñèâíîñòü ïðîäîëæàåò çàâèñòü îò õàðàêòåðèñòèêè ïàäàþùåé âîëíû ω îíà îñòàåòñÿ íåóäîáíîé äëÿ îïèñàíèÿ íàøåãî ðàññåèâàòåëÿ. ×òîáû ýòîãî èçáåæàòü ââîäÿò òàêóþ âåùü êàê äèôôåðåíöèàëüíîå ñå÷åíèåðàññåÿíèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ:dσ =dI1; I0 =TI0dI =ZTdt|σ| =0c4πTZT~E02 cos2 [ωt − ~k R]dt=0cE02 TcE02=4πT 28π~2e4 ω 4 sin2 ΘE10 2 2 2 2 dΩ =>2e ω4πc3 m2 (ω 2 − ω02 )2 + ω 2 3mc30e4 ω 4 sin2 Θdσ =c4 m2 (ω 2 − ω02 )2 + ω 22e2 ω023mc32 dΩÒàêæå èíòåðåñíî íàéòè ïîëíîå ñå÷åíèå ðàññåÿíèÿ, ïðîèíòåãðèðîâàâ ýòó õåðü ïî òåëåñíîìó óãëó.

Îðèåíòèðóÿ îñü zâäîëü E0 , íåòðóäíî ïîëó÷èòü:Z π8πr02e4 ω 4ω422π−(1−cosΘ)dcosΘ=σ= 2 2 2 2 2 232e ω2e ω0c4 m2 (ω 2 − ω02 )2 + ω 2 3mc30(ω 2 − ω02 )2 + ω 2 3mc30Åñòü äâà èçâåñòíûõ ïðèáëèæåíèÿ ýòîé ôîðìóëû. Ðàññåÿíèå Ðåëåÿ, êîãäà ω0 ω è ðàññåÿíèå Òîìïñîíà ω0 ω . Óðåëåÿ: 48πr02 ωσ=3ω0Ó Òîìïñîíà:σ=8πr0232.1Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà äëÿ êîîðäèíàò-âðåìåíè. Èíòåðâàë.Âûâåäåì ïðåîáðàçîâàíèÿ ëîðåíöà èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Äëÿ ýòîãî áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðèíöèï ôîðìèíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèé â èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, ÿâëÿþùåéñÿ ïðèíöèïîì Ýéíøòåéíà îá ýêâèâîëåíòíîñòèçàêîíîâ ôèçèêè â ðàçíûõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ.

Îäíàêî ñàìè óðàâíåíèÿ ýëåêòðîäèíàìèêè ìàêñâåëëà îñòàâëÿòüíà ìåñòå òðóäíî, òàê êàê â íèõ âõîäÿò ïîëÿ, êîòîðûå ïðåîáðàçóþòñÿ ïîäè ïîéìè êàêèì îáðàçîì.  òàêîì ñëó÷àå,âìåñòî íèõ ìû áóäåì îñòàâëÿòü íà ìåñòå óðàâíåíèå íà âîëíîâîé ôðîíò, ÿâëÿþùååñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì óðàâíåíèéìàêñâåëëà. Ýòî åñòü óðàâíåíèå:τ = τ0 = t −rr0= t0 − => (~r − ~r0 )2 = c2 (t − t0 )2ccÏðåäïîëàãàÿ ñìåùåíèå ìàëûì, ïîëó÷àåì åãî äèôôåðåíöèàëüíóþ ôîðìó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè:c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = ds2 = 0×òîáû îñòàâèòü ýòî óðàâíåíèå íà ìåñòå, ñíà÷àëà ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ:t = T, X = x − V t, Y = y, Z = z2pV 2 + c2 − V 2V22c − V dT − √dX −c dT − (dX + V dT ) − dY − dZ =dX 2 − dY 2 − dZ 2c2 − V 2c2 − V 222222Ñîîòâåòñòâåííî, ÷òîáû âåðíóòü èì ïðåæíþþ ôîðìó íåîáõîäèìî ñäåëàòü åùå îäíî ïðåîáðàçîâàíèå:rpVc20022X; x =X, y 0 = Y, z 0 = Zt = c −V T − √222c −V2c −VÈçáàâëÿÿñü îò ïðîìåæóòî÷íûõ ïåðåìåííûõ:ct0 =t − V2 x(c2 − V 2 )t − V (x − V t)x−Vt√= cq c; x0 = q; y 0 = y; z 0 = z22V2V2c −V1 − c21 − c2Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà íàçûâàþòñÿ îáðàòíûìè.

Ïðÿìûå ïîëó÷àþòñÿ çàìåíîé âñåõ ìèíóñîâ íà ïëþñû è øòðèõîâàííûõ ïåðåìåííûõ íà íåøòðèõîâàííûå.2.2Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êèíåìàòèêà. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè è äëèíû îòðåçêà.Èçìåðåíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè ïðîâîäÿòñÿ â îäíîé è òîé æå òî÷êå: x1 = x2 , t2 − t1 = τ0 ; èçìåðåíèÿ äëèíû îòðåçêà- â îäíî è òî æå âðåìÿ: x2 − x1 = l0 , t2 = t1 . Îòñþäà, ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà:t1 − V2 x1τ0 − V2 ∗ 0t2 − V2 x2τ0− p c= p c=p≥ τ0τ 0 = t02 − t01 = p c2221−β1−β1−β1 − β2px2 − V t 2x1 − V t 1l−V ∗0ll0 = x02 − x01 = p−p=p=p<=> l = l0 1 − β 222221−β1−β1−β1−βÏðè ýòîì l - òà äëèíà, êîòîðóþ èçìåðèëè ìû, à l0 - ñîáñòâåííàÿ äëèíà îòðåçêà.2.3Ðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.

Ïðåîáðàçîâàíèå óãëîâ×òîáû ïîëó÷èòü çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, äîñòàòî÷íî:vx0ppdx − V dtvy 1 − β 2vz 1 − β 2vx − Vdx000=; vy =; vz ===dtdt − cV2 dx1 − Vcv2x1 − Vcv2x1 − Vcv2zÏðåîáðàçîâàíèÿ óãëîâ äàþòñÿ, åñëè ϕ - óãîë ìåæäó ãèïîòåíóçîé òðåóãîëüíèêà èç îòðåçêà äâèæåíèÿ x02 − x01 è ïåðïåíäåêóëÿðíîãî åìó îòðåçêà y20 − y10 :p1 − β 2 (y2 − y1 )y20 − y10=tgϕ0 = 0x2 − x01x2 − x1 + V (t2 − t1 )Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî îòðåçîê ìåðèåòñÿ â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè(t2 − t1 ):tgϕ0 =py2 − y1 p1 − β 2 = tgϕ 1 − β 2x2 − x1Åñëè ó íàñ åñòü ÷àñòèöàÞ äâèæóùàÿñÿ ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê îñè äâèæåíèÿ ñèñòåìû x:vx0 = v 0 cos θ0 ; vy0 = v 0 sin θ0 ; vx = v cos θ; vy = v sin θ =>pv 0 cos θ0 + Vv 0 sin θ0 1 − β 2v cos θ =; v sin θ ==>00θ0θ01 + V v ccos1 + V v ccos22pv 0 sin θ0 1 − β 2tgθ =v 0 cos θ0 + VÒî åñòü óãîë íàêëîíà çàâèñèò îò ìîäóëÿ ñêîðîñòè.2.4Ïðîñòðàíñòâî Ìèíêîâñêîãî.

Ïðèìåðû òåíçîðîâ ðàçëè÷íûõ ðàíãîâÏðîñòðàíñòâîì ìèíêîâñêîãî íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ ñ ìåòðè÷åñêèì òåíçîðîì: diag(1, −1, −1, −1). Òåíçîðàìè íàçûâàþòñÿ âåëè÷èíû, ïðåîáðàçóþùèåñÿ îïðåäåëåííûì îáðàçîì ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò. Òåíçîðû õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàíãîì, òî åñòü ÷èñëîì èíäåêñîâ, à òàêæå êî- è êîíòðàâàðèàíòíîñòüþ, òî åñòü ðàñïîëîæåíèåì ýòèõèíäåêñîâ ââåðõó èëè âíèçó.

Äëÿ òåíçîðà ïðîèçâîëüíîãî ðàíãà (s, p) çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðè ïåðåõîäå ìåæäó êîîðäèíàòàìè èìååò âèä:s(x00 , x01 , x02 , x03 ) =Tj0i11..j...ip∂x0m1 ∂x0mp ∂xi1 ∂xis k1 ...ks....T(x0 (x00 , x01 , x02 , x03 ), .., x3 (x00 , x01 , x02 , x03 ))∂xj1∂xjp ∂x0k1 ∂x0ks m1 ...mpÃäå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïðàâèëó Ýéíøòåéíà. Òåíçîðàìè ïåðâîãî ðàíãà ÿâëÿþòñÿ êîâàðèàíòíûé ÷åòûðåõ-âåêòîð ãðàäèåíòà îò ëþáîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè èëè êîíòðàâàðèàíòíûé âåêòîðáåñêîíå÷íî ìàëîãî ïðèðàùåíèÿ.

Åñòü è äðóãèå ïðèìåðû: ïëîòíîñòü òîêà è ÷åòûðåõ ïîòåíöèàë ïîëÿ è ò.ï.2.5Çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîòíîñòåé çàðÿäà è òîêà è åãî îáîñíîâàíèå.Ñîáñòâåííî, íàø îáúåêò:~j = (cρ, ~j)Âûâîäèòü çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ áóäåì èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:∂ρ∂jα∂cρ∂jα∂ji+=0=+≡∂t∂xα∂x0∂xα∂xiÒàêàÿ øòóêà íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõäèâåðãåíöèåé.

Ñîãëàñíî ïðåîáðàçîâàíèþ òåíçîðîâ:x0ia0i (x~0 ) = k ak (~x(~x0 ))xÈç íåãî ñëåäóåò ïðåîáðàçîâàíèå ÷åòûðåõâåêòîðà òîêà ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ëîðåíöà.  ñàìîì äåëå, Ëîðåíö äàåò íåíóëåâûìè òîëüêî:x0 − βx1x1 − βx0; x01 = p; x2 = x02 ; x3 = x03x00 = p1 − β21 − β2x01 + βx00x00 + βx01; x1 = p; x2 = x02 ; x3 = x03 =>x0 = p1 − β21 − β2∂x00∂x00= γ;= −βγ;0∂x∂x1∂x01∂x01= −βγ;=γ0∂x∂x1∂x03∂x02=1==>∂x2∂x3a00 = γa0 − βγa1 = γ(a0 − βa1 )a01 = −γβa0 + γa1 = γ(a1 − βa0 )a02 = a2 ; a03 = a3Òî åñòü îí ïðåîáðàçóåòñÿ òåì æå ëîðåíöîì. Áèíãî.2.6Êîâàðèàíòíàÿ çàïèñü óñëîâèÿ Ëîðåíöà è óðàâíåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ.